Квадратный класс

В математике, особенно в абстрактной алгебре , квадратный класс поля . $F$ является элементом группы квадратного класса , факторгруппы $F^{\times }/F^{\times 2}$ мультипликативной группы ненулевых элементов поля по модулю квадратных элементов поля. Каждый квадратный класс представляет собой подмножество ненулевых элементов ( смежный класс мультипликативной группы), состоящее из элементов вида xy ² где x — некоторый конкретный фиксированный элемент, а y — диапазон всех ненулевых элементов поля.

Например, если $F=\mathbb {R}$, поле действительных чисел , то $F^{\times }$ это просто группа всех ненулевых действительных чисел (с операцией умножения) и $F^{\times 2}$ — подгруппа положительных чисел (поскольку каждое положительное число имеет действительный квадратный корень ). Фактор этих двух групп представляет собой группу с двумя элементами, соответствующими двум смежным классам : набору положительных чисел и набору отрицательных чисел. Таким образом, действительные числа имеют два квадратных класса: положительные числа и отрицательные числа.

Квадратные классы часто изучаются в связи с теорией квадратичных форм . Причина в том, что если $V$ это $F$- векторное пространство и $q:V\to F$ является квадратичной формой и $v$ является элементом $V$ такой, что $q(v)=a\in F^{\times }$, то для всех $u\in F^{\times }$, $q(uv)=au^{2}$ и поэтому иногда удобнее говорить о квадратных классах, которые представляет квадратичная форма.

Каждый элемент группы квадратных классов является инволюцией . Отсюда следует, что если число квадратных классов поля конечно, оно должно быть степенью двойки .