Настоящее закрытое поле

В математике вещественное замкнутое поле — это поле F , обладающее теми же свойствами первого порядка, что и поле действительных чисел . Некоторыми примерами являются поле действительных чисел, поле действительных алгебраических чисел и поле гипердействительных чисел .

Определение

Вещественное замкнутое поле — это поле F, в котором выполняется любое из следующих эквивалентных условий:

F действительным элементарно эквивалентно числам. Другими словами, оно обладает теми же свойствами первого порядка, что и вещественные числа: любое предложение на языке полей первого порядка истинно в F тогда и только тогда, когда оно истинно в вещественных числах.
Существует общий порядок на F, делает его упорядоченным полем таким, что в этом порядке каждый положительный элемент F имеет квадратный корень в F а любой полиномиальный нечетный что степень с коэффициентами в F имеет по крайней мере один корень в F. ,
F - это формально реальное поле , так что каждый полином нечетной степени с коэффициентами в F имеет по крайней мере один корень в F , а для каждого элемента A F F есть B в , что A = B ² или a = - b ².
F не является алгебраически закрытым , но его алгебраическое закрытие является конечным расширением .
F не алгебраически закрыт, но расширение поля $F({\sqrt {-1}}\,)$ Алгебраически закрыт.
Существует заказ на F , который не распространяется на заказ на любое правильное расширение f алгебраическое .
F - это формально реальное поле, так что никакое правильное алгебраическое расширение F не является формально реальным. (Другими словами, поле максимально в алгебраическом закрытии по отношению к свойству формально реального.)
Существует заказ на F, что делает его упорядоченным полем таким, что в этом упорядочении теорема промежуточного значения сохраняется для всех полиномов по сравнению с степенью ≥ 0.
F - слабо упорядоченное о-минимальное поле. ^{[ 1 ]}

Примеры реальных закрытых полей

поле реальных алгебраических чисел
поле вычислимых чисел
поле определимых чисел
поле действительных чисел
поле ряда Пюизо с действительными коэффициентами
месторождение Леви-Чивита
гипердействительных чисел поля
сверхдействительных чисел поля
поле сюрреалистических чисел (это собственный класс , а не набор )

Настоящее закрытие

Если F — упорядоченное поле, теорема Артина–Шрайера утверждает, что F имеет алгебраическое расширение, называемое вещественным замыканием K поля F , такое, что K — действительное замкнутое поле, порядок которого является расширением заданного порядка на F и единственна с точностью до единственного изоморфизма полей, тождественных на F ^{[ 2 ]} (Обратите внимание, что каждый гомоморфизм кольца между реальными закрытыми полями автоматически является сохранением порядка , потому что x ≤ y и только тогда, когда ∃ z : y = x + z ²) Например, реальным закрытием упорядоченного поля рациональных чисел является поле $\mathbb {R} _{\mathrm {alg} }$ реальных алгебраических чисел. Теорема Эмиля названа в честь Артина и Отто Шриера , которые доказали это в 1926 году.

Если ( f , p ) является упорядоченным полем, а E - , Galois расширение G то по лемме Зорна существует максимальное упорядоченное расширение поля ( M , Q ) с M A Sublide E , содержащим F , и порядок на M Extending П. Этот m вместе с его упорядочением q называется относительным реальным закрытием ( f , p ) в e . Мы называем ( f , p ) реальным закрытым по сравнению с E, если M просто f . Когда E является алгебраическим закрытием F, относительное реальное закрытие F в E на самом деле является реальным закрытием F , описанного ранее. ^{[ 3 ]}

Если F не предполагается, что заказы, совместимые с ( операциями - это поле полевыми Настоящее закрытое кольцо . Например, реальное закрытие поля $\mathbb {Q} ({\sqrt {2}})$ это кольцо $\mathbb {R} _{\mathrm {alg} }\!\times \mathbb {R} _{\mathrm {alg} }$ (Две копии соответствуют двум порядкам $\mathbb {Q} ({\sqrt {2}})$ ) С другой стороны, если $\mathbb {Q} ({\sqrt {2}})$ считается упорядоченным подполе из $\mathbb {R}$ , его реальное закрытие - это снова поле $\mathbb {R} _{\mathrm {alg} }$ .

Удаление и устранение квантификатора

Язык реальных закрытых полей ${\mathcal {L}}_{\text{rcf}}$ Включает символы для операций с добавлением и умножением, константы 0 и 1 и отношение порядка $\leq$ (а также равенство, если это не считается логическим символом). На этом языке (первая) теория реальных закрытых полей, ${\mathcal {T}}_{\text{rcf}}$ , состоит из всех предложений, которые следует из следующих аксиомов:

аксиомы упорядоченных полей ;
Аксиома утверждает, что каждое положительное число имеет квадратный корень;
для каждого нечетного числа $d$ , аксиома утверждает, что все полиномы степени $d$ иметь хотя бы один корень.

Все эти аксиомы могут быть выражены в логике первого порядка (т.е. диапазоны количественной оценки только над элементами поля). Обратите внимание, что ${\mathcal {T}}_{\text{rcf}}$ это просто набор всех предложений первого порядка, которые верны в области реальных чисел.

Тарски показал это ${\mathcal {T}}_{\text{rcf}}$ завершено , то есть любой ${\mathcal {L}}_{\text{rcf}}$ -sentence может быть доказана либо истинной, либо ложью из вышеупомянутых аксиомов. Более того, ${\mathcal {T}}_{\text{rcf}}$ является решающим , что означает, что существует алгоритм , чтобы определить истину или ложность любого такого предложения. Это было сделано, показывая элиминацию квантификатора : существует алгоритм, который, учитывая любое ${\mathcal {L}}_{\text{rcf}}$ - Формула , которая может содержать свободные переменные , создает эквивалентную формулу без квантова, в одних и тех же свободных переменных, где эквивалент означает, что эти две формулы являются истинными для одинаковых значений, что и переменные. Доказательство Тарски использует обобщение теоремы Штурма . Поскольку истина формул, не содержащих квантификатора без свободных переменных, может быть легко проверена, это дает желаемую процедуру принятия решения. Эти результаты были получены в. 1930 и опубликовано в 1948 году. ^{[ 4 ]}

Теорема Тарского-Зейденберга расширяет этот результат до следующей теоремы о проекции . Если $R$ — действительное замкнутое поле, формула с $n$ свободными переменными определяет подмножество $R не$ , множество точек, удовлетворяющих формуле. Такое подмножество называется полуалгебраическим множеством . Учитывая подмножество $k$ переменных, проекция из $R не$ в $Р к$ — это функция , которая отображает каждый $n-$ кортеж в $k$ -кортеж компонентов, соответствующих подмножеству переменных. Теорема о проекции утверждает, что проекция полуалгебраического множества является полуалгебраическим множеством и что существует алгоритм, который по заданной бескванторной формуле, определяющей полуалгебраическое множество, выдает бескванторную формулу для его проекции.

Фактически, теорема проекции эквивалентна устранению квантификатора, поскольку проекция полуалгебраического набора, определяемого формулой $P (x, y)$ , определяется

(\exists x)P(x,y),

где $x$ и $y$ представляют собой соответственно набор устраненных переменных и набор сохраненных переменных.

Удашаемость теории реальных чисел первого порядка резко зависит от примитивных операций и функций, которые рассматриваются (здесь добавление и умножение). Добавление других функций символов, например, синус или экспоненциальная функция , может обеспечить нецелевые теории; Посмотрите теорему Ричардсона и решаемость теорий реальных чисел первого порядка .

Более того, полнота и разрешимость теории действительных чисел первого порядка (с использованием сложения и умножения) резко контрастирует с результатами Гёделя и Тьюринга о неполноте и неразрешимости теории натуральных чисел первого порядка (с использованием сложение и умножение). Противоречия нет, поскольку утверждение « х есть целое число» не может быть сформулировано как формула первого порядка в языке ${\mathcal {L}}_{\text{rcf}}$ .

Сложность принятия решения 𝘛 _rcf

Оригинальный алгоритм Тарского для исключения кванторов имеет неэлементарную вычислительную сложность , а это означает, что ни одна башня

2^{2^{\cdot ^{\cdot ^{\cdot ^{n}}}}}

может ограничить время выполнения алгоритма, если $n$ — размер входной формулы. Цилиндрическое алгебраическое разложение , введенное Джорджем Э. Коллинзом , обеспечивает гораздо более практичный алгоритм сложности.

d^{2^{O(n)}}

где $n$ — общее количество переменных (свободных и связанных), $d$ — произведение степеней полиномов, входящих в формулу, а $(n) —$ обозначение большого O. O

Давенпорт и Хайнц (1988) доказали, что эта сложность наихудшего случая почти оптимальна для устранения кванторов, создавая семейство $Φ n$ формул длины $O (n)$ с $n$ кванторами и включающее полиномы постоянной степени, такие, что любой квантор свободная формула, эквивалентная $Φ n,$ должна включать многочлены степени $2^{2^{\Omega (n)}}$ и длина $2^{2^{\Omega (n)}},$ где $\Omega (n)$ это большая нотация Omega . Это показывает, что как временная, так и пространственная сложность устранения кванторов по своей сути являются двойной экспонентой .

Что касается проблемы решения, Бен-Ор, Козен и Рейф (1986) утверждали, что доказали, что теория реальных замкнутых полей разрешима в экспоненциальном пространстве и, следовательно, в двойном экспоненциальном времени, но их аргумент (в случае более чем одна переменная) обычно считается ошибочной; см. обсуждение в Renegar (1992).

Для чисто экзистенциальных формул, то есть для формул вида

\exists Икс 1, ..., \exists Икс k П 1 (Икс 1, ..., Икс k) ⋈ 0 \land ... \land P s (Икс 1, ..., Икс k) ⋈ 0,

где $⋈$ означает $<, >$ или $=$ , сложность ниже. Басу и Рой (1996) предложили хорошо работающий алгоритм для определения истинности такой экзистенциальной формулы со сложностью $s. к +1 д Хорошо )$ арифметические операции и полиномиальное пространство .

Заказать недвижимость

Важнейшим свойством действительных чисел является то, что это архимедово поле , то есть оно обладает архимедовым свойством, заключающимся в том, что для любого действительного числа существует целое число , большее его по абсолютному значению . Обратите внимание, что это утверждение невозможно выразить на языке упорядоченных полей первого порядка, поскольку на этом языке невозможно количественно оценить целые числа.

Существуют реальные поля, которые не являются архимедами ; Например, любое поле гиперреальных чисел реально закрыто и не архимеда. Эти поля содержат бесконечно большие (больше, чем любое целое число) и бесконечно массивные (положительные, но меньшие, чем любые положительные рациональные) элементы.

Собственность архимеда связана с концепцией кофинальности . Набор x, содержащийся в упорядоченном наборе F, является кофинальным в F, если для каждого y в F есть x в x, так что y < x . Другими словами, x - неограниченная последовательность в f . Кофинальность F - это кардинальность наименьшего кофинального набора, то есть размер наименьшей кардинальности, дающей неограниченную последовательность. Например, натуральные числа являются кофинальными в реальных, а кофинальность реальных, следовательно, является $\aleph _{0}$ .

Таким образом, мы имеем следующие инварианты, определяющие природу вещественного замкнутого поля F :

Мощность F .
Конфинальность F .

К этому мы можем добавить

Вес F , который является минимальным размером плотного подмножества F .

Эти три кардинальных числа многое говорят нам о свойствах порядка любого реального замкнутого поля, хотя может быть трудно выяснить, что они из себя представляют, особенно если мы не готовы ссылаться на гипотезу обобщенного континуума . Существуют также определенные свойства, которые могут выполняться, а могут и не выполняться:

Поле F является полным, не существует упорядоченного поля K, содержащего F, такого, что F плотно в K. если Если конфинальность F равна κ , это эквивалентно тому, что Коши, κ , сходятся индексированные в F. последовательности
Упорядоченное поле F обладает свойством эта-множества η _α для порядкового числа α , если для любых двух подмножеств L и U из F мощности меньше $\aleph _{\alpha }$ такой, что каждый элемент L меньше, чем каждый элемент U , существует элемент x в F, которого x больше, чем каждый элемент L , и меньше, чем каждый элемент U. у Это тесно связано с теоретико-модельным свойством быть насыщенной моделью ; любые два действительных замкнутых поля являются η _α тогда и только тогда, когда они $\aleph _{\alpha }$ -насыщенные, и, кроме того, два действительных замкнутых поля ηα _{мощности} обоих $\aleph _{\alpha }$ изоморфны порядково .

Обобщенная гипотеза континуума

Характеристики реальных закрытых полей станут намного проще, если мы захотим принять обобщенную гипотезу континуума . Если гипотеза континуума верна, то все вещественные замкнутые поля мощности континуума , обладающие свойством η ₁ , порядково изоморфны. Это уникальное поле Ϝ можно определить с помощью ультрастепени , как $\mathbb {R} ^{\mathbb {N} }/\mathbf {M}$ , где M — максимальный идеал, не приводящий к полю, порядково изоморфному $\mathbb {R}$ Полем Это наиболее часто используемое поле гиперреального числа в нестандартном анализе , и его уникальность эквивалентна гипотезе континуума. (Даже без гипотезы континуума у нас есть это, если кардинальность континуума $\aleph _{\beta }$ есть уникальное β _-полем размера Тогда у нас $\aleph _{\beta }$ .)

Более того, нам не нужны ультрапирты для построения ϝ , мы можем сделать гораздо более конструктивно, как подполе серии с исчисляемым количеством ненулевых условий поля $\mathbb {R} [[G]]$ Формальной серии мощности на полностью упорядоченной группе Abeliable Divisible G , которая является η _1. группой кардинальности $\aleph _{1}$ ( Аллинг 1962 ).

Ϝ Однако не является полным полем; Если мы возьмем его на себя, мы получим поле κ более крупной кардинальности. Ϝ имеет кардинальность континуума, который по гипотезе $\aleph _{1}$ , Κ имеет кардинальность $\aleph _{2}$ , и содержит ϝ как плотный под поле. Это не сверхмощная, но это гиперреальное поле, и, следовательно, подходящее поле для использования нестандартного анализа. Это можно рассматривать как более высокий аналог реальных чисел; с кардинальностью $\aleph _{2}$ вместо $\aleph _{1}$ , кофинальность $\aleph _{1}$ вместо $\aleph _{0}$ и вес $\aleph _{1}$ вместо $\aleph _{0}$ и с свойством η ₁ вместо свойства η ₀ (что просто означает между любыми двумя реальными числами, мы можем найти другое).

Элементарная евклидова геометрия

Аксиомы Тарского — это система аксиом первого порядка («элементарной») части евклидовой геометрии . Используя эти аксиомы, можно показать, что точки на прямой образуют действительное замкнутое поле R, и можно ввести координаты так, чтобы евклидова плоскость отождествлялась с R. ² . Используя разрешимость теории действительных замкнутых полей, Тарский затем доказал, что элементарная теория евклидовой геометрии полна и разрешима. ^{[ 4 ]}

Примечания

^ Д. Макферсон и др. (1998)
^ Раджваде (1993), стр. 222–223
^ Эфрат (2006) с. 177
^ Перейти обратно: ^а ^{беременный} Макнотон, Роберт (1953). «Обзор: метод принятия решений для элементарной алгебры и геометрии A. Tarski» (PDF) . Бык Амер. Математика Соц 59 (1): 91–93. doi : 10.1090/s0002-9904-1953-09664-1 .

Ссылки

Аллинг, Норман Л. (1962), «О существовании реальных полей, которые представляют собой η _α -sets of Power α _α », транс. Амер. Математика Соц , 103 : 341–352, doi : 10.1090/s0002-9947-1962-0146089-x , MR 0146089
Басу, Саугата, Ричард Поллак и Мари-Франсуаз Рой (2003) «Алгоритмы в реальной алгебраической геометрии» в алгоритмах и вычислениях по математике . Спрингер. ISBN 3-540-33098-4 ( онлайн-версия )
Майкл Бен-Ор, Декстер Козен и Джон Рейф, сложность элементарной алгебры и геометрии , журнал компьютерных и системных наук 32 (1986), №. 2, с. 251–264.
Caviness, BF, и Джереми Р. Джонсон, ред. (1998) Элиминация квантификатора и цилиндрическое алгебраическое разложение . Спрингер. ISBN 3-211-82794-3
Чен Чан Чанг и Говард Джером Кейслер (1989) Теория модели . Северная Голландия.
Dales, HG и W. Hugh Woodin (1996) Суперреальные поля . Оксфордский Univ. Нажимать.
Давенпорт, Джеймс Х .; Хайнц, Йоос (1988). «Реальное устранение кванторов происходит вдвойне экспоненциально» . Дж. Симб. Вычислить . 5 (1–2): 29–35. дои : 10.1016/s0747-7171(88)80004-x . Збл 0663.03015 .
Эфрат, Идо (2006). Оценки, упорядочения и К -теория Милнора . Математические обзоры и монографии. Том. 124. Провиденс, Род-Айленд: Американское математическое общество . ISBN 0-8218-4041-Х . Збл 1103.12002 .
Макферсон Д., Маркер Д. и Стейнхорн К. Слабо o-минимальные структуры и вещественные замкнутые поля , Trans. американской математики. Соц., Том. 352, № 12, 1998 г.
Мишра, Бхубанешвар (1997) « Вычислительная реальная алгебраическая геометрия » в Справочнике по дискретной и вычислительной геометрии . ЦРК Пресс. Издание 2004 г., с. 743. ISBN 1-58488-301-4
Раджваде, Арканзас (1993). Квадраты . Серия лекций Лондонского математического общества. Том. 171. Издательство Кембриджского университета . ISBN 0-521-42668-5 . Збл 0785.11022 .
Renegar, James (1992). «О вычислительной сложности и геометрии теории реальных первого порядка. Часть I: Введение. Предварительные . Журнал символических вычислений . 13 (3): 255–299. doi : 10.1016/s0747-7171 (10) 80003-3 .
Passmore, Grant (2011). Комбинированные процедуры принятия решений для нелинейной арифметики, реальной и сложной (PDF) (PhD). Эдинбургский университет .
Альфред Тарски (1951) Метод принятия решения для элементарной алгебры и геометрии . Univ. Калифорнийской прессы.
Erdös, P.; Gillman, L.; Анриксен, М. (1955), «Теорема изоморфизма для реальных полей» , Ann. математики. , 2, 61 (3): 542–554, doi : 10.2307/1969812 , JSTOR 1969812 , MR 0069161

Внешние ссылки

[1] Д. Макферсон и др. (1998)

[2] Раджваде (1993), стр. 222–223

[Efr177-3] Эфрат (2006) с. 177

[:0-4] Перейти обратно: ^а ^{беременный} Макнотон, Роберт (1953). «Обзор: метод принятия решений для элементарной алгебры и геометрии A. Tarski» (PDF) . Бык Амер. Математика Соц 59 (1): 91–93. doi : 10.1090/s0002-9904-1953-09664-1 .

[ 1 ]

[ 2 ]

[ 3 ]

[ 4 ]