Группа Брауэра – Уолла

В математике группа Брауэра -Уолла , супергруппа Брауэра или градуированная группа Брауэра для поля F — это группа BW( F ), классифицирующая конечномерные градуированные центральные алгебры с делением над полем. Впервые она была определена Терри Уоллом ( 1964 ) как обобщение группы Брауэра .

Группа Брауэра поля F — это совокупность классов подобия конечномерных центральных простых алгебр над F относительно операции тензорного произведения называются подобными, если коммутанты их простых модулей изоморфны , где две алгебры . Каждый класс подобия содержит уникальную алгебру с делением, поэтому элементы группы Брауэра также можно отождествлять с классами изоморфизма конечномерных центральных алгебр с делением. Аналогичная конструкция для Z /2 Z - градуированных алгебр определяет группу Брауэра–Уолла BW( F ). ^{[ 1 ]}

Характеристики

Группа Брауэра B( F ) инжектируется в BW( F ), отображая CSA A в градуированную алгебру, которая является A нулевой степени.
Уолл (1964 , теорема 3) показал, что существует точная последовательность

0 → B( F ) → BW( F ) → Q( F ) → 0

где Q( F ) — группа градуированных квадратичных расширений F помощью , определяемая как расширение Z /2 с F ^*/ Ф ^*2 с умножением ( e , x )( f , y ) = ( e + f , (−1) ^еслиху ). Отображение BW( F ) в Q( F ) является инвариантом Клиффорда , определяемым путем отображения алгебры в пару, состоящую из ее степени и определителя .

Существует отображение аддитивной группы кольца Витта–Гротендика в группу Брауэра–Уолла, полученное отправкой квадратичного пространства в его алгебру Клиффорда . Карта учитывает группу Витта , ^{[ 2 ]} у которого есть ядро I ³, где I — фундаментальный идеал W( F ). ^{[ 3 ]}

Примеры

BW( C ) изоморфен Z /2 Z . Это алгебраический аспект периодичности Ботта. ^{[ нужна ссылка ]} периода 2 для унитарной группы. Двумя супертеловыми алгебрами являются C , C [γ], где γ — нечетный элемент квадрата 1, коммутирующий с C .
BW( R ) изоморфен Z /8 Z . Это алгебраический аспект периодичности Ботта. ^{[ нужна ссылка ]} периода 8 для ортогональной группы. Восемь супертеловых алгебр — это R , R [ε], C [ε], H [δ], H , H [ε], C [δ], R [δ], где δ и ε — нечетные элементы квадрата −1. и 1, такие, что сопряжение ими комплексных чисел является комплексным сопряжением .

Примечания

^ Лам (2005), стр. 98–99.
^ Лам (2005) стр.113
^ Лам (2005) стр.115

Ссылки

Делинь, Пьер (1999), «Заметки о спинорах», в Делинь, Пьер ; Этингоф, Павел ; Фрид, Дэниел С .; Джеффри, Лиза С .; Каждан, Давид ; Морган, Джон В .; Моррисон, Дэвид Р .; Виттен, Эдвард (ред.), Квантовые поля и струны: курс для математиков, Том. 1 , Материалы специального года по квантовой теории поля, проведенного в Институте перспективных исследований, Принстон, Нью-Джерси, 1996–1997, Провиденс, Род-Айленд: Американское математическое общество , стр. 99–135, ISBN. 978-0-8218-1198-6 , МР 1701598
Лам, Цит-Юэнь (2005), Введение в квадратичные формы над полями , Аспирантура по математике , том. 67, Американское математическое общество, ISBN. 0-8218-1095-2 , МР 2104929 , Збл 1068.11023
Уолл, CTC (1964), «Градуированные группы Брауэра» , Журнал чистой и прикладной математики , 1964 (213): 187–199, doi : 10.1515/crll.1964.213.187 , ISSN 0075-4102 , MR 0167498 , S2CID 115679955 , Збл 0125.01904

[Lam9899-1] Лам (2005), стр. 98–99.

[Lam113-2] Лам (2005) стр.113

[Lam115-3] Лам (2005) стр.115

[ 1 ]

[ 2 ]

[ 3 ]