Поле наборов

«Установить алгебру» перенаправляется сюда. Основные свойства и законы множеств см. в разделе «Алгебра множеств» .

В математике поле множеств — это математическая структура, состоящая из пары $(X,{\mathcal {F}})$ состоящий из набора $X$ и семья ${\mathcal {F}}$ подмножеств ​ ​ $X$ называется алгеброй над $X$ содержащее в качестве элемента пустое множество и замкнутое относительно операций взятия дополнений в $X,$ конечные объединения и конечные пересечения .

Поля множеств не следует путать с полями в теории колец или с полями в физике . Аналогично термин «алгебра над $X$" используется в смысле булевой алгебры, и его не следует путать с алгебрами над полями или кольцами в теории колец.

Поля множеств играют существенную роль в теории представлений булевых алгебр. Любую булеву алгебру можно представить как поле множеств.

Определения

Поле множеств — это пара $(X,{\mathcal {F}})$ состоящий из набора $X$ и семья ${\mathcal {F}}$ подмножеств ​ ​ $X,$ называется алгеброй над $X,$ который имеет следующие свойства:

1. Закрыто на доработку в $X$: $$X\setminus F\in {\mathcal {F}}{\text{ for all }}F\in {\mathcal {F}}.$$
2. Содержит пустой набор (или содержит $X$) как элемент: $\varnothing \in {\mathcal {F}}.$
   • Если предположить, что (1) выполнено, то это условие (2) эквивалентно: $X\in {\mathcal {F}}.$
3. Любой/все из следующих эквивалентов условия выполняются:
   1. Закрыто по бинарным союзам : $$F\cup G\in {\mathcal {F}}{\text{ for all }}F,G\in {\mathcal {F}}.$$
   2. Закрыто при двоичных пересечениях : $$F\cap G\in {\mathcal {F}}{\text{ for all }}F,G\in {\mathcal {F}}.$$
   3. Закрыто при конечных объединениях : $$F_{1}\cup \cdots \cup F_{n}\in {\mathcal {F}}{\text{ for all integers }}n\geq 1{\text{ and all }}F_{1},\ldots ,F_{n}\in {\mathcal {F}}.$$
   4. Замкнуто при конечных пересечениях : $$F_{1}\cap \cdots \cap F_{n}\in {\mathcal {F}}{\text{ for all integers }}n\geq 1{\text{ and all }}F_{1},\ldots ,F_{n}\in {\mathcal {F}}.$$

Другими словами, ${\mathcal {F}}$ образует подалгебру степенного множества булевой алгебры $X$ (с тем же элементом идентификации $X\in {\mathcal {F}}$).Многие авторы обращаются к ${\mathcal {F}}$ себя как поле множеств. Элементы $X$ называются точками, а элементы ${\mathcal {F}}$ называются комплексами и называются допустимыми множествами $X.$

Поле наборов $(X,{\mathcal {F}})$ называется σ-полем множеств , а алгебра ${\mathcal {F}}$ называется σ-алгеброй, если выполнено следующее дополнительное условие (4):

4. Любое/оба следующих эквивалентных условия выполняются:
   1. Закрыты по счетным союзам : $$\bigcup _{i=1}^{\infty }F_{i}:=F_{1}\cup F_{2}\cup \cdots \in {\mathcal {F}}$$ для всех $F_{1},F_{2},\ldots \in {\mathcal {F}}.$
   2. Закрыто при счетных пересечениях : $$\bigcap _{i=1}^{\infty }F_{i}:=F_{1}\cap F_{2}\cap \cdots \in {\mathcal {F}}$$ для всех $F_{1},F_{2},\ldots \in {\mathcal {F}}.$

Поля множеств в теории представлений булевых алгебр

Каменное изображение

Для произвольного набора $Y,$ его набор мощности $2^{Y}$ (или, несколько педантично, пара $(Y,2^{Y})$ этого множества и его степенного множества) — поле множеств. Если $Y$ конечно (а именно, $n$-элемент), тогда $2^{Y}$ конечно (а именно, $2^{n}$-элемент). Оказывается, что каждое конечное поле множеств (это означает, $(X,{\mathcal {F}})$ с ${\mathcal {F}}$ конечно, в то время как $X$ может быть бесконечным) допускает представление вида $(Y,2^{Y})$ с конечным $Y$; это означает функцию $f:X\to Y$ который устанавливает взаимно однозначное соответствие между ${\mathcal {F}}$ и $2^{Y}$ через обратное изображение : $S=f^{-1}[B]=\{x\in X\mid f(x)\in B\}$ где $S\in {\mathcal {F}}$ и $B\in 2^{Y}$ (то есть, $B\subset Y$). Одно примечательное следствие: число комплексов, если оно конечно, всегда имеет вид $2^{n}.$

Для этого выбирают $Y$ быть набором всех атомов данного поля множеств и определяет $f$ к $f(x)=A$ в любое время $x\in A$ за точку $x\in X$ и комплекс $A\in {\mathcal {F}}$ это атом; последнее означает, что непустое подмножество $A$ отличается от $A$ не может быть комплексом.

Другими словами: атомы являются частью $X$; $Y$ – соответствующий фактормножество ; и $f$ – соответствующая каноническая сюръекция.

Точно так же каждая конечная булева алгебра может быть представлена ​​как набор степеней – набор степеней ее набора атомов ; каждому элементу булевой алгебры соответствует набор атомов под ним (соединение которых является элементом). Это представление набора степеней можно построить в более общем смысле для любой полной атомной булевой алгебры.

В случае булевых алгебр, которые не являются полными и атомарными, мы все же можем обобщить представление степенного множества, рассматривая поля множеств вместо целых степенных множеств. Для этого мы сначала заметим, что атомы конечной булевой алгебры соответствуют ее ультрафильтрам и что атом находится ниже элемента конечной булевой алгебры тогда и только тогда, когда этот элемент содержится в ультрафильтре, соответствующем атому. Это приводит нас к построению представления булевой алгебры, взяв ее набор ультрафильтров и образуя комплексы, сопоставляя каждому элементу булевой алгебры набор ультрафильтров, содержащий этот элемент. Эта конструкция действительно создает представление булевой алгебры как поле множеств и известна как представление Стоуна . Это основа теоремы Стоуна о представлении булевых алгебр и пример процедуры завершения в теории порядка, основанной на идеалах или фильтрах , аналогичной дедекиндовым разрезам .

В качестве альтернативы можно рассмотреть набор гомоморфизмов двухэлементной булевой алгебры и сформировать комплексы, сопоставив каждый элемент булевой алгебры с набором таких гомоморфизмов, которые отображают его в верхний элемент. (Этот подход эквивалентен, поскольку ультрафильтры булевой алгебры являются в точности прообразами верхних элементов при этих гомоморфизмах.) С помощью этого подхода можно видеть, что представление Стоуна также можно рассматривать как обобщение представления конечных булевых алгебр с помощью таблицы истинности .

Сепаративные и компактные поля множеств: к стоуновой двойственности

• Поле множеств называется сепаративным (или дифференцированным ) тогда и только тогда, когда для каждой пары различных точек существует комплекс, содержащий одну и не содержащую другую.
• Поле множеств называется компактным тогда и только тогда, когда для любого правильного фильтра над $X$ пересечение всех комплексов, содержащихся в фильтре, непусто.

Эти определения возникают в результате рассмотрения топологии , порожденной комплексами поля множеств. (Это всего лишь одна из заметных топологий на данном множестве точек; часто бывает, что задана другая топология, с совсем другими свойствами, в частности, не нульмерная). Учитывая поле множеств $\mathbf {X} =(X,{\mathcal {F}})$ комплексы составляют основу топологии. Обозначим через $T(\mathbf {X} )$ соответствующее топологическое пространство, $(X,{\mathcal {T}})$ где ${\mathcal {T}}$ — топология, образованная произвольными объединениями комплексов. Затем

• $T(\mathbf {X} )$ всегда является нульмерным пространством .
• $T(\mathbf {X} )$ является хаусдорфовым пространством тогда и только тогда, когда $\mathbf {X}$ является разделительным.
• $T(\mathbf {X} )$ представляет собой компактное пространство с компактными открытыми множествами ${\mathcal {F}}$ тогда и только тогда, когда $\mathbf {X}$ компактен.
• $T(\mathbf {X} )$ — логическое пространство с открыто-замкнутыми множествами ${\mathcal {F}}$ тогда и только тогда, когда $\mathbf {X}$ является одновременно разделительным и компактным (в этом случае он описывается как описательный )

Стоунское представление булевой алгебры всегда сепаративно и компактно; соответствующее булево пространство известно как пространство Стоуна булевой алгебры. Тогда замкнуто-замкнутые множества пространства Стоуна являются в точности комплексами представления Стоуна. Область математики, известная как двойственность Стоуна , основана на том факте, что представление Стоуна булевой алгебры может быть восстановлено исключительно из соответствующего пространства Стоуна, откуда существует двойственность между булевыми алгебрами и булевыми пространствами.

Поля множеств с дополнительной структурой

Сигма-алгебры и пространства с мерой

Если алгебра над множеством замкнута относительно счетных объединений (следовательно, и относительно счетных пересечений ), она называется сигма-алгеброй , а соответствующее поле множеств называется измеримым пространством . Комплексы измеримого пространства называются измеримыми множествами . Теорема Лумиса обеспечивает двойственность типа Стоуна между счетно полными булевыми алгебрами (которые можно - Сикорского назвать абстрактными сигма-алгебрами ) и измеримыми пространствами.

Пространство меры – это тройка $(X,{\mathcal {F}},\mu )$ где $(X,{\mathcal {F}})$ представляет собой измеримое пространство и $\mu$ — определенная на нем мера . Если $\mu$ на самом деле является вероятностной мерой, мы говорим о вероятностном пространстве и называем лежащее в его основе измеримое пространство пространством выборки . Точки выборочного пространства называются точками выборки и представляют собой потенциальные результаты, тогда как измеримые множества (комплексы) называются событиями и представляют свойства результатов, для которых мы хотим присвоить вероятности. (Многие используют термин « пространство выборки» просто для обозначения основного набора вероятностного пространства, особенно в случае, когда каждое подмножество является событием.) Пространства мер и вероятностные пространства играют основополагающую роль в теории меры и теории вероятностей соответственно.

В приложениях к физике мы часто имеем дело с пространствами мер и пространствами вероятностей, полученными из богатых математических структур, таких как пространства внутреннего произведения или топологические группы , с которыми уже связана топология - это не следует путать с топологией, созданной путем взятия произвольных объединений комплексов. .

Топологические поля множеств

Топологическое поле множеств — это тройка $(X,{\mathcal {T}},{\mathcal {F}})$ где $(X,{\mathcal {T}})$ является топологическим пространством и $(X,{\mathcal {F}})$ — поле множеств, замкнутое относительно замыкания оператора ${\mathcal {T}}$ или, что то же самое, под внутренним оператором , т. е. замыкание и внутренняя часть каждого комплекса также являются комплексом. Другими словами, ${\mathcal {F}}$ образует подалгебру внутренней алгебры степенного множества на $(X,{\mathcal {T}}).$

Топологические поля множеств играют фундаментальную роль в теории представлений внутренних и гейтинговых алгебр . Эти два класса алгебраических структур обеспечивают алгебраическую семантику модальной логики S4 (формальная математическая абстракция эпистемической логики ) и интуиционистской логики соответственно. Топологические поля множеств, представляющих эти алгебраические структуры, обеспечивают соответствующую топологическую семантику для этих логик.

Каждую внутреннюю алгебру можно представить как топологическое поле множеств с базовой булевой алгеброй внутренней алгебры, соответствующей комплексам топологического поля множеств, а внутренними операторами и операторами замыкания внутренней алгебры, соответствующими операторам топологии. Любая алгебра Гейтинга может быть представлена ​​топологическим полем множеств, основная решетка алгебры Гейтинга соответствует решетке комплексов топологического поля множеств, открытых в топологии. Более того, топологическое поле множеств, представляющих алгебру Гейтинга, можно выбрать так, чтобы открытые комплексы порождали все комплексы как булевую алгебру. Эти связанные представления обеспечивают четко определенный математический аппарат для изучения отношений между модальностями истинности (возможно, истинными и обязательно истинными, изучаемыми в модальной логике) и понятиями доказуемости и опровержимости (изучаемыми в интуиционистской логике) и, таким образом, глубоко связаны с теорией модальные спутники промежуточной логики .

В топологическом пространстве открыто-открытые множества тривиально образуют топологическое поле множеств, поскольку каждое открыто-открытое множество является собственным внутренним пространством и замыканием. Представление Стоуна булевой алгебры можно рассматривать как такое топологическое поле множеств, однако в целом топология топологического поля множеств может отличаться от топологии, порожденной произвольными объединениями комплексов и вообще комплексов топологического поля. наборов не обязательно должны быть открытыми или закрытыми в топологии.

Алгебраические поля множеств и поля Стоуна

Топологическое поле множеств называется алгебраическим тогда и только тогда, когда существует база его топологии, состоящая из комплексов.

Если топологическое поле множеств одновременно компактно и алгебраично, то его топология компактна, а его компактные открытые множества являются в точности открытыми комплексами. Более того, открытые комплексы составляют основу топологии.

Топологические поля множеств, которые являются сепаративными, компактными и алгебраическими, называются полями Стоуна и обеспечивают обобщение стоунового представления булевых алгебр. Учитывая внутреннюю алгебру, мы можем сформировать представление Стоуна лежащей в ее основе булевой алгебры, а затем расширить его до топологического поля множеств, взяв топологию, порожденную комплексами, соответствующими открытым элементам внутренней алгебры (которые образуют основу для топологии). ). Тогда эти комплексы являются именно открытыми комплексами, и конструкция создает поле Стоуна, представляющее внутреннюю алгебру, — представление Стоуна . (Топология представления Стоуна также известна как топология Стоуна МакКинси – Тарского в честь математиков, которые первыми обобщили результат Стоуна для булевых алгебр на внутренние алгебры, и ее не следует путать с топологией Стоуна базовой булевой алгебры внутренней алгебры, которая будет более тонкая топология).

Поля предзаказа

Поле предзаказа представляет собой тройку $(X,\leq ,{\mathcal {F}})$ где $(X,\leq )$ представляет собой предварительно заказанный набор и $(X,{\mathcal {F}})$ это поле множеств.

Подобно топологическим полям множеств, поля предпорядка играют важную роль в теории представлений внутренних алгебр. Любую внутреннюю алгебру можно представить как поле предпорядка, внутренние операторы которого и операторы замыкания соответствуют операторам топологии Александрова , индуцированным предпорядком. Другими словами, для всех $S\in {\mathcal {F}}$: $$\mathrm {Int} (S)=\{x\in X:{\text{ there exists a }}y\in S{\text{ with }}y\leq x\}$$ и $$\mathrm {Cl} (S)=\{x\in X:{\text{ there exists a }}y\in S{\text{ with }}x\leq y\}$$

Подобно топологическим полям множеств, поля предпорядка естественным образом возникают в модальной логике, где точки представляют возможные миры в семантике Крипке теории в модальной логике S4 , предварительный порядок представляет отношение доступности в этих возможных мирах в этой семантике, а комплексы представляют собой наборы возможных миров, в которых выполняются отдельные предложения теории, обеспечивая представление алгебры Линденбаума – Тарского теории. Они являются частным случаем общих модальных фреймов , которые представляют собой поля множеств с дополнительным отношением доступности, обеспечивающим представления модальных алгебр.

Алгебраические и канонические поля предпорядка

Поле предпорядка называется алгебраическим (или тесным ) тогда и только тогда, когда оно имеет набор комплексов ${\mathcal {A}}$ который определяет предварительный заказ следующим образом: $x\leq y$ тогда и только тогда, когда для каждого комплекса $S\in {\mathcal {A}}$, $x\in S$ подразумевает $y\in S$. Поля предпорядка, полученные из теорий S4 , всегда алгебраичны, а комплексы, определяющие предпорядок, представляют собой множества возможных миров, в которых выполняются замкнутые по необходимости предложения теории.

Сепаративное компактное алгебраическое поле предпорядка называется каноническим . Для внутренней алгебры, заменяя топологию ее стоуновского представления соответствующим каноническим предпорядком (предпорядком специализации), мы получаем представление внутренней алгебры в виде поля канонического предпорядка. Заменяя предпорядок соответствующей ему топологией Александрова, мы получаем альтернативное представление внутренней алгебры как топологического поля множеств. (Топология этого « представления Александрова » представляет собой не что иное, как бико-отражение Александрова топологии представления Стоуна.) Хотя представление модальных алгебр общими модальными фреймами возможно для любой нормальной модальной алгебры, это только в случае внутренних алгебр (которые соответствуют модальной логике S4 ), что общий модальный фрейм таким образом соответствует топологическому полю множеств.

Комплексные алгебры и поля множеств на реляционных структурах

Представление внутренних алгебр полями предпорядка можно обобщить до теоремы о представлении произвольных (нормальных) булевых алгебр с операторами . Для этого рассмотрим структуры $(X,(R_{i})_{I},{\mathcal {F}})$ где $(X,(R_{i})_{I})$ представляет собой реляционную структуру , т. е. набор с определенным на нем индексированным семейством отношений , и $(X,{\mathcal {F}})$ это поле множеств. Комплексная алгебра (или алгебра комплексов ), определяемая полем множеств $\mathbf {X} =(X,\left(R_{i}\right)_{I},{\mathcal {F}})$ в реляционной структуре – это булева алгебра с операторами $${\mathcal {C}}(\mathbf {X} )=({\mathcal {F}},\cap ,\cup ,\prime ,\emptyset ,X,(f_{i})_{I})$$где для всех $i\in I,$ если $R_{i}$ это отношение арности $n+1,$ затем $f_{i}$ является оператором арности $n$ и для всех $S_{1},\ldots ,S_{n}\in {\mathcal {F}}$$$f_{i}(S_{1},\ldots ,S_{n})=\left\{x\in X:{\text{ there exist }}x_{1}\in S_{1},\ldots ,x_{n}\in S_{n}{\text{ such that }}R_{i}(x_{1},\ldots ,x_{n},x)\right\}$$

Эту конструкцию можно обобщить на поля множеств произвольных алгебраических структур, имеющих как операторы , так и отношения, поскольку операторы можно рассматривать как частный случай отношений. Если ${\mathcal {F}}$ это весь набор мощности $X$ затем ${\mathcal {C}}(\mathbf {X} )$ называется полной комплексной алгеброй или степенной алгеброй .

Любую (нормальную) булеву алгебру с операторами можно представить как поле множеств реляционной структуры в том смысле, что она изоморфна комплексной алгебре, соответствующей этому полю.

(Исторически термин «комплекс» впервые использовался в случае, когда алгебраической структурой была группа , и берет свое начало в теории групп 19-го века , где подмножество группы называлось комплексом . )

См. также

• Топология Александрова - топологическое пространство, в котором открыто пересечение любого семейства открытых множеств. Страницы, отображающие описания викиданных в качестве запасного варианта.
• Алгебра множеств - Тождества и отношения с участием множеств.
• Логическое кольцо – математическая концепция. Страницы, отображающие описания викиданных в качестве запасного варианта.
• δ -кольцо - Кольцо, замкнутое относительно счетных пересечений.
• Общий каркас
• Внутренняя алгебра - Алгебраическая структура
• 𝜆-система (система Дынкина) - семейство, замкнутое относительно дополнений и счетных непересекающихся объединений.
• Список тем по булевой алгебре
• Теория меры – обобщение массы, длины, площади и объема. Страницы с краткими описаниями целей перенаправления.
• Класс Monotone – теорема. Страницы, отображающие описания викиданных в качестве запасного варианта. Страницы, отображающие краткие описания без пробелов.
• π -система - семейство множеств, замкнутых при пересечении.
• Предварительно упорядоченное поле — алгебраический объект с упорядоченной структурой. Страницы, отображающие краткие описания целей перенаправления.
• Теория вероятностей - раздел математики, посвященный вероятности.
• Кольцо множеств - Семья, замкнутая союзами и относительными дополнениями.
• Функция набора – функция преобразования наборов в числа.
• σ-алгебра - алгебраическая структура алгебры множеств.
• Сигма-идеал - Семья, замкнутая относительно подмножеств и счетных объединений.
• 𝜎-кольцо – семейство множеств, замкнутых счетными объединениями.
• Каменная двойственность – Связь между определенными категориями
• Теорема Стоуна о представлении булевых алгебр . Каждая булева алгебра изоморфна определенному полю множеств.

Ссылки

• Голдблатт, Р. , Алгебраическая полимодальная логика: обзор , Журнал логики IGPL, том 8, выпуск 4, стр. 393-450, июль 2000 г.
• Голдблатт Р., Многообразия комплексных алгебр , Анналы чистой и прикладной логики, 44, с. 173-242, 1989 г.
• Джонстон, Питер Т. (1982). Каменные пространства (3-е изд.). Кембридж: Издательство Кембриджского университета. ISBN  0-521-33779-8 .
• Натурман, Калифорния, Внутренние алгебры и топология , доктор философии. диссертация, математический факультет Кейптаунского университета, 1991 г.
• Патрик Блэкберн, Йохан ФАК ван Бентем, изд. Фрэнка Вольтера, Справочник по модальной логике, том 3 исследований по логике и практическому рассуждению , Elsevier, 2006 г.

Внешние ссылки

• «Алгебра множеств» , Математическая энциклопедия , EMS Press , 2001 [1994]
• Алгебра множеств , Энциклопедия математики.

showСемьи ${\mathcal {F}}$ сетов закончилось $\Omega$
Is necessarily true of ${\mathcal {F}}\colon$ or, is ${\mathcal {F}}$ closed under:	Directed by $\,\supseteq$	$A\cap B$	$A\cup B$	$B\setminus A$	$\Omega \setminus A$	$A_{1}\cap A_{2}\cap \cdots$	$A_{1}\cup A_{2}\cup \cdots$	$\Omega \in {\mathcal {F}}$	$\varnothing \in {\mathcal {F}}$	F.I.P.
π-system
Semiring										Never
Semialgebra (Semifield)										Never
Monotone class						only if $A_{i}\searrow$	only if $A_{i}\nearrow$
𝜆-system (Dynkin System)				only if $A\subseteq B$			only if $A_{i}\nearrow$ or they are disjoint			Never
Ring (Order theory)
Ring (Measure theory)										Never
δ-Ring										Never
𝜎-Ring										Never
Algebra (Field)										Never
𝜎-Algebra (𝜎-Field)										Never
Dual ideal
Filter				Never	Never				$\varnothing \not \in {\mathcal {F}}$
Prefilter (Filter base)				Never	Never				$\varnothing \not \in {\mathcal {F}}$
Filter subbase				Never	Never				$\varnothing \not \in {\mathcal {F}}$
Open Topology							(even arbitrary $\cup$)			Never
Closed Topology						(even arbitrary $\cap$)				Never
Is necessarily true of ${\mathcal {F}}\colon$ or, is ${\mathcal {F}}$ closed under:	directed downward	finite intersections	finite unions	relative complements	complements in $\Omega$	countable intersections	countable unions	contains $\Omega$	contains $\varnothing$	Finite Intersection Property
Additionally, a semiring is a π-system where every complement $B\setminus A$ is equal to a finite disjoint union of sets in ${\mathcal {F}}.$ A semialgebra is a semiring where every complement $\Omega \setminus A$ is equal to a finite disjoint union of sets in ${\mathcal {F}}.$ $A,B,A_{1},A_{2},\ldots$ are arbitrary elements of ${\mathcal {F}}$ and it is assumed that ${\mathcal {F}}\neq \varnothing .$