символ 9-й

Вигнера 9- j В физике символы были введены Юджином Полом Вигнером в 1937 году. Они связаны с коэффициентами связи в квантовой механике, включающими четыре угловых момента:

${\sqrt {(2j_{3}+1)(2j_{6}+1)(2j_{7}+1)(2j_{8}+1)}}{\begin{Bmatrix}j_{1}&j_{2}&j_{3}\\j_{4}&j_{5}&j_{6}\\j_{7}&j_{8}&j_{9}\end{Bmatrix}}$ $=\langle ((j_{1}j_{2})j_{3},(j_{4}j_{5})j_{6})j_{9}|((j_{1}j_{4})j_{7},(j_{2}j_{5})j_{8})j_{9}\rangle .$

Восстановление связи четырех векторов углового момента

Связь двух угловых моментов $\mathbf {j} _{1}$ и $\mathbf {j} _{2}$ – это построение одновременных собственных функций $\mathbf {J} ^{2}$ и $J_{z}$ , где $\mathbf {J} =\mathbf {j} _{1}+\mathbf {j} _{2}$ , как объяснено в статье о коэффициентах Клебша – Гордана .

Соединение трех угловых моментов можно осуществить несколькими способами, как объяснено в статье о W-коэффициентах Рака . Используя обозначения и методы этой статьи, состояния полного углового момента, возникающие в результате связи векторов углового момента $\mathbf {j} _{1}$ , $\mathbf {j} _{2}$ , $\mathbf {j} _{4}$ , и $\mathbf {j} _{5}$ может быть записано как

|((j_{1}j_{2})j_{3},(j_{4}j_{5})j_{6})j_{9}m_{9}\rangle .

Альтернативно, можно сначала пару $\mathbf {j} _{1}$ и $\mathbf {j} _{4}$ к $\mathbf {j} _{7}$ и $\mathbf {j} _{2}$ и $\mathbf {j} _{5}$ к $\mathbf {j} _{8}$ , перед соединением $\mathbf {j} _{7}$ и $\mathbf {j} _{8}$ к $\mathbf {j} _{9}$ :

|((j_{1}j_{4})j_{7},(j_{2}j_{5})j_{8})j_{9}m_{9}\rangle .

Оба набора функций обеспечивают полную ортонормированную основу пространства с размерностью $(2j_{1}+1)(2j_{2}+1)(2j_{4}+1)(2j_{5}+1)$ охватываемый

|j_{1}m_{1}\rangle |j_{2}m_{2}\rangle |j_{4}m_{4}\rangle |j_{5}m_{5}\rangle ,\;\;m_{1}=-j_{1},\ldots ,j_{1};\;\;m_{2}=-j_{2},\ldots ,j_{2};\;\;m_{4}=-j_{4},\ldots ,j_{4};\;\;m_{5}=-j_{5},\ldots ,j_{5}.

Следовательно, преобразование между двумя наборами является унитарным, а матричные элементы преобразования задаются скалярными произведениями функций. Как и в случае W-коэффициентов Рака, матричные элементы не зависят от квантового числа проекции полного углового момента ( $m_{9}$ ):

|((j_{1}j_{4})j_{7},(j_{2}j_{5})j_{8})j_{9}m_{9}\rangle =\sum _{j_{3}}\sum _{j_{6}}|((j_{1}j_{2})j_{3},(j_{4}j_{5})j_{6})j_{9}m_{9}\rangle \langle ((j_{1}j_{2})j_{3},(j_{4}j_{5})j_{6})j_{9}|((j_{1}j_{4})j_{7},(j_{2}j_{5})j_{8})j_{9}\rangle .

Отношения симметрии

Символ 9- j инвариантен относительно любой диагонали, а также даже перестановок его строк или столбцов:

{\begin{Bmatrix}j_{1}&j_{2}&j_{3}\\j_{4}&j_{5}&j_{6}\\j_{7}&j_{8}&j_{9}\end{Bmatrix}}={\begin{Bmatrix}j_{1}&j_{4}&j_{7}\\j_{2}&j_{5}&j_{8}\\j_{3}&j_{6}&j_{9}\end{Bmatrix}}={\begin{Bmatrix}j_{9}&j_{6}&j_{3}\\j_{8}&j_{5}&j_{2}\\j_{7}&j_{4}&j_{1}\end{Bmatrix}}={\begin{Bmatrix}j_{7}&j_{4}&j_{1}\\j_{9}&j_{6}&j_{3}\\j_{8}&j_{5}&j_{2}\end{Bmatrix}}.

Нечетная перестановка строк или столбцов дает фазовый коэффициент. $(-1)^{S}$ , где

S=\sum _{i=1}^{9}j_{i}.

Например:

{\begin{Bmatrix}j_{1}&j_{2}&j_{3}\\j_{4}&j_{5}&j_{6}\\j_{7}&j_{8}&j_{9}\end{Bmatrix}}=(-1)^{S}{\begin{Bmatrix}j_{4}&j_{5}&j_{6}\\j_{1}&j_{2}&j_{3}\\j_{7}&j_{8}&j_{9}\end{Bmatrix}}=(-1)^{S}{\begin{Bmatrix}j_{2}&j_{1}&j_{3}\\j_{5}&j_{4}&j_{6}\\j_{8}&j_{7}&j_{9}\end{Bmatrix}}.

Приведение к символам 6j

Символы 9- j можно рассчитать как суммы по тройным произведениям символов 6 -j , где суммирование распространяется на все $x,$ допускаемые условиями треугольника в множителях:

{\begin{Bmatrix}j_{1}&j_{2}&j_{3}\\j_{4}&j_{5}&j_{6}\\j_{7}&j_{8}&j_{9}\end{Bmatrix}}=\sum _{x}(-1)^{2x}(2x+1){\begin{Bmatrix}j_{1}&j_{4}&j_{7}\\j_{8}&j_{9}&x\end{Bmatrix}}{\begin{Bmatrix}j_{2}&j_{5}&j_{8}\\j_{4}&x&j_{6}\end{Bmatrix}}{\begin{Bmatrix}j_{3}&j_{6}&j_{9}\\x&j_{1}&j_{2}\end{Bmatrix}}

.

Особый случай

Когда $j_{9}=0$ символ 9- j пропорционален символу 6-j :

{\begin{Bmatrix}j_{1}&j_{2}&j_{3}\\j_{4}&j_{5}&j_{6}\\j_{7}&j_{8}&0\end{Bmatrix}}={\frac {\delta _{j_{3},j_{6}}\delta _{j_{7},j_{8}}}{\sqrt {(2j_{3}+1)(2j_{7}+1)}}}(-1)^{j_{2}+j_{3}+j_{4}+j_{7}}{\begin{Bmatrix}j_{1}&j_{2}&j_{3}\\j_{5}&j_{4}&j_{7}\end{Bmatrix}}.

Отношение ортогональности

Символы 9- j удовлетворяют этому соотношению ортогональности:

\sum _{j_{7}j_{8}}(2j_{7}+1)(2j_{8}+1){\begin{Bmatrix}j_{1}&j_{2}&j_{3}\\j_{4}&j_{5}&j_{6}\\j_{7}&j_{8}&j_{9}\end{Bmatrix}}{\begin{Bmatrix}j_{1}&j_{2}&j_{3}'\\j_{4}&j_{5}&j_{6}'\\j_{7}&j_{8}&j_{9}\end{Bmatrix}}={\frac {\delta _{j_{3}j_{3}'}\delta _{j_{6}j_{6}'}{\begin{Bmatrix}j_{1}&j_{2}&j_{3}\end{Bmatrix}}{\begin{Bmatrix}j_{4}&j_{5}&j_{6}\end{Bmatrix}}{\begin{Bmatrix}j_{3}&j_{6}&j_{9}\end{Bmatrix}}}{(2j_{3}+1)(2j_{6}+1)}}.

Треугольная дельта ${j 1 j 2 j 3}$ равна 1, когда триада ( j ₁ , j ₂ , j ₃ ) удовлетворяет условиям треугольника, и нулю в противном случае.

3 n -j символа

Символ 6-j является первым представителем, $n = 2$ , из $3 символов n$ - j , которые определяются как суммы произведений $n$ коэффициентов Вигнера 3- jm . Суммы рассчитываются по всем комбинациям $m$ , которые $допускают 3 коэффициента n$ — j , т. е. которые приводят к неисчезающим вкладам.

Если каждый фактор 3- jm представлен вершиной, а каждый j - ребром, то эти $3 n$ - j символов можно отобразить на определенных 3-регулярных графах с $3 n$ ребрами и $2 n$ узлами. Символ 6- j связан с графом K4 _K3,3 на 4 вершинах, символ 9- j — с графом полезности на 6 вершинах ( ) _j , а два различных (неизоморфных) символа 12- — с Q ₃ и графы Вагнера на 8 вершинах.Отношения симметрии обычно являются представителями группы автоморфизмов этих графов.

См. также

Коэффициенты Клебша – Гордана
Символ 3-j , также называемый символом 3-jm
W-коэффициент Рака
6-й символ

Ссылки

Биденхарн, LC; Ван Дам, Х. (1965). Квантовая теория углового момента: сборник репринтов и оригинальных статей . Нью-Йорк: Академическая пресса . ISBN 0120960567 .
Эдмондс, Арканзас (1957). Угловой момент в квантовой механике . Принстон, Нью-Джерси: Издательство Принстонского университета . ISBN 0-691-07912-9 .
Кондон, Эдвард У.; Шортли, GH (1970). «Глава 3». Теория атомных спектров . Кембридж: Издательство Кембриджского университета . ISBN 0-521-09209-4 .
Максимон, Леонард К. (2010), «Символы 3j,6j,9j» , Олвер, Фрэнк У.Дж .; Лозье, Дэниел М.; Буасверт, Рональд Ф.; Кларк, Чарльз В. (ред.), Справочник NIST по математическим функциям , издательство Кембриджского университета, ISBN 978-0-521-19225-5 , МР 2723248 .
Мессия, Альберт (1981). Квантовая механика (Том II) (12-е изд.). Нью-Йорк: Издательство Северной Голландии . ISBN 0-7204-0045-7 .
Бринк, ДМ; Сэтчлер, Г. Р. (1993). «Глава 2». Угловой момент (3-е изд.). Оксфорд: Кларендон Пресс . ISBN 0-19-851759-9 .
Заре, Ричард Н. (1988). «Глава 2». Угловой момент . Нью-Йорк: Джон Уайли . ISBN 0-471-85892-7 .
Биденхарн, LC; Лук, Джей Ди (1981). Угловой момент в квантовой физике . Ридинг, Массачусетс: Аддисон-Уэсли . ISBN 0201135078 .
Varshalovich, D. A.; Moskalev, A. N.; Khersonskii, V. K. (1988). Quantum Theory of Angular Momentum . Singapore: World Scientific . ISBN 9971-50-107-4 .
Ян, ХА; Хоуп, Дж. (1954). «Свойства симметрии символа Вигнера 9j». Физический обзор . 93 (2): 318. Бибкод : 1954PhRv...93..318J . дои : 10.1103/PhysRev.93.318 .

Внешние ссылки

Стоун, Энтони. «Калькулятор коэффициентов Вигнера» . (Дает ответ в точных дробях)
Лаборатория плазмы Института науки Вейцмана. «Калькулятор символов 369j» . (Ответ в виде чисел с плавающей запятой)
Фак, Верл; Ван Дейк, Дрис. «ГЮцис Яблоко» .
Йоханссон, ХТ; Форссен, К. "(WIGXJPF)" . (точно; C, фортран, питон)
Йоханссон, HT "(FASTWIGXJ)" . (быстрый поиск, точный; C, фортран)