геометрия Клейна

В математике геометрия Кляйна – это тип геометрии, основанный Феликсом Кляйном в его влиятельной программе Эрлангена . Точнее, это однородное пространство X вместе с транзитивным действием на X группы Ли G , которая действует как группа симметрии геометрии.

Предысторию и мотивацию смотрите в статье о программе Эрланген .

Формальное определение

Геометрия Клейна — это пара ( G , H ) , где G — группа Ли , а H — замкнутая подгруппа Ли группы G (левое) смежное пространство G / H связно такая, что . Группа G называется главной группой геометрии, а G / H — пространством геометрии (или, злоупотребляя терминологией, просто геометрией Клейна ). Пространство X = G / H геометрии Клейна представляет собой гладкое многообразие размерности

тусклый Икс знак равно тусклый G - тусклый ЧАС .

Существует естественное гладкое левое действие группы G на X, заданное формулой

g\cdot (aH)=(ga)H.

это действие транзитивно (возьмем a = 1 ), так что тогда можно рассматривать X как однородное пространство для действия G. Ясно, что Стабилизатором H единичного смежного класса ∈ X является в точности группа H .

Учитывая любое связное гладкое многообразие X и гладкое транзитивное действие группы Ли G на X , мы можем построить ассоциированную геометрию Клейна ( G , H ), зафиксировав базовую точку x ₀ в X и позволив H быть стабилизирующей подгруппой x ₀ в Г . Группа H подгруппой группы G , и X естественно диффеоморфна G обязательно является замкнутой / H .

Клейна ( G1 _если , H1 _H2 ) и ( G2 _G1 , φ _G2 ) , геометрически изоморфны изоморфизм Ли φ : Две ₌ → , _{геометрии} так что ( H1 _{существует} ) H2 _группы . В частности, если φ является сопряжением элементом g ∈ G , мы видим, что ( G , H ) и ( G , gHg ⁻¹) изоморфны. Тогда геометрия Клейна, связанная с однородным пространством X, уникальна с точностью до изоморфизма (т. е. она не зависит от выбранной базовой точки x ₀ ).

Описание пакета

Учитывая группу Ли G и замкнутую подгруппу H , существует естественное правое действие H заданное на G, правым умножением. Это действие является свободным и правильным . Орбиты — это просто левые смежные классы H в G . Делается вывод, что G имеет структуру гладкого главного H -расслоения над левым смежным классом G / H :

H\to G\to G/H.

Типы геометрий Клейна

Эффективная геометрия

Действие G на X = G / H не обязательно должно быть эффективным. Ядро ядро действия G на X. геометрии Клейна определяется как Это дано

K=\{k\in G:g^{-1}kg\in H\;\;\forall g\in G\}.

Ядро K описать как ядро H , в G (т.е. наибольшую подгруппу H нормальную также можно в G ). Это группа, порожденная всеми нормальными подгруппами группы G лежащими в H. ,

Геометрия Клейна называется эффективной , если K = 1 , и локально эффективной если K дискретна , . Если ( G , H ) — геометрия Клейна с ядром K , то ( G / K , H / K ) — эффективная геометрия Клейна, канонически ассоциированная с ( G , H ) .

Геометрически ориентированные геометрии

Геометрия Клейна ( G , H ) ориентирована геометрически если G связна , . (Это не означает, что G / H — ориентированное многообразие ). Если H связно, отсюда следует, что G также связна (это потому, что G / H предполагается связным, а G → G / H — расслоение ).

Для любой геометрии Клейна ( G , H ) существует геометрически ориентированная геометрия, канонически связанная с ( G , H ) с тем же базовым пространством G / H . геометрия ( G0 , G0 ∩ H ) где G0 _— единичный компонент G. , Это Обратите внимание, что G знак равно G ₀ ЧАС .

Редуктивная геометрия

Геометрия Клейна ( G , H ) называется редуктивной , а G / H — редуктивным однородным пространством, если алгебра Ли ${\mathfrak {h}}$ из H имеет H -инвариантное дополнение в ${\mathfrak {g}}$ .

Примеры

В следующей таблице приведено описание классических геометрий, смоделированных как геометрии Клейна.

	Подлежащее пространство	Группа трансформации G	Подгруппа Н	Инварианты
Проективная геометрия	Реальное проективное пространство $\mathbb {R} \mathrm {P} ^{n}$	Проективная группа $\mathrm {PGL} (n+1)$	Подгруппа $P$ починить флаг $\{0\}\subset V_{1}\subset V_{n}$	Проективные линии , перекрестное отношение
Конформная геометрия на сфере	Сфера $S^{n}$	Лоренца Группа $(n+2)$ -мерное пространство $\mathrm {O} (n+1,1)$	Подгруппа $P$ фиксация линии в нулевом конусе метрики Минковского	Обобщенные окружности , углы
Гиперболическая геометрия	Гиперболическое пространство $H(n)$ , моделируемые, например, как времяподобные линии в пространстве Минковского $\mathbb {R} ^{1,n}$	Ортохронная группа Лоренца $\mathrm {O} (1,n)/\mathrm {O} (1)$	$\mathrm {O} (1)\times \mathrm {O} (n)$	Линии, круги, расстояния, углы
Эллиптическая геометрия	Эллиптическое пространство, смоделированное, например, как линии, проходящие через начало координат в евклидовом пространстве. $\mathbb {R} ^{n+1}$	$\mathrm {O} (n+1)/\mathrm {O} (1)$	$\mathrm {O} (n)/\mathrm {O} (1)$	Линии, круги, расстояния, углы
Сферическая геометрия	Сфера $S^{n}$	Ортогональная группа $\mathrm {O} (n+1)$	Ортогональная группа $\mathrm {O} (n)$	Линии (большие круги), круги, расстояния между точками, углы
Аффинная геометрия	Аффинное пространство $A(n)\simeq \mathbb {R} ^{n}$	Аффинная группа $\mathrm {Aff} (n)\simeq \mathbb {R} ^{n}\rtimes \mathrm {GL} (n)$	Общая линейная группа $\mathrm {GL} (n)$	Линии, частное площадей поверхностей геометрических фигур, масс треугольников центр
Евклидова геометрия	Евклидово пространство $E(n)$	Евклидова группа $\mathrm {Euc} (n)\simeq \mathbb {R} ^{n}\rtimes \mathrm {O} (n)$	Ортогональная группа $\mathrm {O} (n)$	Расстояния точек , углы векторов площади ,