Гипотеза Фаррелла – Джонса

В математике гипотеза Фаррелла- Джонса названный в честь Ф. Томаса Фаррелла и Лоуэлла Э. Джонса , утверждает, что некоторые карты сборки являются изоморфизмами . Эти отображения заданы как некоторые гомоморфизмы .

Мотивацией является интерес к цели сборки карт; это может быть, например, алгебраическая K-теория группового кольца

$K_{n}(RG)$

или L-теория группового кольца

$L_{n}(RG)$,

где G — некоторая группа .

Источниками карт сборки являются эквивариантная теория гомологии, вычисленная на классифицирующем пространстве группы G относительно семейства практически циклических подгрупп группы G . Таким образом, если предположить, что гипотеза Фаррелла-Джонса верна, можно ограничить вычисления практически циклическими подгруппами, чтобы получить информацию о сложных объектах, таких как $K_{n}(RG)$ или $L_{n}(RG)$.

Гипотеза Баума – Конна формулирует аналогичное утверждение для топологической K-теории приведенной группы. $C^{*}$-алгебры $K_{n}^{top}(C_{*}^{r}(G))$.

Формулировка

Можно найти для любого кольца $R$ эквивариантные теории гомологии $KR_{*}^{?},LR_{*}^{?}$ удовлетворяющий

$KR_{n}^{G}(\{\cdot \})\cong K_{n}(R[G])$ соответственно $LR_{n}^{G}(\{\cdot \})\cong L_{n}(R[G]).$

Здесь $R[G]$ обозначает групповое кольцо .

K-теоретико-гипотеза Фаррелла – Джонса для группы G утверждает, что отображение $p:E_{VCYC}(G)\rightarrow \{\cdot \}$ индуцирует изоморфизм гомологий

$KR_{*}^{G}(p):KR_{*}^{G}(E_{VCYC}(G))\rightarrow KR_{*}^{G}(\{\cdot \})\cong K_{*}(R[G]).$

Здесь $E_{VCYC}(G)$ обозначает классифицирующее пространство группы G относительно семейства практически циклических подгрупп, т. е. G -CW-комплекс, изотропные группы практически цикличны и для любой практически циклической подгруппы группы G множество неподвижных точек стягиваемо которого .

L-теоретическая гипотеза Фаррелла – Джонса аналогична.

Вычислительные аспекты

Вычисление алгебраических K-групп и L-групп группового кольца $R[G]$ мотивируется препятствиями, живущими в этих группах (см., например, препятствие конечности Уолла , препятствие хирургии , кручение Уайтхеда ). Итак, предположим, группа $G$ удовлетворяет гипотезе Фаррелла–Джонса для алгебраической K-теории. Предположим, что мы уже нашли модель $X$ для классифицирующего пространства практически циклических подгрупп:

$\emptyset =X^{-1}\subset X^{0}\subset X^{1}\subset \ldots \subset X$

Выбирать $G$-пушауты и примените к ним последовательность Майера-Вьеториса:

$KR_{n}^{G}(\coprod _{j\in I_{i}}G/H_{j}\times S^{i-1})\rightarrow KR_{n}^{G}(\coprod _{j\in I_{i}}G/H_{j}\times D^{i})\oplus KR_{n}^{G}(X^{i-1})\rightarrow KR_{n}^{G}(X^{i})$$\rightarrow KR_{n-1}^{G}(\coprod _{j\in I_{i}}G/H_{j}\times S^{i-1})\rightarrow KR_{n-1}^{G}(\coprod _{j\in I_{i}}G/H_{j}\times D^{i})\oplus KR_{n-1}^{G}(X^{i-1})$

Эта последовательность упрощается до:

$\bigoplus _{j\in I_{i}}K_{n}(R[H_{j}])\oplus \bigoplus _{j\in I_{i}}K_{n-1}(RH_{j})\rightarrow \bigoplus _{j\in I_{i}}K_{n}(RH_{j})\oplus KR_{n}^{G}(X^{i-1})\rightarrow KR_{n}^{G}(X^{i})$$\rightarrow \bigoplus _{j\in I_{i}}K_{n-1}(RH_{j})\oplus \bigoplus _{j\in I_{i}}K_{n-2}(RH_{j})\rightarrow \bigoplus _{j\in I_{i}}K_{n-1}(RH_{j})\oplus KR_{n-1}^{G}(X^{i-1})$

Это означает, что если какая-либо группа удовлетворяет определенной гипотезе об изоморфизме, то ее алгебраическую K-теорию (L-теорию) можно вычислить, только зная алгебраическую K-теорию (L-теорию) виртуально циклических групп и зная подходящую модель для $E_{VCYC}(G)$.

Почему семейство практически циклических подгрупп?

Можно также попытаться принять во внимание, например, семейство конечных подгрупп. С этой семьей гораздо легче справиться. Рассмотрим бесконечную циклическую группу $\mathbb {Z}$. Модель для $E_{FIN}(\mathbb {Z} )$ задается реальной линией $\mathbb {R}$, на котором $\mathbb {Z}$ действует свободно посредством переводов. Используя свойства эквивариантной K-теории, получаем

$K_{n}^{\mathbb {Z} }(\mathbb {R} )=K_{n}(S^{1})=K_{n}(pt)\oplus K_{n-1}(pt)=K_{n}(R)\oplus K_{n-1}(R).$

Разложение Басса -Хеллера-Свана дает

$K_{n}^{\mathbb {Z} }(pt)=K_{n}(R[\mathbb {Z} ])\cong K_{n}(R)\oplus K_{n-1}(R)\oplus NK_{n}(R)\oplus NK_{n}(R).$

Действительно, проверяется, что отображение сборки задано каноническим включением.

$K_{n}(R)\oplus K_{n-1}(R)\hookrightarrow K_{n}(R)\oplus K_{n-1}(R)\oplus NK_{n}(R)\oplus NK_{n}(R)$

Таким образом, это изоморфизм тогда и только тогда, когда $NK_{n}(R)=0$, что имеет место, если $R$ это обычное кольцо . Так что в этом случае действительно можно использовать семейство конечных подгрупп. С другой стороны, это показывает, что гипотеза об изоморфизме алгебраической K-теории и семейства конечных подгрупп неверна. Приходится распространить гипотезу на большее семейство подгрупп, содержащее все контрпримеры. В настоящее время неизвестны контрпримеры гипотезы Фаррелла – Джонса. Если существует контрпример, необходимо расширить семейство подгрупп до большего семейства, содержащего этот контрпример.

Наследование гипотез об изоморфизме

Класс групп, удовлетворяющий расслоенной гипотезе Фаррелла–Джонса, содержит следующие группы

• практически циклические группы (определение)
• гиперболические группы (см. )
• CAT(0)-группы (см. )
• разрешимые группы (см. )
• отображение групп классов (см. )

Кроме того, класс имеет следующие свойства наследования:

• Замкнут относительно конечных произведений групп.
• Закрыто при приеме подгрупп.

Метагипотеза и гипотезы расслоенного изоморфизма

Исправление эквивариантной теории гомологий $H_{*}^{?}$. Можно сказать, что группа G удовлетворяет гипотезе об изоморфизме семейства подгрупп $F$, тогда и только тогда, когда отображение, индуцированное проекцией $E_{F}(G)\rightarrow \{\cdot \}$ индуцирует изоморфизм гомологий:

$H_{*}^{G}(E_{F}(G))\rightarrow H_{*}^{G}(\{\cdot \})$

Группа G удовлетворяет гипотезе расслоенного изоморфизма семейства подгрупп F тогда и только тогда, когда для любого группового гомоморфизма $\alpha :H\rightarrow G$ группа H удовлетворяет гипотезе об изоморфизме семейства

$\alpha ^{*}F:=\{H'\leq H|\alpha (H)\in F\}$.

Сразу понимаешь, что в этой ситуации $H$ также удовлетворяет гипотезе расслоенного изоморфизма семейства $\alpha ^{*}F$.

Принцип транзитивности

Принцип транзитивности — это инструмент изменения семейства рассматриваемых подгрупп. Учитывая две семьи $F\subset F'$ подгрупп $G$. Предположим, каждая группа $H\in F'$ удовлетворяет гипотезе (расслоенного) изоморфизма относительно семейства $F|_{H}:=\{H'\in F|H'\subset H\}$. Затем группа $G$ удовлетворяет гипотезе расслоенного изоморфизма относительно семейства $F$ тогда и только тогда, когда он удовлетворяет гипотезе (расслоенного) изоморфизма относительно семейства $F'$.

Гипотезы об изоморфизме и гомоморфизмы групп

Для любого группового гомоморфизма $\alpha \colon H\rightarrow G$ и предположим, что G"' удовлетворяет гипотезе расслоенного изоморфизма для семейства F подгрупп. Тогда также H"' удовлетворяет гипотезе расслоенного изоморфизма для семейства F $\alpha ^{*}F$. Например, если $\alpha$ имеет конечное ядро $\alpha ^{*}VCYC$ согласуется с семейством практически циклических подгрупп группы H .

Для подходящего $\alpha$ можно использовать принцип транзитивности, чтобы снова сократить семейство.

Связи с другими гипотезами

Гипотеза Новикова

Есть также связи между гипотезой Фаррелла-Джонса и гипотезой Новикова . Известно, что если одно из следующих отображений

$H_{*}^{G}(E_{VCYC}(G),L_{R}^{\langle -\infty \rangle })\rightarrow H_{*}^{G}(\{\cdot \},L_{R}^{\langle -\infty \rangle })=L_{*}^{\langle -\infty \rangle }(RG)$

$H_{*}^{G}(E_{FIN}(G),K^{top})\rightarrow H_{*}^{G}(\{\cdot \},K^{top})=K_{n}(C_{r}^{*}(G))$

рационально инъективен, то для $G$. См., например, .

Гипотеза Боста

Гипотеза Боста (названная в честь Жана-Бенуа Боста ) утверждает, что карта сборки

$H_{*}^{G}(E_{FIN}(G),K_{l^{1}}^{top})\rightarrow H_{*}^{G}(\{\cdot \},K_{l^{1}}^{top})=K_{*}(l^{1}(G))$

является изоморфизмом. Кольцевой гомоморфизм $l^{1}(G)\rightarrow C_{r}(G)$ индуцирует отображения в K-теории $K_{*}(l^{1}(G))\rightarrow K_{*}(C_{r}(G))$. Составив верхнюю карту сборки с помощью этого гомоморфизма, можно получить в точности карту сборки, встречающуюся в гипотезе Баума – Конна .

$H_{*}^{G}(E_{FIN}(G),K_{l^{1}}^{top})=H_{*}^{G}(E_{FIN}(G),K^{top})\rightarrow H_{*}^{G}(\{\cdot \},K^{top})=K_{*}(C_{r}(G))$

Гипотеза Капланского

Гипотеза Капланского предсказывает, что для целой области $R$ и группа без кручения $G$ единственные идемпотенты в $R[G]$ являются $0,1$. Каждый такой идемпотент $p$ дает проективное значение $R[G]$ модуль, взяв образ правильного умножения с $p$. Следовательно, по-видимому, существует связь между гипотезой Капланского и исчезновением $K_{0}(R[G])$. Существуют теоремы, связывающие гипотезу Капланского с гипотезой Фаррелла Уильямса – Джонса (ср. ).