Евклидово поле

Эта статья об упорядоченных полях. Для полей алгебраических чисел, кольцо целых чисел которых имеет евклидов алгоритм, см. Нормо-евклидово поле . О классе моделей статистической механики см. Евклидову теорию поля .

В математике евклидово поле — это упорядоченное поле K , для которого каждый неотрицательный элемент является квадратом: то есть x ≥ 0 в K означает, что x = y ² для некоторого y в K .

Конструктивные числа образуют евклидово поле. Это наименьшее евклидово поле, поскольку каждое евклидово поле содержит его как упорядоченное подполе. Другими словами, конструктивные числа образуют евклидово замыкание рациональных чисел .

Характеристики

• Каждое евклидово поле является упорядоченным пифагоровым полем , но обратное неверно.
• Если E / F — конечное расширение и E евклидово, то и F тоже . Эта «теорема о понижении» является следствием теоремы Диллера – Дресса .

Примеры

• Действительные конструктивные числа , те (сознаковые) длины, которые могут быть построены из рационального отрезка с помощью конструкций линейки и циркуля , образуют евклидово поле.

Каждое реальное замкнутое поле является евклидовым полем. Следующие примеры также являются реальными закрытыми полями.

• Реальные цифры $\mathbb {R}$ с помощью обычных операций и упорядочения образуют евклидово поле.
• Поле действительных алгебраических чисел $\mathbb {R} \cap \mathbb {\overline {Q}}$ является евклидовым полем.
• Поле гипердействительных чисел является евклидовым полем.

Контрпримеры

• Рациональные числа $\mathbb {Q}$ при обычных операциях и упорядочивании не образуют евклидово поле. Например, 2 не является квадратом в $\mathbb {Q}$ поскольку из 2 иррационален . квадратный корень Согласно приведенному выше результату, ни одно поле алгебраических чисел не может быть евклидовым.
• Комплексные числа $\mathbb {C}$ не образуют евклидово поле, так как им нельзя придать структуру упорядоченного поля.

Евклидово замыкание

Евклидово замыкание упорядоченного поля K является расширением K в квадратичном замыкании K , которое является максимальным относительно того, чтобы быть упорядоченным полем с порядком, расширяющим порядок K . Это также наименьшее подполе алгебраического замыкания K , является евклидовым полем и является упорядоченным расширением K которое .

Ссылки

• Эфрат, Идо (2006). Оценки, упорядочения и К -теория Милнора . Математические обзоры и монографии. Том. 124. Провиденс, Род-Айленд: Американское математическое общество . ISBN  0-8218-4041-Х . Збл   1103.12002 .
• Лам, Цит-Юэн (2005). Введение в квадратичные формы над полями . Аспирантура по математике . Том. 67. Американское математическое общество. ISBN  0-8218-1095-2 . МР   2104929 . Збл   1068.11023 .
• Мартин, Джордж Э. (1998). Геометрические конструкции . Тексты для бакалавриата по математике . Спрингер-Верлаг . ISBN  0-387-98276-0 . Збл   0890.51015 .

Внешние ссылки

• Евклидово поле в PlanetMath .