Групповой изоморфизм

В абстрактной алгебре групповой изоморфизм — это функция между двумя группами , которая устанавливает биекцию между элементами групп таким образом, чтобы соблюдались заданные групповые операции. Если между двумя группами существует изоморфизм, то группы называются изоморфными . С точки зрения теории групп изоморфные группы обладают одинаковыми свойствами и их не нужно различать.

Определение и обозначения

Даны две группы $(G,*)$ и $(H,\odot ),$ групповой изоморфизм из $(G,*)$ к $(H,\odot )$ является биективным гомоморфизмом группы из $G$ к $H.$ Вкратце это означает, что групповой изоморфизм является биективной функцией. $f:G\to H$ такой, что для всех $u$ и $v$ в $G$ он утверждает, что $$f(u*v)=f(u)\odot f(v).$$

Две группы $(G,*)$ и $(H,\odot )$ изоморфны, если существует изоморфизм одного в другое. Это написано $$(G,*)\cong (H,\odot ).$$

Часто можно использовать более короткие и простые обозначения. Когда соответствующие групповые операции понятны, они опускаются и пишут $$G\cong H.$$

Иногда можно даже просто написать $G=H.$ Возможно ли такое обозначение без путаницы или двусмысленности, зависит от контекста. Например, знак равенства не очень подходит, когда обе группы являются подгруппами одной и той же группы. См. также примеры.

И наоборот, если задана группа $(G,*),$ набор $H,$ и биекция $f:G\to H,$ мы можем сделать $H$ группа $(H,\odot )$ определяя $$f(u)\odot f(v)=f(u*v).$$

Если $H=G$ и $\odot =*$ тогда биекция является автоморфизмом ( qv ).

Интуитивно, теоретики групп рассматривают две изоморфные группы следующим образом: для каждого элемента $g$ группы $G,$ существует элемент $h$ из $H$ такой, что $h$ «ведет себя так же», как $g$ (работает с другими элементами группы аналогично $g$). Например, если $g$ генерирует $G,$ тогда то же самое $h.$ Это подразумевает, в частности, что $G$ и $H$ находятся в биективном соответствии. Таким образом, определение изоморфизма вполне естественно.

Изоморфизм групп может быть эквивалентным образом определен как обратимый гомоморфизм группы (обратная функция гомоморфизма биективной группы также является гомоморфизмом группы).

Примеры

В этом разделе перечислены некоторые известные примеры изоморфных групп.

• Группа всех действительных чисел , суммируемых $(\mathbb {R} ,+)$, изоморфна группе положительных действительных чисел при умножении $(\mathbb {R} ^{+},\times )$:

  $(\mathbb {R} ,+)\cong (\mathbb {R} ^{+},\times )$ через изоморфизм $f(x)=e^{x}$.

• Группа $\mathbb {Z}$ целых чисел (со сложением) является подгруппой $\mathbb {R} ,$ и группа факторов $\mathbb {R} /\mathbb {Z}$ изоморфна группе $S^{1}$ комплексных чисел по модулю 1 (при умножении):

  $\mathbb {R} /\mathbb {Z} \cong S^{1}$

• Четырехгруппа Клейна изоморфна прямому произведению двух копий $\mathbb {Z} _{2}=\mathbb {Z} /2\mathbb {Z}$, и поэтому можно записать $\mathbb {Z} _{2}\times \mathbb {Z} _{2}.$ Другое обозначение $\operatorname {Dih} _{2},$ потому что это группа диэдра .
• Обобщая это, для всех странных $n,$ $\operatorname {Dih} _{2n}$ изоморфно прямому произведению $\operatorname {Dih} _{n}$ и $\mathbb {Z} _{2}.$
• Если $(G,*)$ — бесконечная циклическая группа , то $(G,*)$ изоморфно целым числам (с операцией сложения). С алгебраической точки зрения это означает, что множество всех целых чисел (с операцией сложения) является «единственной» бесконечной циклической группой.

Изоморфность некоторых групп можно доказать, опираясь на аксиому выбора , но доказательство не указывает, как построить конкретный изоморфизм. Примеры:

• Группа $(\mathbb {R} ,+)$ изоморфна группе $(\mathbb {C} ,+)$ всех сложенных комплексных чисел.
• Группа $(\mathbb {C} ^{*},\cdot )$ ненулевых комплексных чисел с умножением, поскольку операция изоморфна группе $S^{1}$ упомянуто выше.

Характеристики

Ядро из изоморфизма $(G,*)$ к $(H,\odot )$ всегда есть {e _G }, где e _G — единица группы $(G,*)$

Если $(G,*)$ и $(H,\odot )$ изоморфны, то $G$ абелева когда тогда и только тогда, $H$ является абелевым.

Если $f$ является изоморфизмом из $(G,*)$ к $(H,\odot ),$ тогда для любого $a\in G,$ порядок ​ ​ $a$ равен порядку $f(a).$

Если $(G,*)$ и $(H,\odot )$ изоморфны, то $(G,*)$ является локально конечной группой тогда и только тогда, когда $(H,\odot )$ локально конечен.

Число различных групп (с точностью до изоморфизма) порядка $n$ задается последовательностью A000001 в OEIS . Первые несколько цифр — 0, 1, 1, 1 и 2, что означает, что 4 — это низший порядок с более чем одной группой.

Циклические группы

Все циклические группы данного порядка изоморфны $(\mathbb {Z} _{n},+_{n}),$ где $+_{n}$ обозначает сложение по модулю $n.$

Позволять $G$ быть циклической группой и $n$ быть приказом $G.$ Сдача в аренду $x$ быть генератором $G$, $G$ тогда равен $\langle x\rangle =\left\{e,x,\ldots ,x^{n-1}\right\}.$ Мы покажем это $$G\cong (\mathbb {Z} _{n},+_{n}).$$

Определять $$\varphi :G\to \mathbb {Z} _{n}=\{0,1,\ldots ,n-1\},$$ так что $\varphi (x^{a})=a.$ Четко, $\varphi$ является биективным. Затем $$\varphi (x^{a}\cdot x^{b})=\varphi (x^{a+b})=a+b=\varphi (x^{a})+_{n}\varphi (x^{b}),$$ что доказывает, что $G\cong (\mathbb {Z} _{n},+_{n}).$

Последствия

Из определения следует, что любой изоморфизм $f:G\to H$ отобразит элемент идентификации $G$ к элементу идентификации $H,$$$f(e_{G})=e_{H},$$что он будет отображать инверсии в инверсии, $$f(u^{-1})=f(u)^{-1}\quad {\text{ for all }}u\in G,$$и в более общем плане, $n$полномочия $n$полномочия, $$f(u^{n})=f(u)^{n}\quad {\text{ for all }}u\in G,$$ и что обратное отображение $f^{-1}:H\to G$ также является групповым изоморфизмом.

Отношение . «быть изоморфным» является эквивалентности отношением Если $f$ является изоморфизмом между двумя группами $G$ и $H,$ тогда все, что верно относительно $G$ то, что связано только со структурой группы, можно перевести через $f$ в истинное утверждение о $H,$ и наоборот.

Автоморфизмы

Изоморфизм группы $(G,*)$ самому себе называется автоморфизмом группы. Таким образом, это биекция $f:G\to G$ такой, что $$f(u)*f(v)=f(u*v).$$

Образ . при автоморфизме класса сопряженности всегда является классом сопряженности (тот же или другой)

Композиция двух автоморфизмов снова является автоморфизмом, и благодаря этой операции множество всех автоморфизмов группы $G,$ обозначается $\operatorname {Aut} (G),$ сам образует группу, автоморфизмов группу $G.$

Для всех абелевых групп существует по крайней мере автоморфизм, заменяющий элементы группы их обратными. Однако в группах, где все элементы равны своим обратным, это тривиальный автоморфизм , например в четырехгруппе Клейна . Для этой группы все перестановки трех неединичных элементов являются автоморфизмами, поэтому группа автоморфизмов изоморфна $S_{3}$ (который сам по себе изоморфен $\operatorname {Dih} _{3}$).

В $\mathbb {Z} _{p}$ для простого числа $p,$ один неидентичный элемент может быть заменен любым другим с соответствующими изменениями остальных элементов. Группа автоморфизмов изоморфна $\mathbb {Z} _{p-1}$ Например, для $n=7,$ перемножив все элементы $\mathbb {Z} _{7}$ на 3 по модулю 7, является автоморфизмом порядка 6 в группе автоморфизмов, поскольку $3^{6}\equiv 1{\pmod {7}},$ а младшие степени не дают 1. Таким образом, этот автоморфизм порождает $\mathbb {Z} _{6}.$ Есть еще один автоморфизм с этим свойством: перемножение всех элементов $\mathbb {Z} _{7}$ на 5 по модулю 7. Следовательно, эти два соответствуют элементам 1 и 5 из $\mathbb {Z} _{6},$ в том порядке или наоборот.

Группа автоморфизмов $\mathbb {Z} _{6}$ изоморфен $\mathbb {Z} _{2},$ потому что только каждый из двух элементов 1 и 5 генерирует $\mathbb {Z} _{6},$ поэтому помимо идентичности мы можем только обмениваться ими.

Группа автоморфизмов $\mathbb {Z} _{2}\oplus \mathbb {Z} _{2}\oplus \oplus \mathbb {Z} _{2}=\operatorname {Dih} _{2}\oplus \mathbb {Z} _{2}$ имеет порядок 168, что можно найти следующим образом. Все семь неидентичных элементов играют одну и ту же роль, поэтому мы можем выбрать, какой из них будет играть роль $(1,0,0).$ Любой из оставшихся 6 может быть выбран на роль (0,1,0). Это определяет, какой элемент соответствует $(1,1,0).$ Для $(0,0,1)$ мы можем выбрать из 4, что определяет остальное. Таким образом, мы имеем $7\times 6\times 4=168$ автоморфизмы. Они соответствуют точкам плоскости Фано , 7 точек которой соответствуют 7 нетождественным элементам. Линии, соединяющие три точки, соответствуют групповой операции: $a,b,$ и $c$ в одной строке значит $a+b=c,$ $a+c=b,$ и $b+c=a.$ См. также общую линейную группу над конечными полями .

Для абелевых групп все нетривиальные автоморфизмы являются внешними автоморфизмами .

Неабелевы группы имеют нетривиальную внутреннюю группу автоморфизмов и, возможно, также внешние автоморфизмы.

См. также

• Проблема группового изоморфизма
• Биекция – взаимно однозначное соответствие.

Ссылки

• Херштейн, Индиана (1975). Темы алгебры (2-е изд.). Нью-Йорк: Джон Уайли и сыновья. ISBN  0471010901 .