символ 3-j

В квантовой механике символы Вигнера 3-j , также называемые символами 3 -jm , являются альтернативой коэффициентам Клебша-Гордана с целью добавления угловых моментов. Хотя оба подхода решают одну и ту же физическую проблему, символы 3- j делают это более симметрично.

Математическая связь с коэффициентами Клебша – Гордана

Символы 3- j задаются через коэффициенты Клебша – Гордана следующим образом:

${\begin{pmatrix}j_{1}&j_{2}&j_{3}\\m_{1}&m_{2}&m_{3}\end{pmatrix}}\equiv {\frac {(-1)^{j_{1}-j_{2}-m_{3}}}{\sqrt {2j_{3}+1}}}\langle j_{1}\,m_{1}\,j_{2}\,m_{2}|j_{3}\,(-m_{3})\rangle .$

Компоненты j и m представляют собой квантовые числа углового момента, т.е. каждый j (и каждое соответствующее m ) является либо неотрицательным целым числом, либо полунечетным числом . Показатель степени знакового фактора всегда является целым числом, поэтому он остается неизменным при транспонировании влево, а после замены m ₃ → − m ₃ следует обратное соотношение :

$\langle j_{1}\,m_{1}\,j_{2}\,m_{2}|j_{3}\,m_{3}\rangle =(-1)^{-j_{1}+j_{2}-m_{3}}{\sqrt {2j_{3}+1}}{\begin{pmatrix}j_{1}&j_{2}&j_{3}\\m_{1}&m_{2}&-m_{3}\end{pmatrix}}.$

Явное выражение

${\begin{aligned}{\begin{pmatrix}j_{1}&j_{2}&j_{3}\\m_{1}&m_{2}&m_{3}\end{pmatrix}}&\equiv \delta (m_{1}+m_{2}+m_{3},0)(-1)^{j_{1}-j_{2}-m_{3}}{}{\sqrt {\frac {(j_{1}+j_{2}-j_{3})!(j_{1}-j_{2}+j_{3})!(-j_{1}+j_{2}+j_{3})!}{(j_{1}+j_{2}+j_{3}+1)!}}}\ \times {}\\[6pt]&\times {\sqrt {(j_{1}-m_{1})!(j_{1}+m_{1})!(j_{2}-m_{2})!(j_{2}+m_{2})!(j_{3}-m_{3})!(j_{3}+m_{3})!}}\ \times {}\\[6pt]&\times \sum _{k=K}^{N}{\frac {(-1)^{k}}{k!(j_{1}+j_{2}-j_{3}-k)!(j_{1}-m_{1}-k)!(j_{2}+m_{2}-k)!(j_{3}-j_{2}+m_{1}+k)!(j_{3}-j_{1}-m_{2}+k)!}},\end{aligned}}$

где $\delta (i,j)$ это дельта Кронекера .

Суммирование производится по тем целым значениям k, для которых аргумент каждого факториала в знаменателе неотрицательен, т.е. пределы суммирования K и N принимаются равными: нижний $K=\max(0,j_{2}-j_{3}-m_{1},j_{1}-j_{3}+m_{2}),$ верхний $N=\min(j_{1}+j_{2}-j_{3},j_{1}-m_{1},j_{2}+m_{2}).$ Факториалы отрицательных чисел условно принимаются равными нулю, так что значения символа 3 j при, например, $j_{3}>j_{1}+j_{2}$ или $j_{1}<m_{1}$ автоматически устанавливаются на ноль.

Дефиниционная связь с коэффициентами Клебша – Гордана

Коэффициенты ЦТ определяются так, чтобы выразить сумму двух угловых моментов через третий:

$|j_{3}\,m_{3}\rangle =\sum _{m_{1}=-j_{1}}^{j_{1}}\sum _{m_{2}=-j_{2}}^{j_{2}}\langle j_{1}\,m_{1}\,j_{2}\,m_{2}|j_{3}\,m_{3}\rangle |j_{1}\,m_{1}\,j_{2}\,m_{2}\rangle .$

С другой стороны, символы 3- j представляют собой коэффициенты, с которыми необходимо сложить три угловых момента, чтобы результат был равен нулю:

$\sum _{m_{1}=-j_{1}}^{j_{1}}\sum _{m_{2}=-j_{2}}^{j_{2}}\sum _{m_{3}=-j_{3}}^{j_{3}}|j_{1}m_{1}\rangle |j_{2}m_{2}\rangle |j_{3}m_{3}\rangle {\begin{pmatrix}j_{1}&j_{2}&j_{3}\\m_{1}&m_{2}&m_{3}\end{pmatrix}}=|0\,0\rangle .$

Здесь $|0\,0\rangle$ – состояние с нулевым угловым моментом ( $j=m=0$). Очевидно, что символ 3- j рассматривает все три угловых момента, участвующих в задаче сложения, на равных основаниях и, следовательно, более симметричен, чем коэффициент CG.

Поскольку государство $|0\,0\rangle$ не изменяется при вращении, также говорят, что сжатие произведения трех вращательных состояний с символом 3- j инвариантно относительно вращений.

Правила выбора

Символ Вигнера 3- j равен нулю, если не выполняются все эти условия:

${\begin{aligned}&m_{i}\in \{-j_{i},-j_{i}+1,-j_{i}+2,\ldots ,j_{i}\}\quad (i=1,2,3),\\&m_{1}+m_{2}+m_{3}=0,\\&|j_{1}-j_{2}|\leq j_{3}\leq j_{1}+j_{2},\\&(j_{1}+j_{2}+j_{3}){\text{ is an integer (and, moreover, an even integer if }}m_{1}=m_{2}=m_{3}=0{\text{)}}.\\\end{aligned}}$

Свойства симметрии

Символ 3- j инвариантен относительно четной перестановки его столбцов:

${\begin{pmatrix}j_{1}&j_{2}&j_{3}\\m_{1}&m_{2}&m_{3}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}j_{2}&j_{3}&j_{1}\\m_{2}&m_{3}&m_{1}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}j_{3}&j_{1}&j_{2}\\m_{3}&m_{1}&m_{2}\end{pmatrix}}.$

Нечетная перестановка столбцов дает фазовый коэффициент:

${\begin{pmatrix}j_{1}&j_{2}&j_{3}\\m_{1}&m_{2}&m_{3}\end{pmatrix}}=(-1)^{j_{1}+j_{2}+j_{3}}{\begin{pmatrix}j_{2}&j_{1}&j_{3}\\m_{2}&m_{1}&m_{3}\end{pmatrix}}$

$=(-1)^{j_{1}+j_{2}+j_{3}}{\begin{pmatrix}j_{1}&j_{3}&j_{2}\\m_{1}&m_{3}&m_{2}\end{pmatrix}}=(-1)^{j_{1}+j_{2}+j_{3}}{\begin{pmatrix}j_{3}&j_{2}&j_{1}\\m_{3}&m_{2}&m_{1}\end{pmatrix}}.$

Изменение знака $m$ квантовые числа ( обращение времени ) также дают фазу:

${\begin{pmatrix}j_{1}&j_{2}&j_{3}\\-m_{1}&-m_{2}&-m_{3}\end{pmatrix}}=(-1)^{j_{1}+j_{2}+j_{3}}{\begin{pmatrix}j_{1}&j_{2}&j_{3}\\m_{1}&m_{2}&m_{3}\end{pmatrix}}.$

Символы 3- j также обладают так называемой симметрией Редже, которая не возникает из-за перестановок или обращения времени. Эти симметрии таковы:

${\begin{pmatrix}j_{1}&j_{2}&j_{3}\\m_{1}&m_{2}&m_{3}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}j_{1}&{\frac {j_{2}+j_{3}-m_{1}}{2}}&{\frac {j_{2}+j_{3}+m_{1}}{2}}\\j_{3}-j_{2}&{\frac {j_{2}-j_{3}-m_{1}}{2}}-m_{3}&{\frac {j_{2}-j_{3}+m_{1}}{2}}+m_{3}\end{pmatrix}},$

${\begin{pmatrix}j_{1}&j_{2}&j_{3}\\m_{1}&m_{2}&m_{3}\end{pmatrix}}=(-1)^{j_{1}+j_{2}+j_{3}}{\begin{pmatrix}{\frac {j_{2}+j_{3}+m_{1}}{2}}&{\frac {j_{1}+j_{3}+m_{2}}{2}}&{\frac {j_{1}+j_{2}+m_{3}}{2}}\\j_{1}-{\frac {j_{2}+j_{3}-m_{1}}{2}}&j_{2}-{\frac {j_{1}+j_{3}-m_{2}}{2}}&j_{3}-{\frac {j_{1}+j_{2}-m_{3}}{2}}\end{pmatrix}}.$

Учитывая симметрии Редже, символ 3- j имеет в общей сложности 72 симметрии. Лучше всего их отображает определение символа Редже, которое представляет собой взаимно однозначное соответствие между ним и символом 3- j и принимает свойства полумагического квадрата:

$R={\begin{array}{|ccc|}\hline -j_{1}+j_{2}+j_{3}&j_{1}-j_{2}+j_{3}&j_{1}+j_{2}-j_{3}\\j_{1}-m_{1}&j_{2}-m_{2}&j_{3}-m_{3}\\j_{1}+m_{1}&j_{2}+m_{2}&j_{3}+m_{3}\\\hline \end{array}},$

при этом 72 симметрии теперь соответствуют 3! ряд и 3! замена столбцов плюс транспонирование матрицы. Эти факты можно использовать для разработки эффективной схемы хранения.

Отношения ортогональности

Систему двух угловых моментов с величинами j ₁ и j ₂ можно описать либо в терминах несвязанных базисных состояний (обозначенных квантовыми числами m ₁ и m ₂ ), либо связанных базисных состояний (обозначенных j ₃ и m ₃ ). Символы 3- j представляют собой унитарное преобразование между этими двумя базисами, и эта унитарность подразумевает отношения ортогональности

$(2j_{3}+1)\sum _{m_{1}m_{2}}{\begin{pmatrix}j_{1}&j_{2}&j_{3}\\m_{1}&m_{2}&m_{3}\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}j_{1}&j_{2}&j'_{3}\\m_{1}&m_{2}&m'_{3}\end{pmatrix}}=\delta _{j_{3},j'_{3}}\delta _{m_{3},m'_{3}}{\begin{Bmatrix}j_{1}&j_{2}&j_{3}\end{Bmatrix}},$

$\sum _{j_{3}m_{3}}(2j_{3}+1){\begin{pmatrix}j_{1}&j_{2}&j_{3}\\m_{1}&m_{2}&m_{3}\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}j_{1}&j_{2}&j_{3}\\m_{1}'&m_{2}'&m_{3}\end{pmatrix}}=\delta _{m_{1},m_{1}'}\delta _{m_{2},m_{2}'}.$

Треугольная дельта { j ₁   j ₂   j ₃ } равна 1, когда триада ( j ₁ , j ₂ , j ₃ ) удовлетворяет условиям треугольника, и равна нулю в противном случае. Саму треугольную дельту иногда ошибочно называют «символ 3- j » (без m ) по аналогии с символами 6- j и 9- j , все из которых представляют собой неприводимые суммы символов 3- jm , в которых не остается m переменных.

Связь со сферическими гармониками; Коэффициенты Гаунта

Символы 3- мкм обозначают интеграл произведений трех сферических гармоник.

${\begin{aligned}&\int Y_{l_{1}m_{1}}(\theta ,\varphi )Y_{l_{2}m_{2}}(\theta ,\varphi )Y_{l_{3}m_{3}}(\theta ,\varphi )\,\sin \theta \,\mathrm {d} \theta \,\mathrm {d} \varphi \\&\quad ={\sqrt {\frac {(2l_{1}+1)(2l_{2}+1)(2l_{3}+1)}{4\pi }}}{\begin{pmatrix}l_{1}&l_{2}&l_{3}\\0&0&0\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}l_{1}&l_{2}&l_{3}\\m_{1}&m_{2}&m_{3}\end{pmatrix}}\end{aligned}}$

с $l_{1}$, $l_{2}$ и $l_{3}$ целые числа. Эти интегралы называются коэффициентами Гонта.

Связь с интегралами спин-взвешенных сферических гармоник

Аналогичные соотношения существуют для спин-взвешенных сферических гармоник, если $s_{1}+s_{2}+s_{3}=0$:

${\begin{aligned}&\int d\mathbf {\hat {n}} \,_{s_{1}}\!Y_{j_{1}m_{1}}(\mathbf {\hat {n}} )\,_{s_{2}}\!Y_{j_{2}m_{2}}(\mathbf {\hat {n}} )\,_{s_{3}}\!Y_{j_{3}m_{3}}(\mathbf {\hat {n}} )\\&\quad ={\sqrt {\frac {(2j_{1}+1)(2j_{2}+1)(2j_{3}+1)}{4\pi }}}{\begin{pmatrix}j_{1}&j_{2}&j_{3}\\m_{1}&m_{2}&m_{3}\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}j_{1}&j_{2}&j_{3}\\-s_{1}&-s_{2}&-s_{3}\end{pmatrix}}.\end{aligned}}$

Рекурсивные отношения

${\begin{aligned}&{-}{\sqrt {(l_{3}\mp s_{3})(l_{3}\pm s_{3}+1)}}{\begin{pmatrix}l_{1}&l_{2}&l_{3}\\s_{1}&s_{2}&s_{3}\pm 1\end{pmatrix}}=\\&\quad ={\sqrt {(l_{1}\mp s_{1})(l_{1}\pm s_{1}+1)}}{\begin{pmatrix}l_{1}&l_{2}&l_{3}\\s_{1}\pm 1&s_{2}&s_{3}\end{pmatrix}}+{\sqrt {(l_{2}\mp s_{2})(l_{2}\pm s_{2}+1)}}{\begin{pmatrix}l_{1}&l_{2}&l_{3}\\s_{1}&s_{2}\pm 1&s_{3}\end{pmatrix}}.\end{aligned}}$

Асимптотические выражения

Для $l_{1}\ll l_{2},l_{3}$ ненулевой 3- j символ

${\begin{pmatrix}l_{1}&l_{2}&l_{3}\\m_{1}&m_{2}&m_{3}\end{pmatrix}}\approx (-1)^{l_{3}+m_{3}}{\frac {d_{m_{1},l_{3}-l_{2}}^{l_{1}}(\theta )}{\sqrt {2l_{3}+1}}},$

где $\cos(\theta )=-2m_{3}/(2l_{3}+1)$, и $d_{mn}^{l}$ является функцией Вигнера . Обычно лучшее приближение, подчиняющееся симметрии Редже, дается формулой

${\begin{pmatrix}l_{1}&l_{2}&l_{3}\\m_{1}&m_{2}&m_{3}\end{pmatrix}}\approx (-1)^{l_{3}+m_{3}}{\frac {d_{m_{1},l_{3}-l_{2}}^{l_{1}}(\theta )}{\sqrt {l_{2}+l_{3}+1}}},$

где $\cos(\theta )=(m_{2}-m_{3})/(l_{2}+l_{3}+1)$.

Метрический тензор

Следующая величина действует как метрический тензор в теории углового момента и также известна как символ Вигнера 1-jm :

${\begin{pmatrix}j\\m\quad m'\end{pmatrix}}:={\sqrt {2j+1}}{\begin{pmatrix}j&0&j\\m&0&m'\end{pmatrix}}=(-1)^{j-m'}\delta _{m,-m'}.$

Его можно использовать для обращения времени по угловым моментам.

Особые случаи и другие свойства

$\sum _{m}(-1)^{j-m}{\begin{pmatrix}j&j&J\\m&-m&0\end{pmatrix}}={\sqrt {2j+1}}\,\delta _{J,0}.$

Из уравнения (3.7.9) в

${\begin{pmatrix}j&j&0\\m&-m&0\end{pmatrix}}={\frac {1}{\sqrt {2j+1}}}(-1)^{j-m}.$

${\frac {1}{2}}\int _{-1}^{1}P_{l_{1}}(x)P_{l_{2}}(x)P_{l}(x)\,dx={\begin{pmatrix}l&l_{1}&l_{2}\\0&0&0\end{pmatrix}}^{2},$

где P — полиномы Лежандра .

Связь с Рака V коэффициентами

Символы Вигнера 3- j связаны с Рака . V -коэффициентами простой фазой:

$V(j_{1}\,j_{2}\,j_{3};m_{1}\,m_{2}\,m_{3})=(-1)^{j_{1}-j_{2}-j_{3}}{\begin{pmatrix}j_{1}&j_{2}&j_{3}\\m_{1}&m_{2}&m_{3}\end{pmatrix}}.$

Связь с теорией групп

В этом разделе по существу пересматривается дефиниционное отношение на языке теории групп.

Групповое представление группы — это гомоморфизм группы вгруппа линейных преобразований над некоторым векторным пространством. Линейныйпреобразования могут быть заданы группой матриц относительно некоторого базиса векторного пространства.

Группа преобразований, оставляющих инвариантными угловые моменты, представляет собой трехмерную группу вращения SO(3) . Когда включены «спиновые» угловые моменты, группа представляет собой двойную покрывающую группу SU (2) .

Приводимое представление — это представление, в котором можно применить замену базиса, чтобы привести все матрицы к блочно-диагональной форме. Представительствоявляется неприводимым (irrep), если такого преобразования не существует.

Для каждого значения j 2 j +1 кетов образуют основу неприводимого представления (irrep). SO (3)/SU(2) над комплексными числами. Учитывая дванезависимо от того, тензорное прямое произведение можно свести ксумма повторений, приводящая к коэффициентам Клебча-Гордона, или путем сокращения тройного произведения трех ипповторов к тривиальному ипповтору 1, дающему начало символам 3j.

3j символы для других групп

The $3j$ Символ наиболее интенсивно изучался в контексте связь углового момента. Для этого он тесно связан с групповая теория представлений групп SU(2) и SO(3)как обсуждалось выше. Однако многиедругие группы имеют важное значение в физике и химия ,и было проделано много работы над $3j$ символ для этих других групп.В этом разделе рассматриваются некоторые из этих работ.

Просто приводимые группы

Оригинальная статья Вигнера не ограничивался SO(3)/SU(2)но вместо этого сосредоточился на просто приводимых (SR) группах.Это группы, в которых

• все классы амбивалентны, т.е. если $X$ является членом класса, то это тоже $X^{-1}$
• Кронекеровское произведение двух повторов не содержит кратности, т. е. не содержит ни одного повторения более одного раза.

Для групп SR каждое повторение эквивалентно своему комплексно-сопряженному,а при перестановках столбцов абсолютное значениесимвол инвариантен, и фазу каждого можно выбрать так, чтобыони в лучшем случае меняют знак при нечетных перестановках и остаютсяне изменяется при четных перестановках.

Общие компактные группы

Компактные группы образуют широкий класс групп с топологической структурой .К ним относятся конечные группы с добавленной дискретной топологией. и многие из групп Ли .

Общие компактные группы не будут ни амбивалентными, ни свободными от кратности.Дером и Шарп и Дером рассмотрел $3j$ символдля общего случая, используя связь с коэффициентами Клебша-Гордона

${\begin{pmatrix}j_{1}&j_{2}&j_{3}\\m_{1}&m_{2}&m_{3}\end{pmatrix}}\equiv {\frac {1}{[j_{3}]}}\langle j_{1}\,m_{1}\,j_{2}\,m_{2}|j_{3}^{*}\,m_{3}\rangle .$

где $[j]$ - размерность пространства представления $j$ и $j_{3}^{*}$ является комплексно-сопряженнымпредставление в $j_{3}$.

Изучая перестановки столбцов $3j$ символ, они показали три случая:

• если все $j_{1},j_{2},j_{3}$ неэквивалентны, то $3j$ символ может быть выбран инвариантным при любой перестановке его столбцов.
• если ровно два эквивалентны, то можно выбрать транспозиции его столбцов так, чтобы некоторые символы оставались инвариантными, а другие меняли знак. Подход с использованием сплетения группы с $S_{3}$ показал, что они соответствуют представлениям $[2]$ или $[1^{2}]$ симметрической группы $S_{2}$. Циклические перестановки оставляют $3j$ символ инвариантен.
• если все три эквивалентны, поведение зависит от представлений симметричной группы $S_{3}$. Представления группы венков, соответствующие $[3]$ инвариантны относительно транспозиций столбцов, соответствующих $[1^{3}]$ меняют знак при транспозициях, а пара, соответствующая двумерному представлению $[21]$ трансформируйте в соответствии с этим.

Дальнейшие исследования $3j$ символы для компактных групп были выполнены на основе этих принципов.

Солнце)

Специальная унитарная группа SU(n) — это группа Ли унитарных матриц размера n × n с определителем 1.

Группа SU(3) важна в теории частиц .Существует множество работ, посвященных $3j$ илиэквивалентный символ

The $3j$ изучен символ группы SU(4). хотя есть также работы над общими SU(n)-группами

Кристаллографические точечные группы

Существует множество работ, посвященных $3j$ символы или коэффициенты Клебша-Гордона для конечных кристаллографических точечных групп и двойные точечные группы Книга Батлера ссылается на них и подробно описывает теорию вместе с таблицами.

Магнитные группы

Магнитные группы включают в себя антилинейные операторы, а также линейные операторы. С ними нужно бороться с помощьюТеория Вигнера копредставлений унитарных и антиунитарных групп .Существенным отклонением от стандартной теории представлений является то, что множественность неприводимого кор-представления $j_{3}^{*}$в прямом произведении неприводимых корпредставлений $j_{1}\otimes j_{2}$вообще говоря, меньше кратности тривиального ко-представления в тройкепродукт $j_{1}\otimes j_{2}\otimes j_{3}$, что приводит к значительным различиям между Клебшем-Гордономкоэффициенты и $3j$ символ.

The $3j$ символы были проверены на наличие серых групп и для групп магнитных точек

См. также

• Коэффициенты Клебша – Гордана
• Сферические гармоники
• 6-й символ
• символ 9-й

Ссылки

• Л. К. Биденхарн и Дж. Д. Лоук, Угловой момент в квантовой физике , том 8 математической энциклопедии, Аддисон-Уэсли, Ридинг, 1981.
• Д.М. Бринк и Г.Р. Сэтчлер, Угловой момент , 3-е издание, Кларендон, Оксфорд, 1993.
• А. Р. Эдмондс, Угловой момент в квантовой механике , 2-е издание, Princeton University Press, Принстон, 1960.
• Максимон, Леонард К. (2010), «Символы 3j,6j,9j» , Олвер, Фрэнк У.Дж .; Лозье, Дэниел М.; Буасверт, Рональд Ф.; Кларк, Чарльз В. (ред.), Справочник NIST по математическим функциям , издательство Кембриджского университета, ISBN  978-0-521-19225-5 , МР   2723248 .
• Varshalovich, D. A.; Moskalev, A. N.; Khersonskii, V. K. (1988). Quantum Theory of Angular Momentum . World Scientific Publishing Co.
• Редже, Т. (1958). «Свойства симметрии коэффициентов Клебша-Гордона». Нуово Чименто . 10 (3): 544–545. Бибкод : 1958NCim...10..544R . дои : 10.1007/BF02859841 . S2CID   122299161 .

• Хорие, Хисаши (1964). «Представления симметричной группы и дробные коэффициенты происхождения». Дж. Физ. Соц. Япония . 19 (10): 1783. Бибкод : 1964JPSJ...19.1783H . дои : 10.1143/JPSJ.19.1783 .
• Ицыксон, К.; Науенберг, М. (1966). «Унитарные группы: представления и разложения». Преподобный Мод. Физ . 38 (1): 95. Бибкод : 1966РвМП...38...95И . дои : 10.1103/RevModPhys.38.95 . ОСТИ   1444219 .
• Крамер, П. (1967). «Орбитальные дробные коэффициенты происхождения для модели оболочки гармонического осциллятора». З. Физ . 205 (2): 181. Бибкод : 1967ZPhy..205..181K . дои : 10.1007/BF01333370 . S2CID   122879812 .
• Крамер, П. (1968). «Коэффициенты связи симметричной группы для конфигураций модели оболочки и кластера». З. Физ . 216 (1): 68. Бибкод : 1968ZPhy..216...68K . дои : 10.1007/BF01380094 . S2CID   121508850 .
• Лезуо, KJ (1972). «Симметрическая группа и гельфандовский базис U(3). Обобщения тождества Дирака». Дж. Математика. Физ . 13 (9): 1389. Бибкод : 1972JMP....13.1389L . дои : 10.1063/1.1666151 .
• Палдус, Йозеф (1974). «Групповой подход к конфигурационному взаимодействию и расчетам теории возмущений для атомных и молекулярных систем». Дж. Хим. Физ . 61 (12): 5321. Бибкод : 1974ЖЧФ..61.5321П . дои : 10.1063/1.1681883 .
• Шультен, Клаус; Гордон, Рой Г. (1975). «Точная рекурсивная оценка коэффициентов 3j и 6j для квантовомеханической связи угловых моментов». Дж. Математика. Физ . 16 (10): 1961–1970. Бибкод : 1975JMP....16.1961S . дои : 10.1063/1.522426 .
• Палдус, Йозеф (1976). «Унитарно-групповой подход к проблеме многоэлектронной корреляции: связь формулировок таблиц Гельфанда и Вейля». Физ. Преподобный А. 14 (5): 1620. Бибкод : 1976PhRvA..14.1620P . дои : 10.1103/PhysRevA.14.1620 .
• Рейналь, Жак (1978). «Об определении и свойствах обобщенных 3-j символов». Дж. Математика. Физ . 19 (2): 467. дои : 10.1063/1.523668 .
• Сарма, ЧР; Сахасрабуде, Г.Г. (1980). «Пермутационная симметрия многих состояний частиц». Дж. Математика. Физ . 21 (4): 638. Бибкод : 1980JMP....21..638S . дои : 10.1063/1.524509 .
• Чен, Цзинь-Цюань; Гао, Мэй-Хуан (1982). «Новый подход к представлению группы перестановок». Дж. Математика. Физ . 23 (6): 928. Бибкод : 1982JMP....23..928C . дои : 10.1063/1.525460 .
• Сарма, ЧР (1982). «Определение базиса неприводимых представлений унитарной группы для U(p+q)↓U(p)×U(q)». Дж. Математика. Физ . 23 (7): 1235. Бибкод : 1982JMP....23.1235S . дои : 10.1063/1.525507 .
• Чен, Ж.-К.; Чен, С.-Г. (1983). «Базис Гельфанда и матричные элементы градуированной унитарной группы U(m/n)». Дж. Физ. А. ​ 16 (15): 3435. Бибкод : 1983JPhA...16.3435C . дои : 10.1088/0305-4470/16/15/010 .
• Никам, РС; Динеша, КВ; Сарма, ЧР (1983). «Редукция представлений внутреннего продукта унитарных групп». Дж. Математика. Физ . 24 (2): 233. Бибкод : 1983JMP....24..233N . дои : 10.1063/1.525698 .
• Чен, Цзинь-Цюань; Коллинсон, Дэвид Ф.; Гао, Мэй-Хуан (1983). «Коэффициенты преобразования групп перестановок». Дж. Математика. Физ . 24 (12): 2695. Бибкод : 1983JMP....24.2695C . дои : 10.1063/1.525668 .
• Чен, Цзинь-Цюань; Гао, Мэй-Хуан; Чен, Сюань-Ген (1984). «Коэффициент Клебша-Гордана для SU(m/n) базиса Гельфанда». Дж. Физ. А. ​ 17 (3): 481. Бибкод : 1984JPhA...17..727K . дои : 10.1088/0305-4470/17/3/011 .
• Шриниваса Рао, К. (1985). «Специальные вопросы квантовой теории углового момента». Прамана . 24 (1): 15–26. Бибкод : 1985Прама..24...15Р . дои : 10.1007/BF02894812 . S2CID   120663002 .
• Вэй, Лицян (1999). «Единый подход для точного расчета коэффициентов связи углового момента и обратной связи». Вычислить. Физ. Коммун . 120 (2–3): 222–230. Бибкод : 1999CoPhC.120..222W . дои : 10.1016/S0010-4655(99)00232-5 .
• Раш, Дж.; Ю, АЧ (2003). «Эффективная схема хранения для заранее рассчитанных коэффициентов Вигнера 3j, 6j и Гаунта». СИАМ J. Sci. Вычислить . 25 (4): 1416–1428. дои : 10.1137/s1064827503422932 .

Внешние ссылки

• Стоун, Энтони. «Калькулятор коэффициентов Вигнера» .
• Воля А. Клебша-Гордана, 3- j и 6- j « Веб-калькулятор коэффициентов » . Архивировано из оригинала 29 сентября 2007 г. (числовой)
• Стивенсон, Пол (2002). «Клебш-О-Матик» . Компьютерная физика. Коммуникации . 147 (3): 853–858. Бибкод : 2002CoPhC.147..853S . дои : 10.1016/S0010-4655(02)00462-9 .
• Калькулятор символов 369j в Лаборатории плазмы Научного института Вейцмана (численный)
• Фредерик Дж. Саймонс: архив программного обеспечения Matlab, код THREEJ.M
• Sage (математическое программное обеспечение) Дает точный ответ для любого значения j, m.
• Йоханссон, ХТ; Форссен, К. "(WIGXJPF)" . (точно; C, фортран, питон)
• Йоханссон, HT "(FASTWIGXJ)" . (быстрый поиск, точный; C, фортран)