Корпредставления унитарных и антиунитарных групп.

Не путать с комодулем , в котором также используется терминпредставление.

В квантовой механике операции симметрии играют важную роль в предоставлении информации о решениях системы. Обычно эти операции образуют математическую группу , например группу вращения SO(3) для сферически-симметричных потенциалов. Теория представлений этих групп приводит к неприводимым представлениям , которые для SO (3) дают векторы углового момента ket системы.

Стандартная теория представлений использует линейные операторы . Однако некоторые операторы физической важности, такие как обращение времени, являются антилинейными , и включение их в группу симметрии приводит к появлению групп, включающих как унитарные, так и антиунитарные операторы.

Эта статья посвящена теории ко-представления, эквиваленту теории представлений для этих групп. Он в основном используется при теоретическом изучении магнитной структуры , но также имеет отношение к физике элементарных частиц из-за симметрии CPT . Он дает основные результаты, связь с обычной теорией представлений и некоторые ссылки на приложения.

Копредставления унитарных/антиунитарных групп

Юджин Вигнер показал, что операция симметрии S гамильтониана представляется в квантовой механике либо унитарным оператором S = U , либо антиунитарным оператором S = UK , где U — унитарный оператор, а K обозначает комплексное сопряжение. Антиунитарные операторы возникают в квантовой механике благодаря оператору обращения времени

Если набор операций симметрии (как унитарных, так и антиунитарных) образует группу , то она широко известна как магнитная группа, и многие из них описываются в магнитных пространственных группах .

Группа унитарных операторов может быть представлена ​​групповым представлением . Из-за наличия антиунитарных операторов ее необходимо заменить теорией копредставления Вигнера.

Определение

Пусть G — группа с подгруппой H индекса 2. Корпредставление — это гомоморфизм в группу операторов над векторным пространством над комплексными числами, где для всех u в H образ u является линейным оператором, а для всех a в смежный класс GH, образ a антилинейен (где '*' означает комплексное сопряжение):

${\begin{aligned}&\forall u\in H,D(u)(a{\bf {x}}+b{\bf {y}})=a\times D(u){\bf {x}}+b\times D(u){\bf {y}}\\&\forall a\in G-H,D(a)(a{\bf {x}}+b{\bf {y}})=a^{*}\times D(a){\bf {x}}+b^{*}\times D(a){\bf {y}}\end{aligned}}$

Характеристики

Поскольку это гомоморфизм

${\begin{aligned}&D(u_{1}u_{2})=D(u_{1})D(u_{2})\\&D(ua)=D(u)D(a)\\&D(au)=D(a)D(u)^{*}\\&D(a_{1}a_{2})=D(a_{1})D(a_{2})^{*}\end{aligned}}$

сводимость

Два корпредставления эквивалентны, если существует матрица V

${\begin{aligned}&\forall u,D'(u)=VD(u)V^{-}1\\&\forall a,D'(a)=VD(a)V^{*-1}\end{aligned}}$

Как и представления, кор-представление приводимо, если существует собственное подпространство, инвариантное относительно операций кор-представления. Если кор-представление задано матрицами, оно приводимо, если оно эквивалентно кор-представлению, в котором каждая матрица имеет блочно-диагональную форму.

Если корпредставление неприводимо, то оно неприводимо .

Лемма Шура

Лемма Шура для неприводимых представлений над комплексными числами гласит, что если матрица коммутирует со всеми матрицами представления, то она является (комплексным) кратным единичной матрицы, то есть набор коммутирующих матриц изоморфен комплексным числам. $\mathbb {C}$. Эквивалент леммы Шура для неприводимых копредставлений состоит в том, что множество коммутирующих матриц изоморфно $\mathbb {R}$, $\mathbb {C}$ или кватернионы $\mathbb {Q}$. Используя переплетающееся число [1] над действительными числами, это можно выразить как переплетающееся число 1, 2 или 4.

Связь с представлениями линейной подгруппы

Обычно неприводимые копредставления связаны с неприводимыми представлениями линейной подгруппы H. Позволять $\Delta$ — неприводимое (обычное) представление линейной подгруппы H . Сформируем сумму по всем антилинейным операторам квадрата характера каждого из этих операторов:

$S=\sum _{a}\chi _{\Delta }(a^{2})$

и установить $P=D(a_{0})$ для произвольного элемента $a_{0}$.

Есть три случая, отличающиеся тестом характера (7.3.51), предложенным Крэкнеллом и Брэдли.

Тип(а)

Если S = ​​| Ч | (число переплетения равно единице), то D является неприводимым кор-представлением той же размерности, что и $\Delta$ с

${\begin{aligned}&D(u)=\Delta (u)\\&D(a)=D(aa_{0}^{-1}a_{0})=\Delta (aa_{0})P\end{aligned}}$

Тип(б)

С = -| Ч | (число переплетения равно четырем), то D — неприводимое представление, образованное из двух «копий» $\Delta$

${\begin{aligned}&D(u)={\begin{pmatrix}\Delta (u)&0\\0&\Delta (u)\end{pmatrix}}\\&D(a)={\begin{pmatrix}0&\Delta (aa_{0}^{-1})P\\-\Delta (aa_{0}^{-1})P&0\end{pmatrix}}\end{aligned}}$

Тип(с)

Если S = ​​0 (число переплетения равно двум), то D — неприводимое кор-представление, образованное из двух неэквивалентных представлений. $\Delta$ и $\Delta '$ где $\Delta '(u)=\Delta (a_{0}^{-1}ua_{0})^{*}$

${\begin{aligned}&D(u)={\begin{pmatrix}\Delta (u)&0\\0&\Delta (a_{0}^{-1}ua_{0})^{*}\end{pmatrix}}\\&D(a)={\begin{pmatrix}0&\Delta (aa_{0})\\\Delta (a_{0}^{-1}a)^{*}&0\end{pmatrix}}\end{aligned}}$

Крэкнелл и Брэдли показать, как использовать их для построения кор-представлений для групп магнитных точек, а Крэкнелл и Вонг дайте более явные таблицы для двойных магнитных групп.

Теория характера кор-представлений

Стандартная теория представлений для конечных групп имеет квадратную таблицу символов со свойствами ортогональности строк и столбцов. С немного другим определением классов сопряженности и использованием числа переплетения квадратная таблица символов с аналогичными свойствами ортогональности также существует для корпредставлений конечных магнитных групп.

На основе этой таблицы символов была разработана теория символов, отражающая теорию представлений.

См. также

• Мок, А. (2016). «Характеристика симметрии четности в фотонных решетках с использованием теории групп Хиша-Шубникова». Оптика Экспресс . 24 (20): 22693–22707. arXiv : 1606.05044 . Бибкод : 2016OExpr..2422693M . дои : 10.1364/OE.24.022693 . ПМИД   27828339 . S2CID   24476384 .
• Швайзер, Дж. (2005). «Инверсия времени в анализе представлений теории магнитных структур» . CR Телосложение . 6 : 375–384. дои : 10.1016/j.crhy.2005.01.009 .
• Ангеловал, Миннесота; Бойл, LL (2005). «О классификации и перечислении неприводимых копредставлений магнитных пространственных групп». Журнал физики A: Математический и общий . 29 (5): 993–1010. дои : 10.1088/0305-4470/29/5/014 .
• Шурек, Р. (2004). «Понимание группы CPT в физике элементарных частиц: стандартные и нестандартные представления». Являюсь. Дж. Физ . 75 (5): 638–643. Бибкод : 2004AmJPh..72..638S . дои : 10.1119/1.1629087 .