Заказанное поле

В математике упорядоченное поле — это поле вместе с полным упорядочением его элементов, совместимым с полевыми операциями. Основными примерами упорядоченных полей являются рациональные числа и действительные числа со стандартным порядком.

Каждое подполе упорядоченного поля также является упорядоченным полем в унаследованном порядке. Каждое упорядоченное поле содержит упорядоченное подполе, изоморфное рациональным числам . Каждое дедекиндово полное упорядоченное поле изоморфно действительным числам. В упорядоченном поле квадраты обязательно неотрицательны. Это означает, что комплексные числа не могут быть упорядочены, поскольку квадрат мнимой единицы i равен -1 (что отрицательно в любом упорядоченном поле). Конечные поля не могут быть упорядочены.

Исторически аксиоматизация упорядоченного поля постепенно абстрагировалась от действительных чисел математиками, включая Давида Гильберта , Отто Гёльдера и Ганса Хана . В конечном итоге это переросло в теорию Артина-Шрайера упорядоченных полей и формально реальных полей .

Определения

Существует два эквивалентных общих определения упорядоченного поля. Определение тотального порядка появилось впервые исторически и представляет собой первого порядка . аксиоматизацию упорядочивания $\leq$ как бинарный предикат . Артин и Шрайер дали определение в терминах положительного конуса в 1926 году, что аксиоматизирует совокупность неотрицательных элементов. Хотя последний имеет более высокий порядок, рассмотрение положительных конусов как максимальных препозитивных конусов обеспечивает более широкий контекст, в котором упорядочение полей является экстремальным частичным упорядочением.

Общий заказ

Поле $(F,+,\cdot \,)$ вместе с общим заказом $\leq$ на $F$ это упорядоченное поле , если порядок удовлетворяет следующим свойствам для всех $a,b,c\in F:$

если $a\leq b$ затем $a+c\leq b+c,$ и
если $0\leq a$ и $0\leq b$ затем $0\leq a\cdot b.$

Как обычно, пишем $a<b$ для $a\leq b$ и $a\neq b$ . Обозначения $b\geq a$ и $b>a$ стоять за $a\leq b$ и $a<b$ , соответственно. Элементы $a\in F$ с $a>0$ называются положительными.

Положительный конус

А препозитивный конус или предварительный порядок поля $F$ является подмножеством $P\subseteq F$ который имеет следующие свойства: ^[1]

Для $x$ и $y$ в $P,$ оба $x+y$ и $x\cdot y$ находятся в $P.$
Если $x\in F,$ затем $x^{2}\in P.$ В частности, $0=0^{2}\in P$ и $1=1^{2}\in P.$
Элемент $-1$ не в $P.$

А поле preordered — это поле, оснащенное предзаказом $P.$ Его ненулевые элементы $P^{*}$ образуют подгруппу мультипликативной группы $F.$

Если, кроме того, набор $F$ это союз $P$ и $-P,$ мы звоним $P$ положительный конус $F.$ Ненулевые элементы $P$ называются положительными элементами $F.$

Упорядоченное поле — это поле $F$ вместе с положительным конусом $P.$

Предварительные заказы на $F$ являются в точности пересечениями семейств положительных конусов на $F.$ Положительные конусы — это максимальные предупорядочения. ^[1]

Эквивалентность двух определений

Позволять $F$ быть полем. Существует биекция между порядками полей $F$ и положительные конусы $F.$

Учитывая порядок полей ≤, как в первом определении, набор элементов такой, что $x\geq 0$ образует положительный конус $F.$ Обратно, при положительном конусе $P$ из $F$ как и во втором определении, можно связать полный порядок $\leq _{P}$ на $F$ установив $x\leq _{P}y$ означать $y-x\in P.$ Этот общий порядок $\leq _{P}$ удовлетворяет свойствам первого определения.

Примеры упорядоченных полей

Примеры упорядоченных полей:

поле $\mathbb {Q}$ рациональных чисел со стандартным порядком (который также является его единственным порядком);
поле $\mathbb {R}$ действительных чисел со стандартным порядком (который также является единственным порядком);
любое подполе упорядоченного поля, такое как действительные алгебраические числа или вычислимые числа , становится упорядоченным полем, ограничивая порядок подполем;
поле $\mathbb {Q} (x)$ рациональных функций $p(x)/q(x)$ , где $p(x)$ и $q(x)$ являются полиномами с рациональными коэффициентами и $q(x)\neq 0$ , можно превратить в упорядоченное поле, зафиксировав действительное трансцендентное число $\alpha$ и определение $p(x)/q(x)>0$ тогда и только тогда, когда $p(\alpha )/q(\alpha )>0$ . Это эквивалентно вложению $\mathbb {Q} (x)$ в $\mathbb {R}$ с помощью $x\mapsto \alpha$ и ограничение порядка $\mathbb {R}$ на заказ изображения $\mathbb {Q} (x)$ . Таким образом, мы получаем множество различных порядков $\mathbb {Q} (x)$ .
поле $\mathbb {R} (x)$ рациональных функций $p(x)/q(x)$ , где $p(x)$ и $q(x)$ являются полиномами с действительными коэффициентами и $q(x)\neq 0$ , можно превратить в упорядоченное поле, определив $p(x)/q(x)>0$ иметь в виду, что $p_{n}/q_{m}>0$ , где $p_{n}\neq 0$ и $q_{m}\neq 0$ являются старшими коэффициентами $p(x)=p_{n}x^{n}+\dots +p_{0}$ и $q(x)=q_{m}x^{m}+\dots +q_{0}$ , соответственно. Эквивалентно: для рациональных функций $f(x),g(x)\in \mathbb {R} (x)$ у нас есть $f(x)<g(x)$ тогда и только тогда, когда $f(t)<g(t)$ для всех достаточно больших $t\in \mathbb {R}$ . В этом упорядоченном поле полином $p(x)=x$ больше любого постоянного многочлена, а упорядоченное поле не является архимедовым .
Поле $\mathbb {R} ((x))$ формальных рядов Лорана с действительными коэффициентами, где x считается бесконечно малым и положительным
Транссерии
настоящие закрытые поля
сверхреальные числа
гиперреальные числа

Сюрреалистические числа образуют собственный класс , а не множество , но в остальном подчиняются аксиомам упорядоченного поля. Каждое упорядоченное поле можно встроить в сюрреалистические числа.

Свойства упорядоченных полей

Недвижимость

x<y\Rightarrow a+x<a+y

Для каждого a , b , c , d в F :

Либо − a ≤ 0 ≤ a , либо a ≤ 0 ≤ − a .
Можно «добавить неравенства»: если a ≤ b и c ≤ d , то a + c ≤ b + d .
Можно «перемножать неравенства с положительными элементами»: если a ≤ b и 0 ≤ c , то ac ≤ bc .
«Умножение на отрицательные числа переворачивает неравенство»: если a ≤ b и c ≤ 0, то ac ≥ bc .
Если a < b и a , b > 0, то 1/ b < 1/ a .
Квадраты неотрицательны: 0 ≤ a ² для a в F. всех В частности, поскольку 1=1 ², то 0 ≠ 1. Поскольку 0 ≠ 1, заключаем, что 0 < 1.
Упорядоченное поле имеет характеристику 0. (Поскольку 1 > 0, то 1 + 1 > 0, 1 + 1 + 1 > 0 и т. д., и никакая конечная сумма единиц не может равняться нулю.) В частности, конечные поля не могут быть заказал.
Любая нетривиальная сумма квадратов отлична от нуля. Эквивалентно: $\textstyle \sum _{k=1}^{n}a_{k}^{2}=0\;\Longrightarrow \;\forall k\;\colon a_{k}=0.$ ^[2]^[3]

Каждое подполе упорядоченного поля также является упорядоченным полем (наследующим индуцированный порядок). Наименьшее подполе изоморфно рациональным числам ( как и любое другое поле характеристики 0), и порядок в этом рациональном подполе такой же, как и порядок самих рациональных чисел.

Если каждый элемент упорядоченного поля лежит между двумя элементами своего рационального подполя, то поле называется архимедовым . В противном случае такое поле является неархимедовым упорядоченным полем и содержит бесконечно малые числа . Например, действительные числа образуют архимедово поле, а гипердействительные числа образуют неархимедово поле, поскольку оно расширяет действительные числа элементами, большими, чем любое стандартное натуральное число . ^[4]

Упорядоченное поле F изоморфно полю действительных чисел R тогда и только тогда, когда каждое непустое подмножество F с верхней границей в F имеет наименьшую верхнюю границу в F . Это свойство означает, что поле является архимедовым.

Векторные пространства над упорядоченным полем

Векторные пространства (в частности, n -пространства ) над упорядоченным полем обладают некоторыми особыми свойствами и имеют некоторые специфические структуры, а именно: ориентацию , выпуклость и положительно определенное скалярное произведение . См. Реальное координатное пространство # Геометрические свойства и использование для обсуждения этих свойств R. ^н, которое можно обобщить на векторные пространства над другими упорядоченными полями.

Упорядочиваемость полей

Каждое упорядоченное поле является формально вещественным полем , т. е. 0 нельзя записать в виде суммы ненулевых квадратов. ^[2]^[3]

И наоборот, каждое формально реальное поле можно снабдить совместимым тотальным порядком, который превратит его в упорядоченное поле. (Этот порядок не обязательно должен быть определен однозначно.) В доказательстве используется лемма Цорна . ^[5]

Конечные поля и, в более общем плане, поля положительной характеристики не могут быть превращены в упорядоченные поля, как показано выше. Комплексные числа также нельзя превратить в упорядоченное поле, поскольку −1 — это квадрат мнимой единицы i . Кроме того, p -адические числа не могут быть упорядочены, поскольку согласно лемме Гензеля Q ₂ содержит квадратный корень из −7, поэтому 1 ² + 1 ² + 1 ² + 2 ² + √ −7 ² = 0, и Q _p ( p > 2) содержит квадратный корень из 1 − p , поэтому ( p − 1)⋅1 ² + √ 1 - п ² = 0. ^[6]

Топология, индуцированная порядком

Если F снабжено порядковой топологией, возникающей из общего порядка ≤, то аксиомы гарантируют, что операции + и × непрерывны , так что F является топологическим полем .

Топология Харрисона

Топология Харрисона — это топология на множестве порядков X _F формально вещественного F. поля Каждый порядок можно рассматривать как гомоморфизм мультипликативной группы из F ^∗ на ±1. Давая ±1 дискретную топологию и ±1 ^Ф топология произведения индуцирует топологию подпространства на X _F . Харрисона Наборы $H(a)=\{P\in X_{F}:a\in P\}$ составляют основу топологии Харрисона. Произведение представляет собой булево пространство ( компактное , хаусдорфово и полностью несвязное ), а X _F — замкнутое подмножество, следовательно, снова логическое. ^[7]^[8]

Вееры и суперупорядоченные поля

Веер — на F это предупорядочение T, обладающее тем свойством, что если S — подгруппа индекса 2 в F ^∗ содержащий T − {0} и не содержащий −1, то S является упорядочением (т. е. S замкнуто относительно сложения). ^[9] Суперупорядоченное поле — это вполне реальное поле, в котором множество сумм квадратов образует веер. ^[10]

См. также

Линейно упорядоченная группа – группа с трансляционно-инвариантным полным порядком; т.е. если a ≤ b, то ca ≤ cb
Упорядоченная группа — группа с совместимым частичным порядком.
Заказное кольцо — кольцо с совместимым общим порядком.
Упорядоченное топологическое векторное пространство
Упорядоченное векторное пространство - векторное пространство с частичным порядком.
Частично упорядоченное кольцо - Кольцо с совместимым частичным порядком.
Частично упорядоченное пространство - Частично упорядоченное топологическое пространство.
Поле предзаказа — алгебраическая концепция в теории меры, также называемая алгеброй множеств.
Пространство Рисса - Частично упорядоченное векторное пространство, упорядоченное в виде решетки.

Примечания

^ Jump up to: ^а ^б Лам (2005) с. 289
^ Jump up to: ^а ^б Лам (2005) с. 41
^ Jump up to: ^а ^б Лам (2005) с. 232
^ Баир, Жак; Генри, Валери. «Неявное дифференцирование с помощью микроскопов» (PDF) . Льежский университет . Проверено 4 мая 2013 г.
^ Лам (2005) с. 236
^ Квадраты квадратных корней √ −7 и √ 1 − p находятся в Q , но <0, так что эти корни не могут находиться в Q, что означает, что их p -адические разложения не являются периодическими.
^ Лам (2005) с. 271
^ Лам (1983), стр. 1–2.
^ Лам (1983) с. 39
^ Лам (1983) с. 45

Ссылки

Лам, Тай (1983), Порядки, оценки и квадратичные формы , Серия региональных конференций CBMS по математике, том. 52, Американское математическое общество , ISBN. 0-8218-0702-1 , Збл 0516.12001
Лам, Цит-Юэн (2005). Введение в квадратичные формы над полями . Аспирантура по математике . Том. 67. Американское математическое общество. ISBN 0-8218-1095-2 . Збл 1068.11023 .
Ланг, Серж (1993), Алгебра (Третье изд.), Ридинг, Массачусетс: Аддисон-Уэсли, ISBN 978-0-201-55540-0 , Збл 0848.13001

[Lam289-1] Jump up to: ^а ^б Лам (2005) с. 289

[Lam41-2] Jump up to: ^а ^б Лам (2005) с. 41

[Lam232-3] Jump up to: ^а ^б Лам (2005) с. 232

[BairHenry-4] Баир, Жак; Генри, Валери. «Неявное дифференцирование с помощью микроскопов» (PDF) . Льежский университет . Проверено 4 мая 2013 г.

[Lam236-5] Лам (2005) с. 236

[6] Квадраты квадратных корней √ −7 и √ 1 − p находятся в Q , но <0, так что эти корни не могут находиться в Q, что означает, что их p -адические разложения не являются периодическими.

[Lam271-7] Лам (2005) с. 271

[L8312-8] Лам (1983), стр. 1–2.

[L8339-9] Лам (1983) с. 39

[L8345-10] Лам (1983) с. 45

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]

[7]

[8]

[9]

[10]

v т и Теория порядка
Topics Glossary Category
Key concepts	Binary relation Boolean algebra Cyclic order Lattice Partial order Preorder Total order Weak ordering
Results	Boolean prime ideal theorem Cantor–Bernstein theorem Cantor's isomorphism theorem Dilworth's theorem Dushnik–Miller theorem Hausdorff maximal principle Knaster–Tarski theorem Kruskal's tree theorem Laver's theorem Mirsky's theorem Szpilrajn extension theorem Zorn's lemma
Properties & Types (list)	Antisymmetric Asymmetric Boolean algebra topics Completeness Connected Covering Dense Directed (Partial) Equivalence Foundational Heyting algebra Homogeneous Idempotent Lattice Bounded Complemented Complete Distributive Join and meet Reflexive Partial order Chain-complete Graded Eulerian Strict Prefix order Preorder Total Semilattice Semiorder Symmetric Total Tolerance Transitive Well-founded Well-quasi-ordering (Better) (Pre) Well-order
Constructions	Composition Converse/Transpose Lexicographic order Linear extension Product order Reflexive closure Series-parallel partial order Star product Symmetric closure Transitive closure
Topology & Orders	Alexandrov topology & Specialization preorder Ordered topological vector space Normal cone Order topology Order topology Topological vector lattice Banach Fréchet Locally convex Normed
Related	Antichain Cofinal Cofinality Comparability Graph Duality Filter Hasse diagram Ideal Net Subnet Order morphism Embedding Isomorphism Order type Ordered field Positive cone of an ordered field Ordered vector space Partially ordered Positive cone of an ordered vector space Riesz space Partially ordered group Positive cone of a partially ordered group Upper set Young's lattice