Ортогонализация
 | Эта статья нуждается в дополнительных цитатах для проверки . ( январь 2021 г. ) |
В линейной алгебре ортогонализация — это процесс поиска набора векторов ортогональных , охватывающих определенное подпространство . Формально, начиная с линейно независимого набора векторов { v 1 , ... , v k } в пространстве внутреннего произведения (чаще всего евклидовом пространстве R н ), ортогонализация приводит к образованию набора ортогональных векторов { u 1 , ... , u k } , которые порождают то же подпространство, что и векторы v 1 , ... , v k . Каждый вектор в новом наборе ортогонален каждому другому вектору в новом наборе; и новый набор, и старый набор имеют один и тот же линейный диапазон .
Кроме того, если мы хотим, чтобы все результирующие векторы были единичными векторами , мы нормализуем каждый вектор, и эта процедура называется ортонормализацией .
Ортогонализация также возможна по отношению к любой симметричной билинейной форме (не обязательно скалярному произведению и не обязательно по действительным числам ), но стандартные алгоритмы могут столкнуться с делением на ноль в этой более общей ситуации.
Алгоритмы ортогонализации
[ редактировать ]К методам выполнения ортогонализации относятся:
- Процесс Грама – Шмидта , использующий проекцию
- Преобразование домохозяина , использующее отражение
- Ротация Гивенса
- Симметричная ортогонализация, использующая разложение по сингулярным значениям.
При выполнении ортогонализации на компьютере преобразование Хаусхолдера обычно предпочтительнее процесса Грама – Шмидта, поскольку оно более стабильно численно , т. е. ошибки округления имеют менее серьезные последствия.
С другой стороны, процесс Грама – Шмидта создает j-й ортогональный вектор после j-й итерации, тогда как ортогонализация с использованием отражений Хаусхолдера дает все векторы только в конце. Это делает только процесс Грама-Шмидта применимым для итерационных методов, таких как итерация Арнольди .
Вращение Гивенса легче распараллелить, чем преобразования Хаусхолдера.
Симметричная ортогонализация была сформулирована Пер-Оловым Лёвдином . [1]
Локальная ортогонализация
[ редактировать ]Чтобы компенсировать потерю полезного сигнала в традиционных подходах к ослаблению шума из-за неправильного выбора параметров или неадекватности предположений о шумоподавлении , к первоначально очищенному от шума участку можно применить весовой оператор для извлечения полезного сигнала из исходного шумового участка. Новый процесс шумоподавления называется локальной ортогонализацией сигнала и шума. [2] Он имеет широкий спектр применения во многих областях обработки сигналов и сейсморазведки .
См. также
[ редактировать ]
Ссылки
[ редактировать ]- ^ Лёвдин, Пер-Олов (1970). «О проблеме неортогональности» . Достижения квантовой химии . Том. 5. Эльзевир. стр. 185–199. дои : 10.1016/S0065-3276(08)60339-1 . ISBN 9780120348053 .
- ^ Чен, Янкан; Фомель, Сергей (2015). «Подавление случайного шума с использованием локальной ортогонализации сигнала и шума». Геофизика . 80 (6): WD1 – WD9. Бибкод : 2015Geop...80D...1C . дои : 10.1190/GEO2014-0227.1 .