Набор хирургических структур

В математике набор структур хирургии ${\mathcal {S}}(X)$ является основным объектом изучения многообразий эквивалентных , гомотопически замкнутому многообразию X. Это понятие помогает ответить на вопрос, являются ли два гомотопически эквивалентных многообразия диффеоморфными (или PL-гомеоморфными или гомеоморфными ). Существуют разные варианты набора структур в зависимости от категории (DIFF, PL или TOP) и от того, кручение Уайтхеда учитывается или нет .

Определение

Пусть X — замкнутое гладкое (или PL- или топологическое) многообразие размерности n. Две гомотопические эквивалентности мы называем $f_{i}:M_{i}\to X$ из закрытых коллекторов $M_{i}$ размера $n$ к $X$ ( $i=0,1$ ) эквивалентно, если существует кобордизм ${\mathcal {}}(W;M_{0},M_{1})$ вместе с картой $(F;f_{0},f_{1}):(W;M_{0},M_{1})\to (X\times [0,1];X\times \{0\},X\times \{1\})$ такой, что $F$ , $f_{0}$ и $f_{1}$ являются гомотопическими эквивалентностями.Набор структур ${\mathcal {S}}^{h}(X)$ — множество классов эквивалентности гомотопических эквивалентностей $f:M\to X$ из замкнутых многообразий размерности n в X.Этот набор имеет предпочтительную базовую точку: $id:X\to X$ .

Существует также версия, учитывающая кручение Уайтхеда. Если мы потребуем в приведенном выше определении гомотопических эквивалентностей F, $f_{0}$ и $f_{1}$ быть простыми гомотопическими эквивалентностями, то мы получаем простой структурный набор ${\mathcal {S}}^{s}(X)$ .

Примечания

Обратите внимание, что $(W;M_{0},M_{1})$ в определении ${\mathcal {S}}^{h}(X)$ соотв. ${\mathcal {S}}^{s}(X)$ представляет собой h-кобордизм соответственно. s -кобордизм . Используя теорему о s-кобордизме, мы получаем другое описание множества простых структур ${\mathcal {S}}^{s}(X)$ , при условии, что n>4: набор простых структур ${\mathcal {S}}^{s}(X)$ — множество классов эквивалентности гомотопических эквивалентностей $f:M\to X$ из закрытых коллекторов $M$ размерности n до X относительно следующего отношения эквивалентности. Две гомотопические эквивалентности $f_{i}:M_{i}\to X$ (i=0,1) эквивалентны, если существуетдиффеоморфизм (или PL-гомеоморфизм или гомеоморфизм) $g:M_{0}\to M_{1}$ такой, что $f_{1}\circ g$ гомотопен $f_{0}$ .

Пока мы имеем дело с дифференциальными многообразиями, на нем, вообще говоря, не существует канонической групповой структуры. ${\mathcal {S}}^{s}(X)$ . Если мы имеем дело с топологическими многообразиями, то можно наделить ${\mathcal {S}}^{s}(X)$ с предпочтительной структурой абелевой группы (см. главу 18 в книге Раницкого ).

Заметим, что многообразие M диффеоморфно (или PL-гомеоморфно или гомеоморфно) замкнутому многообразию X тогда и только тогда, когда существует простая гомотопическая эквивалентность $\phi :M\to X$ класс эквивалентности которого является базовой точкой в ${\mathcal {S}}^{s}(X)$ . Необходима некоторая осторожность, поскольку вполне возможно, что данная простая гомотопическая эквивалентность $\phi :M\to X$ не гомотопен диффеоморфизму (или PL-гомеоморфизму или гомеоморфизму), хотя M и X диффеоморфны (или PL-гомеоморфны или гомеоморфны). Поэтому необходимо также изучить работу группы гомотопических классов простых самоэквивалентностей X на ${\mathcal {S}}^{s}(X)$ .

Основным инструментом для вычисления набора простых структур является точная последовательность операции .

Примеры

Топологические сферы. Обобщенная гипотеза Пуанкаре в топологической категории гласит, что ${\mathcal {S}}^{s}(S^{n})$ состоит только из базовой точки. Эту гипотезу доказали Смейл (n > 4), Фридман (n = 4) и Перельман (n = 3).

Экзотические сферы: Классификация экзотических сфер Кервера и Милнора дает ${\mathcal {S}}^{s}(S^{n})=\theta _{n}=\pi _{n}(PL/O)$ для n > 4 (гладкая категория).

Ссылки

Браудер, Уильям (1972), Хирургия на односвязных коллекторах , Берлин, Нью-Йорк: Springer-Verlag , MR 0358813
Раницки, Эндрю (2002), Алгебраическая и геометрическая хирургия , Оксфордские математические монографии, Clarendon Press, ISBN 978-0-19-850924-0 , МР 2061749
Уолл, CTC (1999), Хирургия на компактных многообразиях , Математические обзоры и монографии, том. 69 (2-е изд.), Провиденс, Род-Айленд: Американское математическое общество , ISBN. 978-0-8218-0942-6 , МР 1687388
Раницки, Эндрю (1992), Алгебраическая L-теория и топологические многообразия (PDF) , Кембриджские трактаты по математике 102, CUP, ISBN 0-521-42024-5 , МР 1211640

Внешние ссылки