Милнор К-теория

В математике теория Милнора К- является алгебраическим инвариантом (обозначается $K_{*}(F)$ для поля $F$), определенный Джоном Милнором ( 1970 ) как попытка изучить высшую алгебраическую К-теорию в частном случае полей . Была надежда, что это поможет пролить свет на структуру алгебраической K-теории и даст некоторое представление о ее отношениях с другими частями математики, такими как когомологии Галуа и кольцо Гротендика-Витта квадратичных форм . До того, как была сформулирована К-теория Милнора, существовали специальные определения для $K_{1}$ и $K_{2}$. К счастью, можно показать, что К-теория Милнора является частью алгебраической К-теории , которую, как правило, легче всего вычислить.

Определение

Мотивация

После определения группы Гротендика $K(R)$ ожидалось коммутативного кольца , что должно существовать бесконечное множество инвариантов $K_{i}(R)$ называемые высшими группами K-теории , поскольку существует короткая точная последовательность

$K(R,I)\to K(R)\to K(R/I)\to 0$

которая должна иметь продолжение длинной точной последовательностью . Обратите внимание, что группа слева представляет собой относительную K-теорию . Это привело к большому количеству исследований, и в качестве первого предположения о том, как будет выглядеть эта теория, Милнор дал определение полей. Его определение основано на двух расчетах того, как высшая К-теория в градусах. «должна» выглядеть $1$ и $2$. Тогда, если в более позднем обобщении алгебраической К-теории были даны генераторы $K_{*}(R)$ жил в степени $1$ и отношения по степени $2$, то конструкции в градусах $1$ и $2$ дало бы структуру остальной части кольца К-теории . Исходя из этого предположения, Милнор дал свое «специальное» определение. Оказывается, алгебраическая К-теория $K_{*}(R)$ в целом имеет более сложную структуру, но для полей группы K-теории Милнора содержатся в группах общей алгебраической K-теории после тензорирования с помощью $\mathbb {Q}$, то есть $K_{n}^{M}(F)\otimes \mathbb {Q} \subseteq K_{n}(F)\otimes \mathbb {Q}$. Получается естественная карта $\lambda :K_{4}^{M}(F)\to K_{4}(F)$ не может быть инъективным для глобального поля $F$^{стр. 96} .

Определение

Обратите внимание, что для полей группу Гротендика можно легко вычислить как $K_{0}(F)=\mathbb {Z}$ поскольку единственными конечно порожденными модулями являются конечномерные векторные пространства . Кроме того, определение Милнора высших K-групп зависит от канонического изоморфизма

$l\colon K_{1}(F)\to F^{*}$

(группа единиц $F$) и наблюдение за расчетом K ₂ поля Хидея Мацумото , который дал простое представление

$K_{2}(F)={\frac {F^{*}\otimes F^{*}}{\{l(a)\otimes l(1-a):a\neq 0,1\}}}$

для двустороннего идеала, порожденного элементами $l(a)\otimes l(a-1)$, называемые отношениями Штейнберга . Милнор принял гипотезу о том, что это единственные отношения, поэтому он дал следующее «специальное» определение К-теории Милнора как

$K_{n}^{M}(F)={\frac {K_{1}(F)\otimes \cdots \otimes K_{1}(F)}{\{l(a_{1})\otimes \cdots \otimes l(a_{n}):a_{i}+a_{i+1}=1\}}}.$

Прямая сумма этих групп изоморфна тензорной алгебре над целыми числами мультипликативной группы $K_{1}(F)\cong F^{*}$ модифицируется двусторонним идеалом, порожденным:

$\left\{l(a)\otimes l(1-a):0,1\neq a\in F\right\}$

так

$\bigoplus _{n=0}^{\infty }K_{n}^{M}(F)\cong {\frac {T^{*}(K_{1}^{M}(F))}{\{l(a)\otimes l(1-a):a\neq 0,1\}}}$

показывая, что его определение является прямым продолжением отношений Стейнберга.

Характеристики

Кольцевая структура

Градуированный модуль $K_{*}^{M}(F)$ является градуированным коммутативным кольцом ^{стр. 1–3} . Если мы напишем

$(l(a_{1})\otimes \cdots \otimes l(a_{n}))\cdot (l(b_{1})\otimes \cdots \otimes l(b_{m}))$

как

$l(a_{1})\otimes \cdots \otimes l(a_{n})\otimes l(b_{1})\otimes \cdots \otimes l(b_{m})$

тогда для $\xi \in K_{i}^{M}(F)$ и $\eta \in K_{j}^{M}(F)$ у нас есть

$\xi \cdot \eta =(-1)^{i\cdot j}\eta \cdot \xi .$

Из доказательства этого свойства выпадают некоторые дополнительные свойства, например $$l(a)^{2}=l(a)l(-1)$$ для $l(a)\in K_{1}(F)$ с $l(a)l(-a)=0$. Кроме того, если $a_{1}+\cdots +a_{n}$ элементов ненулевых полей равно $0,1$, затем $$l(a_{1})\cdots l(a_{n})=0$$ Есть прямое арифметическое применение: $-1\in F$ является суммой квадратов тогда и только тогда, когда каждая положительная размерность $K_{n}^{M}(F)$ нильпотентна, что является мощным утверждением о структуре K-групп Милнора . В частности, для полей $\mathbb {Q} (i)$, $\mathbb {Q} _{p}(i)$ с ${\sqrt {-1}}\not \in \mathbb {Q} _{p}$, все его K-группы Милнора нильпотентны. В обратном случае поле $F$ может быть встроено в реальное закрытое поле , что дает полный порядок на поле.

Связь с высшими группами Чоу и высшей К-теорией Квиллена

Одним из основных свойств, связывающих K-теорию Милнора с высшей алгебраической K-теорией, является тот факт, что существуют естественные изоморфизмы. $$K_{n}^{M}(F)\to {\text{CH}}^{n}(F,n)$$ Блоха к высшим группам Чоу , что индуцирует морфизм градуированных колец $$K_{*}^{M}(F)\to {\text{CH}}^{*}(F,*)$$ В этом можно убедиться, используя явный морфизм ^{стр. 181} $$\phi :F^{*}\to {\text{CH}}^{1}(F,1)$$ где $$\phi (a)\phi (1-a)=0~{\text{in}}~{\text{CH}}^{2}(F,2)~{\text{for}}~a,1-a\in F^{*}$$ Эту карту дает $${\begin{aligned}\{1\}&\mapsto 0\in {\text{CH}}^{1}(F,1)\\\{a\}&\mapsto [a]\in {\text{CH}}^{1}(F,1)\end{aligned}}$$ для $[a]$ класс точки $[a:1]\in \mathbb {P} _{F}^{1}-\{0,1,\infty \}$ с $a\in F^{*}-\{1\}$. Основное свойство, которое необходимо проверить, заключается в том, что $[a]+[1/a]=0$ для $a\in F^{*}-\{1\}$ и $[a]+[b]=[ab]$. Обратите внимание, что это отличается от $[a]\cdot [b]$ поскольку это элемент ${\text{CH}}^{2}(F,2)$. Кроме того, второе свойство влечет за собой первое для $b=1/a$. Эту проверку можно выполнить с помощью рациональной кривой, определяющей цикл в $C^{1}(F,2)$ чье изображение под картой границ $\partial$ это сумма $[a]+[b]-[ab]$для $ab\neq 1$, показывая, что они отличаются границей. Аналогично, если $ab=1$ карта границ отправляет этот цикл в $[a]-[1/a]$, показывая, что они отличаются границей.Второе главное свойство, которое следует показать, — это отношения Стейнберга. Благодаря этому, а также тому факту, что высшие группы Чау имеют кольцевую структуру $${\text{CH}}^{p}(F,q)\otimes {\text{CH}}^{r}(F,s)\to {\text{CH}}^{p+r}(F,q+s)$$ мы получаем явную карту $$K_{*}^{M}(F)\to {\text{CH}}^{*}(F,*)$$ Показать карту в обратном направлении — это изоморфизм, это дополнительная работа, но мы получаем изоморфизмы $$K_{n}^{M}(F)\to {\text{CH}}^{n}(F,n)$$ Затем мы можем связать высшие группы Чжоу с высшей алгебраической K-теорией, используя тот факт, что существуют изоморфизмы $$K_{n}(X)\otimes \mathbb {Q} \cong \bigoplus _{p}{\text{CH}}^{p}(X,n)\otimes \mathbb {Q}$$ давая связь с высшей алгебраической K-теорией Квиллена. Обратите внимание, что карты

$K_{n}^{M}(F)\to K_{n}(F)$

от K-групп Милнора поля к K-группам Квиллена , что является изоморфизмом для $n\leq 2$ но не для большего n в целом. Для ненулевых элементов $a_{1},\ldots ,a_{n}$ в F символ ​ $\{a_{1},\ldots ,a_{n}\}$ в $K_{n}^{M}(F)$ означает образ $a_{1}\otimes \cdots \otimes a_{n}$ в тензорной алгебре. Каждый элемент K-теории Милнора можно записать как конечную сумму символов. Тот факт, что $\{a,1-a\}=0$ в $K_{2}^{M}(F)$ для $a\in F\setminus \{0,1\}$ иногда называют соотношением Штейнберга .

Представление в мотивных когомологиях

В мотивных когомологиях , в частности в мотивной теории гомотопий , существует пучок $K_{n,A}$ представляющее обобщение K-теории Милнора с коэффициентами в абелевой группе $A$. Если мы обозначим $A_{tr}(X)=\mathbb {Z} _{tr}(X)\otimes A$ тогда мы определяем пучок $K_{n,A}$ как снопирование следующего предпучка ^{стр. 4} $$K_{n,A}^{pre}:U\mapsto A_{tr}(\mathbb {A} ^{n})(U)/A_{tr}(\mathbb {A} ^{n}-\{0\})(U)$$ Заметим, что сечения этого предпучка являются эквивалентными классами циклов на $U\times \mathbb {A} ^{n}$ с коэффициентами в $A$ которые равномерны и конечны над $U$ (что следует непосредственно из определения $\mathbb {Z} _{tr}(X)$). Можно показать, что существует $\mathbb {A} ^{1}$-слабая эквивалентность с мотивными пучками Эйленберга-Маклана $K(A,2n,n)$ (в зависимости от принятой классификации).

Примеры

Конечные поля

Для конечного поля $F=\mathbb {F} _{q}$, $K_{1}^{M}(F)$ является циклической группой порядка $q-1$ (поскольку он изоморфен $\mathbb {F} _{q}^{*}$), поэтому градуированная коммутативность дает $$l(a)\cdot l(b)=-l(b)\cdot l(a)$$ следовательно $$l(a)^{2}=-l(a)^{2}$$ Потому что $K_{2}^{M}(F)$ является конечной группой, это означает, что она должна иметь порядок $\leq 2$. Глядя дальше, $1$ всегда можно выразить как сумму квадратичных невычетов, т.е. элементов $a,b\in F$ такой, что $[a],[b]\in F/F^{\times 2}$ не равны $0$, следовательно $a+b=1$ показывая $K_{2}^{M}(F)=0$. Поскольку отношения Стейнберга порождают все отношения в кольце Милнора K-теории, мы имеем $K_{n}^{M}(F)=0$ для $n>2$.

Реальные числа

Для поля действительных чисел $\mathbb {R}$ группы Милнора K-теории легко вычислить. В степени $n$ группа создается с помощью $$K_{n}^{M}(\mathbb {R} )=\{(-1)^{n},l(a_{1})\cdots l(a_{n}):a_{1},\ldots ,a_{n}>0\}$$ где $(-1)^{n}$ дает группе порядок $2$ и подгруппа, созданная $l(a_{1})\cdots l(a_{n})$ является делимым. Подгруппа, созданная $(-1)^{n}$ не делится, так как в противном случае его можно было бы выразить в виде суммы квадратов. Кольцо K-теории Милнора важно при изучении мотивной теории гомотопий, поскольку оно дает генераторы для части мотивной алгебры Стинрода . Остальные являются лифтами от классических операций Стинрода к мотивным когомологиям.

Другие расчеты

$K_{2}^{M}(\mathbb {C} )$ — несчетная однозначно делимая группа. Также, $K_{2}^{M}(\mathbb {R} )$ — прямая сумма циклической группы порядка 2 и несчетной однозначно делимой группы; $K_{2}^{M}(\mathbb {Q} _{p})$ является прямой суммой мультипликативной группы $\mathbb {F} _{p}$ и несчетная однозначно делимая группа; $K_{2}^{M}(\mathbb {Q} )$ является прямой суммой циклической группы порядка 2 и циклических групп порядка $p-1$ для всех нечетных простых чисел $p$. Для $n\geq 3$, $K_{n}^{M}(\mathbb {Q} )\cong \mathbb {Z} /2$. Полное доказательство находится в приложении к оригинальной статье Милнора. Некоторые расчеты можно увидеть, взглянув на карту на $K_{2}^{M}(F)$ вызванное включением глобального поля $F$ до его завершения $F_{v}$, поэтому существует морфизм $$K_{2}^{M}(F)\to \bigoplus _{v}K_{2}^{M}(F_{v})/({\text{max. divis. subgr.}})$$ ядро которого конечно порождено. Кроме того, коядро изоморфно корням из единицы в $F$.

Кроме того, для общего локального поля $F$ (например, конечное расширение $K/\mathbb {Q} _{p}$ Милнора ), K-группы $K_{n}^{M}(F)$ являются делимыми.

К _* ^М (Ф(т))

Существует общая структурная теорема вычисления $K_{n}^{M}(F(t))$ для поля $F$ в отношении К-теории Милнора $F$ и расширения $F[t]/(\pi )$ для ненулевых простых идеалов $(\pi )\in {\text{Spec}}(F[t])$. Это задается точной последовательностью $$0\to K_{n}^{M}(F)\to K_{n}^{M}(F(t))\xrightarrow {\partial _{\pi }} \bigoplus _{(\pi )\in {\text{Spec}}(F[t])}K_{n-1}F[t]/(\pi )\to 0$$ где $\partial _{\pi }:K_{n}^{M}(F(t))\to K_{n-1}F[t]/(\pi )$ является морфизмом, построенным из редукции $F$ к ${\overline {F}}_{v}$ для дискретной оценки $v$. Это следует из теоремы о существовании только одного гомоморфизма $$\partial :K_{n}^{M}(F)\to K_{n-1}^{M}({\overline {F}})$$ что для группы единиц $U\subset F$ какие элементы имеют оценку $0$, имеющий естественный морфизм $$U\to {\overline {F}}_{v}^{*}$$ где $u\mapsto {\overline {u}}$ у нас есть $$\partial (l(\pi )l(u_{2})\cdots l(u_{n}))=l({\overline {u}}_{2})\cdots l({\overline {u}}_{n})$$ где $\pi$ простой элемент, то есть ${\text{Ord}}_{v}(\pi )=1$, и $$\partial (l(u_{1})\cdots l(u_{n}))=0$$ Поскольку каждый ненулевой простой идеал $(\pi )\in {\text{Spec}}(F[t])$ дает оценку $v_{\pi }:F(t)\to F[t]/(\pi )$, мы получаем карту $\partial _{\pi }$ о К-группах Милнора.

Приложения

К-теория Милнора играет фундаментальную роль в теории поля более высокого класса , заменяя $K_{1}^{M}(F)=F^{\times }\!$ в одномерной теории полей классов .

K-теория Милнора вписывается в более широкий контекст мотивных когомологий через изоморфизм

$K_{n}^{M}(F)\cong H^{n}(F,\mathbb {Z} (n))$

К-теории Милнора поля с некоторой мотивной группой когомологий. В этом смысле очевидно специальное определение K-теории Милнора становится теоремой: некоторые группы мотивных когомологий поля могут быть явно вычислены с помощью генераторов и отношений .

Гораздо более глубокий результат, гипотеза Блоха-Като (также называемая теоремой об изоморфизме норм вычетов), связывает K-теорию Милнора с когомологиями Галуа или этальными когомологиями :

$K_{n}^{M}(F)/r\cong H_{\mathrm {et} }^{n}(F,\mathbb {Z} /r(n)),$

для любого натурального числа r, обратимого в поле F . Эту гипотезу доказал Владимир Воеводский при участии Маркуса Роста и других. К ним относятся теорема Александра Меркурьева и Андрея Суслина, а также гипотеза Милнора как частные случаи (случаи, когда $n=2$ и $r=2$, соответственно).

Наконец, существует связь между К-теорией Милнора и квадратичными формами . Для поля F характеристики, отличной от 2, определим фундаментальный идеал I в кольце Витта квадратичных форм над F как ядро ​​гомоморфизма $W(F)\to \mathbb {Z} /2$ задается размерностью квадратичной формы по модулю 2. Милнор определил гомоморфизм:

${\begin{cases}K_{n}^{M}(F)/2\to I^{n}/I^{n+1}\\\{a_{1},\ldots ,a_{n}\}\mapsto \langle \langle a_{1},\ldots ,a_{n}\rangle \rangle =\langle 1,-a_{1}\rangle \otimes \cdots \otimes \langle 1,-a_{n}\rangle \end{cases}}$

где $\langle \langle a_{1},a_{2},\ldots ,a_{n}\rangle \rangle$ обозначает класс n -кратной формы Пфистера .

Дмитрий Орлов, Александр Вишик и Воеводский доказали еще одно утверждение, называемое гипотезой Милнора, а именно, что этот гомоморфизм $K_{n}^{M}(F)/2\to I^{n}/I^{n+1}$ является изоморфизмом.

См. также

• Azumaya algebra
• Мотивная теория гомотопий

Ссылки

• Элман, Ричард ; Карпенко Никита; Меркурьев, Александр (2008), Алгебраическая и геометрическая теория квадратичных форм , Американское математическое общество, ISBN  978-0-8218-4329-1 , МР   2427530
• Гилле, Филипп; Самуэли, Тамаш (2006). Центральные простые алгебры и когомологии Галуа . Кембриджские исследования по высшей математике. Том. 101. Кембридж: Издательство Кембриджского университета . ISBN  0-521-86103-9 . МР   2266528 . Збл   1137.12001 .
• Мацца, Карло; Воеводский Владимир ; Вейбель, Чарльз (2006), Лекции по мотивным когомологиям , Математические монографии Клэя, том. 2, Американское математическое общество , ISBN.  978-0-8218-3847-1 , МР   2242284
• Милнор, Джон Уиллард (1970), «Алгебраическая K -теория и квадратичные формы», Inventiones Mathematicae , 9 (4), С приложением Джона Тейта : 318–344, Бибкод : 1970InMat...9..318M , doi : 10.1007/BF01425486 , ISSN   0020-9910 , MR   0260844 , S2CID   13549621 , Zbl   0199.55501
• Орлов Дмитрий; Вишик, Александр; Воеводский Владимир (2007), «Точная последовательность $K_{*}^{M}/2$ с приложениями к квадратичным формам», Annals of Mathematics , 165 : 1–13, arXiv : math/0101023 , doi : 10.4007/annals.2007.165.1 , MR   2276765 , S2CID   9504456
• Воеводский, Владимир (2011), «О мотивных когомологиях с $\mathbb {Z} /\ell$-коэффициенты» , Annals of Mathematics , 174 (1): 401–438, arXiv : 0805.4430 , doi : 10.4007/annals.2011.174.1.11 , MR   2811603 , S2CID   15583705

Внешние ссылки

• Некоторые аспекты функтора $K_{2}$ полей
• О вычислении Тейта $K_{2}(\mathbb {Q} )$