Точная последовательность операции

В теории математической хирургии является точная последовательность операций основным техническим инструментом для расчета множества структур операции компактного многообразия в размерности $>4$. Набор структур хирургии ${\mathcal {S}}(X)$ компактного $n$-мерное многообразие $X$ представляет собой точечное множество , которое классифицирует $n$-мерные многообразия гомотопического типа $X$.

Основная идея заключается в том, что для расчета ${\mathcal {S}}(X)$ достаточно понять другие члены последовательности, которые обычно легче определить. С одной стороны, это нормальные инварианты , образующие обобщенные группы когомологий можно использовать стандартные инструменты алгебраической топологии , и, следовательно, для их вычисления, по крайней мере в принципе, . С другой стороны, существуют L-группы , которые определяются алгебраически в терминах квадратичных форм или в терминах цепных комплексов с квадратичной структурой. Об этих группах известно очень много. Другая часть последовательности — это карты препятствий к операции от нормальных инвариантов к L-группам. Для этих карт существуют формулы определенных характеристических классов , позволяющие в ряде случаев их вычислить. Знания этих трех компонентов, а именно: карт нормалей, L-групп и карт препятствий хирургии, достаточно для определения структурного набора (по крайней мере, до задач расширения).

На практике приходится действовать индивидуально для каждого многообразия. ${\mathcal {}}X$ определить точную последовательность операции — уникальная задача, см. несколько примеров ниже. Также обратите внимание, что существуют варианты точной последовательности операций в зависимости от категории многообразий, с которыми мы работаем: гладкие (DIFF), PL или топологические многообразия , а также от того, учитываем ли мы кручение Уайтхеда или нет (декорации $s$ или $h$).

Оригинальная работа Браудера и Новикова 1962 года о существовании и единственности многообразий внутри односвязного гомотопического типа была переформулирована Салливаном в 1966 году как точная хирургическая последовательность .В 1970 году Уолл разработал теорию неодносвязных перестроек и точную последовательность перестроек для многообразий с произвольной фундаментальной группой .

Определение

Точная последовательность операции определяется как

$\cdots \to {\mathcal {N}}_{\partial }(X\times I)\to L_{n+1}(\pi _{1}(X))\to {\mathcal {S}}(X)\to {\mathcal {N}}(X)\to L_{n}(\pi _{1}(X))$

где:

записи ${\mathcal {N}}_{\partial }(X\times I)$ и ${\mathcal {N}}(X)$ — абелевы группы инвариантов нормальных ,

записи ${\mathcal {}}L_{n+1}(\pi _{1}(X))$ и ${\mathcal {}}L_{n}(\pi _{1}(X))$ — L-группы, ассоциированные с групповым кольцом $\mathbb {Z} [\pi _{1}(X)]$,

карты $\theta \colon {\mathcal {N}}_{\partial }(X\times I)\to L_{n+1}(\pi _{1}(X))$ и $\theta \colon {\mathcal {N}}(X)\to L_{n}(\pi _{1}(X))$ карты хирургических препятствий ,

стрелки $\partial \colon L_{n+1}(\pi _{1}(X))\to {\mathcal {S}}(X)$ и $\eta \colon {\mathcal {S}}(X)\to {\mathcal {N}}(X)$ будет объяснено ниже.

Версии

Существуют различные версии точной последовательности операции. Можно работать в любой из трех категорий многообразий: дифференцируемом (гладком), PL, топологическом. Еще одна возможность — поработать с декорациями. $s$ или $h$.

Записи

Нормальные инварианты

Основная статья: Нормальные инварианты

Карта нормалей первой степени $(f,b)\colon M\to X$ состоит из следующих данных: $n$-мерное ориентированное замкнутое многообразие $M$, карта $f$ который имеет степень один (это означает $f_{*}([M])=[X]$) и карта пакета $b\colon TM\oplus \varepsilon ^{k}\to \xi$ из устойчивого касательного расслоения $M$ в какой-то пакет $\xi$ над $X$. Две такие карты эквивалентны, если между ними существует нормальный бордизм (это означает бордизм источников, покрытых подходящим набором данных). Классы эквивалентности нормальных отображений первой степени называются нормальными инвариантами .

При таком определении нормальные инварианты ${\mathcal {N}}(X)$ представляют собой просто точечный набор с базовой точкой, заданной формулой $(id,id)$. Однако конструкция Понтрягина-Тома дает ${\mathcal {N}}(X)$ структура абелевой группы. На самом деле мы имеем неестественную биекцию

${\mathcal {N}}(X)\cong [X,G/O]$

где $G/O$ обозначает гомотопический слой отображения $J\colon BO\to BG$, которое является бесконечным пространством петель и, следовательно, отображается в него, определяет обобщенную теорию когомологий. Имеются соответствующие отождествления нормальных инвариантов с $[X,G/PL]$ при работе с PL-многообразиями и с $[X,G/TOP]$ при работе с топологическими многообразиями.

L-группы

Основная статья: L-теория

The $L$-группы определяются алгебраически через квадратичные формы или через цепные комплексы с квадратичной структурой. Подробности смотрите в основной статье. Здесь будут важны только свойства L-групп, описанные ниже.

Карты хирургических препятствий

Основная статья: Хирургическая обструкция

Карта $\theta \colon {\mathcal {N}}(X)\to L_{n}(\pi _{1}(X))$ является в первую очередь теоретико-множественным отображением (т.е. не обязательно гомоморфизмом) со следующим свойством (когда $n\geq 5$:

Карта нормалей первой степени $(f,b)\colon M\to X$ обычно кобордантен гомотопической эквивалентности тогда и только тогда, когда образ $\theta (f,b)=0$ в $L_{n}(\mathbb {Z} [\pi _{1}(X)])$.

Обычная стрелка инвариантов $\eta \colon {\mathcal {S}}(X)\to {\mathcal {N}}(X)$

Любая гомотопическая эквивалентность $f\colon M\to X$ определяет нормальную карту степени один.

Стрелка препятствия операции $\partial \colon L_{n+1}(\pi _{1}(X))\to {\mathcal {S}}(X)$

Эта стрелка фактически описывает действие группы $L_{n+1}(\pi _{1}(X))$ на съемочной площадке ${\mathcal {S}}(X)$ а не просто карта. В основе определения лежит теорема реализации для элементов $L$-группы, который читается следующим образом:

Позволять $M$ быть $n$-мерное многообразие с $\pi _{1}(M)\cong \pi _{1}(X)$ и пусть $x\in L_{n+1}(\pi _{1}(X))$. Тогда существует нормальное отображение многообразий первой степени с краем

$(F,B)\colon (W,M,M')\to (M\times I,M\times 0,M\times 1)$

со следующими свойствами:

1. $\theta (F,B)=x\in L_{n+1}(\pi _{1}(X))$

2. $F_{0}\colon M\to M\times 0$ является диффеоморфизмом

3. $F_{1}\colon M'\to M\times 1$ является гомотопической эквивалентностью замкнутых многообразий

Позволять $f\colon M\to X$ представлять элемент в ${\mathcal {S}}(X)$ и пусть $x\in L_{n+1}(\pi _{1}(X))$. Затем $\partial (f,x)$ определяется как $f\circ F_{1}\colon M'\to X$.

Точность

Напомним, что набор структур операции представляет собой только точечный набор и что карта препятствий операции $\theta$ может не быть гомоморфизмом. Следовательно, необходимо объяснить, что имеется в виду, когда говорят о «точной последовательности». Таким образом, точная последовательность операции является точной последовательностью в следующем смысле:

Для нормального инварианта $z\in {\mathcal {N}}(X)$ у нас есть $z\in \mathrm {Im} (\eta )$ тогда и только тогда, когда $\theta (z)=0$. Для двух коллекторных конструкций $x_{1},x_{2}\in {\mathcal {S}}(X)$ у нас есть $\eta (x_{1})=\eta (x_{2})$ тогда и только тогда, когда существует $u\in L_{n+1}(\pi _{1}(X))$ такой, что $\partial (u,x_{1})=x_{2}$. Для элемента $u\in L_{n+1}(\pi _{1}(X))$ у нас есть $\partial (u,\mathrm {id} )=\mathrm {id}$ тогда и только тогда, когда $u\in \mathrm {Im} (\theta )$.

Пересмотренные версии

В топологической категории карту препятствий к операции можно превратить в гомоморфизм. Это достигается путем помещения альтернативной абелевой групповой структуры в нормальные инварианты, как описано здесь . Более того, точная последовательность хирургии может быть отождествлена ​​с точной последовательностью алгебраической хирургии Раницки, которая по определению является точной последовательностью абелевых групп. Это дает набор структур ${\mathcal {S}}(X)$ строение абелевой группы. Однако отметим, что до сих пор не существует удовлетворительного геометрического описания структуры этой абелевой группы.

Классификация коллекторов

Ответ на организующие вопросы теории хирургии можно сформулировать в терминах точной последовательности операции. В обоих случаях ответ дается в виде двухступенчатой ​​теории препятствий.

Вопрос существования. Позволять $X$ — конечный комплекс Пуанкаре. Оно гомотопически эквивалентно многообразию тогда и только тогда, когда выполнены следующие два условия. Во-первых, $X$ должно иметь редукцию векторного расслоения своего нормального расслоения Спивака. Это условие можно также сформулировать так: множество нормальных инвариантов ${\mathcal {N}}(X)$ непусто. Во-вторых, должен существовать нормальный инвариант $x\in {\mathcal {N}}(X)$ такой, что $\theta (x)=0$. Аналогично, карта хирургических препятствий $\theta \colon {\mathcal {N}}(X)\rightarrow L_{n}(\pi _{1}(X))$ хиты $0\in L_{n}(\pi _{1}(X))$.

Вопрос уникальности. Позволять $f\colon M\to X$ и $f'\colon M'\to X$ представляют два элемента в наборе хирургических структур ${\mathcal {S}}(X)$. На вопрос, представляют ли они один и тот же элемент, можно ответить в два этапа следующим образом. Во-первых, должен существовать нормальный кобордизм между нормальными отображениями первой степени, индуцированными ${\mathcal {}}f$ и ${\mathcal {}}f'$, это означает ${\mathcal {}}\eta (f)=\eta (f')$ в ${\mathcal {N}}(X)$. Обозначим нормальный кобордизм $(F,B)\colon (W,M,M')\to (X\times I,X\times 0,X\times 1)$. Если хирургическое препятствие ${\mathcal {}}\theta (F,B)$ в ${\mathcal {}}L_{n+1}(\pi _{1}(X))$ чтобы превратить этот нормальный кобордизм в h-кобордизм (или s-кобордизм ) относительно границы, исчезает, тогда ${\mathcal {}}f$ и ${\mathcal {}}f'$ фактически представляют собой один и тот же элемент в наборе хирургических структур .

Фибрация Куинна

В своей диссертации, написанной под руководством Браудера , Фрэнк Куинн ввел расслоенную последовательность, так что точная последовательность длины операции является индуцированной последовательностью на гомотопических группах.

Примеры

1. Гомотопические сферы

Это пример из гладкой категории, $n\geq 5$.

Идея точной последовательности операций неявно присутствует уже в оригинальной статье Кервера и Милнора о группах гомотопических сфер. В современной терминологии мы имеем

${\mathcal {S}}^{DIFF}(S^{n})=\Theta ^{n}$

${\mathcal {N}}^{DIFF}(S^{n})=\Omega _{n}^{alm}$ группа кобордизмов почти оформлена $n$ коллекторы, ${\mathcal {N}}_{\partial }^{DIFF}(S^{n}\times I)=\Omega _{n+1}^{alm}$

$L_{n}(1)=\mathbb {Z} ,0,\mathbb {Z} _{2},0$ где $n\equiv 0,1,2,3$ против $4$ (напомним $4$-периодичность L-групп )

Точная последовательность операций в этом случае представляет собой точную последовательность абелевых групп. В дополнение к вышеперечисленным определениям мы имеем

$bP^{n+1}=\mathrm {ker} (\eta \colon {\mathcal {S}}^{DIFF}(S^{n})\to {\mathcal {N}}^{DIFF}(S^{n}))=\mathrm {coker} (\theta \colon {\mathcal {N}}_{\partial }^{DIFF}(S^{n}\times I)\to L_{n+1}(1))$

Поскольку нечетномерные L-группы тривиальны, получаются следующие точные последовательности:

$0\to \Theta ^{4i}\to \Omega _{4i}^{alm}\to \mathbb {Z} \to bP^{4i}\to 0$

$0\to \Theta ^{4i-2}\to \Omega _{4i-2}^{alm}\to \mathbb {Z} /2\to bP^{4i-2}\to 0$

$0\to bP^{2j}\to \Theta ^{2j-1}\to \Omega _{2j-1}^{alm}\to 0$

Результаты Кервера и Милнора получены путем изучения среднего отображения в первых двух последовательностях и связывания групп $\Omega _{i}^{alm}$ к стабильной теории гомотопий.

2. Топологические сферы

Обобщенная гипотеза Пуанкаре в размерности $n$ можно сформулировать так: ${\mathcal {S}}^{TOP}(S^{n})=0$. Это доказано для любого $n$ работами Смейла, Фридмана и Перельмана. Из точной последовательности операции $S^{n}$ для $n\geq 5$ в топологической категории мы видим, что

$\theta \colon {\mathcal {N}}^{TOP}(S^{n})\to L_{n}(1)$

является изоморфизмом. (На самом деле это можно распространить и на $n\geq 1$ некоторыми специальными методами.)

3. Комплексные проективные пространства в топологической категории

Сложное проективное пространство $\mathbb {C} P^{n}$ это $(2n)$-мерное топологическое многообразие с $\pi _{1}(\mathbb {C} P^{n})=1$. Кроме того, известно, что в случае $\pi _{1}(X)=1$ в топологической категории — карта препятствий хирургическому вмешательству $\theta$ всегда сюръективен. Следовательно, мы имеем

$0\to {\mathcal {S}}^{TOP}(\mathbb {C} P^{n})\to {\mathcal {N}}^{TOP}(\mathbb {C} P^{n})\to L_{2n}(1)\to 0$

Из работы Салливана можно вычислить

${\mathcal {N}}(\mathbb {C} P^{n})\cong \oplus _{i=1}^{\lfloor n/2\rfloor }\mathbb {Z} \oplus \oplus _{i=1}^{\lfloor (n+1)/2\rfloor }\mathbb {Z} _{2}$ и, следовательно, ${\mathcal {S}}(\mathbb {C} P^{n})\cong \oplus _{i=1}^{\lfloor (n-1)/2\rfloor }\mathbb {Z} \oplus \oplus _{i=1}^{\lfloor n/2\rfloor }\mathbb {Z} _{2}$

4. Асферические многообразия в топологической категории

Асферический $n$-мерное многообразие $X$ это $n$-многообразие такое, что $\pi _{i}(X)=0$ для $i\geq 2$. Следовательно, единственной нетривиальной гомотопической группой является $\pi _{1}(X)$

Один из способов сформулировать гипотезу Бореля — сказать, что для таких $X$ у нас есть группа Уайтхеда $Wh(\pi _{1}(X))$ тривиально и это

${\mathcal {S}}(X)=0$

Эта гипотеза была доказана во многих частных случаях, например, когда $\pi _{1}(X)$ является $\mathbb {Z} ^{n}$, когда это фундаментальная группа отрицательно искривленного многообразия или когда это словесно-гиперболическая группа или CAT(0)-группа.

Это утверждение эквивалентно показу, что карта препятствий хирургическому вмешательству справа от набора структур хирургического вмешательства является инъективной, а карта препятствий хирургическому вмешательству слева от набора структур хирургического вмешательства сюръективна. Большинство доказательств вышеупомянутых результатов проводится путем изучения этих отображений или изучения карт сборок, с которыми их можно отождествить. Подробнее см. в Гипотеза Бореля , Гипотеза Фаррелла-Джонса .

Ссылки

• Браудер, Уильям (1972), Хирургия односвязных коллекторов , Берлин, Нью-Йорк: Springer-Verlag , MR   0358813
• Люк, Вольфганг (2002), Основное введение в теорию хирургии (PDF) , Конспект лекций ICTP, серия 9, группа 1, школы «Теория многомерных многообразий» в Триесте, май / июнь 2001 г., Международный центр теоретических исследований Абдуса Салама. Физика, Триест 1-224
• Раницки, Эндрю (1992), Алгебраическая L-теория и топологические многообразия (PDF) , Cambridge Tracts in Mathematics, vol. 102, Издательство Кембриджского университета
• Раницки, Эндрю (2002), Алгебраическая и геометрическая хирургия (PDF) , Оксфордские математические монографии, Clarendon Press, ISBN  978-0-19-850924-0 , МР   2061749
• Уолл, CTC (1999), Хирургия на компактных многообразиях , Математические обзоры и монографии, том. 69 (2-е изд.), Провиденс, Род-Айленд: Американское математическое общество , ISBN.  978-0-8218-0942-6 , МР   1687388