Пифагорово поле

В алгебре поле Пифагора — это поле , в котором каждая сумма двух квадратов является квадратом: эквивалентно, оно имеет число Пифагора, равное 1. Пифагорово расширение поля $F$ расширение, полученное присоединением элемента ${\sqrt {1+\lambda ^{2}}}$ для некоторых $\lambda$ в $F$. Таким образом, поле Пифагора — это поле, замкнутое относительно пифагорейских расширений. Для любого поля $F$ существует минимальное поле Пифагора ${\textstyle F^{\mathrm {py} }}$ содержащее его, единственное с точностью до изоморфизма , называемое его пифагоровым замыканием . Поле Гильберта — это минимальное упорядоченное поле Пифагора.

Характеристики

Каждое евклидово поле ( упорядоченное поле, в котором все неотрицательные элементы являются квадратами) является упорядоченным пифагоровым полем, но обратное неверно. является Квадратично замкнутое поле полем Пифагора, но не наоборот ( $\mathbf {R}$ является пифагорейским); однако неформально вещественное поле Пифагора квадратично замкнуто.

Кольцо Витта поля Пифагора имеет порядок 2, если поле формально не вещественно , и без кручения в противном случае. Для поля $F$ существует точная последовательность с участием колец Витта

$0\rightarrow \operatorname {Tor} IW(F)\rightarrow W(F)\rightarrow W(F^{\mathrm {py} })$

где $IW(F)$ является фундаментальным идеалом кольца Витта $F$ и $\operatorname {Tor} IW(F)$ обозначает ее периодическую подгруппу (которая является нильрадикалом группы $W(F)$).

Эквивалентные условия

Следующие условия на поле F эквивалентны тому, что F является пифагорейским:

• Общий ) равен 0 или u -инвариант u ( F 1.
• Если ab не квадрат в F , то существует порядок в F, для которого a и b имеют разные знаки.
• F — пересечение его евклидовых замыканий .

Модели геометрии

Поля Пифагора можно использовать для построения моделей некоторых аксиом Гильберта в геометрии ( Iyanaga & Kawada 1980 , 163 C). Координатная геометрия, заданная формулой $F^{n}$ для $F$ Пифагорово поле удовлетворяет многим аксиомам Гильберта, таким как аксиомы инцидентности, аксиомы конгруэнтности и аксиомы параллелей. Однако в целом эта геометрия не обязательно удовлетворяет всем аксиомам Гильберта, если только поле F не имеет дополнительных свойств: например, если поле также упорядочено, то геометрия будет удовлетворять аксиомам упорядочения Гильберта, а если поле также полно, геометрия будет удовлетворять аксиомам порядка Гильберта, а если поле также полно, геометрия будет удовлетворять аксиомам Гильберта. аксиома полноты.

Пифагорово замыкание неархимедова упорядоченного поля , такое как пифагорейское замыкание поля рациональных функций. $\mathbf {Q} (x)$ в одной переменной над рациональными числами $\mathbf {Q} ,$ может использоваться для построения неархимедовой геометрии, удовлетворяющей многим аксиомам Гильберта, но не его аксиоме полноты. Ден использовал такое поле для построения двух плоскостей Дена , примеров нелегендровской геометрии и полуевклидовой геометрии соответственно, в которых есть много линий, хотя точка не пересекает данную линию, но где сумма углов треугольника находится в точке. минимум π.

Теорема Диллера – Дресса

Эта теорема утверждает, что если E / F — конечное расширение поля и E пифагорово, то и F так же . Как следствие, ни одно поле алгебраических чисел не является пифагорейским, поскольку все такие поля конечны над Q , которое не является пифагорейским.

Суперпифагорейские поля

Суперпифагорово поле F — это формально вещественное поле, обладающее тем свойством, что если S — подгруппа индекса 2 в F ^∗ и не содержит −1, то S определяет порядок на F . Эквивалентное определение состоит в том, что F — формально вещественное поле, в котором множество квадратов образует веер . Суперпифагорово поле обязательно является пифагорейским.

Верен аналог теоремы Диллера–Дресса: если E / F — конечное расширение и E суперпифагорейно, то F тоже . В противоположном направлении, если F является суперпифагоровым, а E — формально вещественное поле, содержащее F и содержащееся в квадратичном замыкании F , то E является суперпифагорейским.

Ссылки

• Ден, Макс (1900), «Теоремы Легендра на сумму углов в треугольниках» , Математические летописи , 53 (3): 404–439, doi : 10.1007/bf01448980 , ISSN   0025-5831 , JFM   31.0471.01, S2CID 1226688888888888888881, jfm 31.0471.01 S2CID 1226668888888888888888 8888888888888888 888888888888888888888888888888888888888888888888.   ,
• Эфрат, Идо (2006), Оценки, упорядочения и К -теория Милнора , Математические обзоры и монографии, том. 124, Провиденс, Род-Айленд: Американское математическое общество , ISBN.  0-8218-4041-Х , Збл   1103.12002
• Элман, Ричард; Лам, Тай (1972), «Квадратичные формы над формально действительными полями и пифагоровыми полями», American Journal of Mathematics , 94 (4): 1155–1194, doi : 10.2307/2373568 , ISSN   0002-9327 , JSTOR   2373568 , MR   0314878
• Гринберг, Марвин Дж. (2010), «Старые и новые результаты в основах элементарных плоских евклидовых и неевклидовых геометрий», Am. Математика. Пн. , 117 (3): 198–219, doi : 10.4169/000298910x480063 , ISSN   0002-9890 , S2CID   7792750 , Zbl   1206.51015
• Иянага, Сёкити ; Кавада, Юкиёси, ред. (1980) [1977], Энциклопедический математический словарь, Тома I, II , Перевод 2-го японского издания, версия издания 1977 года в мягкой обложке (1-е изд.), MIT Press , ISBN  978-0-262-59010-5 , МР   0591028
• Лам, Тай (1983), Порядки, оценки и квадратичные формы , Серия региональных конференций CBMS по математике, том. 52, Американское математическое общество , ISBN.  0-8218-0702-1 , Збл   0516.12001
• Лам, Тай (2005), «Глава VIII, раздел 4: Поля Пифагора», Введение в квадратичные формы над полями , Аспирантура по математике , том. 67, Провиденс, Род-Айленд: Американское математическое общество , стр. 255–264, ISBN.  978-0-8218-1095-8 , МР   2104929
• Мартин, Джордж Э. (1998), Геометрические конструкции , Тексты для студентов по математике , Springer-Verlag , ISBN  0-387-98276-0
• Милнор, Дж .; Хуземоллер, Д. (1973), Симметричные билинейные формы , Результаты математики и ее границы , том. 73, Спрингер Верлаг , ISBN  3-540-06009-Х , Збл   0292.10016
• Раджваде, А.Р. (1993), Squares , Серия лекций Лондонского математического общества, том. 171, Издательство Кембриджского университета , ISBN  0-521-42668-5 , Збл   0785.11022