Магнитная космическая группа

В физике твердого тела магнитные пространственные группы , или Шубникова группы , представляют собой группы симметрии , которые классифицируют симметрию кристалла как в пространстве, так и по двузначному свойству, такому как спин электрона . Чтобы представить такое свойство, каждая точка решетки окрашена в черный или белый цвет. ^[1] и в дополнение к обычным операциям трехмерной симметрии существует так называемая операция «антисимметрии», которая превращает все черные точки решетки в белые, а все белые точки решетки в черные. Таким образом, магнитные пространственные группы служат расширением кристаллографических пространственных групп , которые описывают только пространственную симметрию.

Применение магнитных пространственных групп к кристаллическим структурам мотивировано принципом Кюри . Совместимость с симметриями материала, описываемыми магнитной пространственной группой, является необходимым условием для множества свойств материала, включая ферромагнетизм , сегнетоэлектричество , топологическую изоляцию .

История

Важным шагом стала работа Генриха Хеша , который впервые строго установил концепцию антисимметрии в серии статей в 1929 и 1930 годах. ^[2]^[3]^[4]^[5] Применение этой операции антисимметрии к 32 кристаллографическим точечным группам дает в общей сложности 122 магнитные точечные группы. ^[6]^[7] Однако, хотя Хиш правильно изложил каждую из групп магнитных точек, его работа осталась неясной, и группы точек были позже заново получены Тавгером и Зайцевым. ^[8] Более полно это понятие было раскрыто Шубниковым с точки зрения цветовой симметрии . ^[9] Применительно к пространственным группам их число увеличивается с обычных 230 трехмерных пространственных групп до 1651 магнитной пространственной группы. ^[10] как обнаружено в диссертации Александра Заморзаева 1953 года . ^[11]^[12]^[13] Хотя магнитные пространственные группы изначально были найдены с помощью геометрии, позже было показано, что те же магнитные пространственные группы можно найти с помощью генераторов . ^[14]

Описание

Магнитные пространственные группы

Магнитные пространственные группы можно разделить на три категории. Во-первых, 230 бесцветных групп содержат только пространственную симметрию и соответствуют кристаллографическим пространственным группам. Далее имеется 230 серых групп, инвариантных относительно антисимметрии. Наконец, есть 1191 черно-белая группа, содержащая более сложную симметрию. Существует два общепринятых соглашения о присвоении названий магнитным пространственным группам. Это Опечовски-Гвиччоне (названы в честь Владислава Опечовского и Розалии Гвиччоне). ^[15] и Белов-Неронова-Смирнова. ^[10] Для бесцветных и серых групп в соглашениях используются одни и те же названия, но к черно-белым группам они относятся по-разному. Полный список магнитных пространственных групп (в обеих конвенциях) можно найти как в оригинальных статьях, так и в нескольких местах в Интернете. ^[16]^[17]^[18]

Типы магнитных пространственных групп ^[19]
Тип	Имя	Количество групп	Описание
Тип I	Бесцветные группы	230	Обычные кристаллографические пространственные группы без какой-либо дополнительной симметрии.
Тип II	Серые группы	230	Пространственные группы с дополнительной антисимметричной версией каждой операции симметрии .
Тип III	Черно-белые группы (обычные решетки Браве )	674	Пространственные группы с дополнительными антисимметричными версиями половины операций симметрии.
Тип IV	Черно-белые группы (черно-белые решетки Браве)	517	Пространственные группы с дополнительной комбинированной симметрией пространственного перемещения и обращения времени.

Типы можно отличить по разной конструкции. ^[19] Магнитные пространственные группы типа I, ${\mathcal {M}}_{I}$ идентичны обычным пространственным группам, $G$ .

{\mathcal {M}}_{I}=G

Магнитные пространственные группы типа II, ${\mathcal {M}}_{II}$ , состоят из всех операций симметрии кристаллографической пространственной группы, $G$ , плюс произведение этих операций с операцией обращения времени, ${\mathcal {T}}$ . Эквивалентно, это можно рассматривать как прямое произведение обычной пространственной группы на точечную группу. $1'$ .

{\mathcal {M}}_{II}=G+{\mathcal {T}}G

{\mathcal {M}}_{II}=G\times 1'

Магнитные пространственные группы III типа, ${\mathcal {M}}_{III}$ , строятся с использованием группы $H$ , которая является подгруппой $G$ с индексом 2.

{\mathcal {M}}_{III}=H+{\mathcal {T}}(G-H)

Магнитные пространственные группы IV типа, ${\mathcal {M}}_{IV}$ , построены с использованием чистого перевода , $\{E|t_{0}\}$ , что является обозначением Зейтца ^[20] для нулевого вращения и перевода, $t_{0}$ . Здесь $t_{0}$ — вектор (обычно задаваемый в дробных координатах ), указывающий от точки черного цвета к точке белого цвета или наоборот.

{\mathcal {M}}_{IV}=G+{\mathcal {T}}\{E|t_{0}\}G

Группы магнитных точек

В следующей таблице перечислены все 122 возможные трехмерные группы магнитных точек. Это дано в сокращенной версии обозначений Германа – Могена в следующей таблице. Здесь добавление апострофа к операции симметрии указывает на то, что комбинация элемента симметрии и операции антисимметрии представляет собой симметрию структуры. Существует 32 группы кристаллографических точек , 32 группы серых и 58 групп магнитных точек. ^[21]

Кристаллографические точечные группы	Группы серых точек	Группы магнитных точек
1	1'
1	1 1'	1 '
2	21'	2'
м	м1'	м'
2/м	2/м1'	2'/м'	2/м'	2 фута/м
222	2221'	2'2'2
мм2	мм21'	м'2	2 часа ночи
М-м-м	ммм1'	М-м-м'	М-м-м'	М-м-м'
4	41'	4'
4	4 1'	4 '
4/м	4/м1'	4 фута/м	4/м'	4'/м'
422	4221'	4'22'	42'2'
4 мм	4мм1'	4 мм	4 минуты
4 2 м	4 2м1'	4 '2м'	4 'м2'	4 2 часа ночи
4/ммм	4/ммм1'	4'/ммм'	4/мм'	4/мммм	4/ммм	4'/мммм
3	31'
3	3 1'	3 '
32	321'	32'
3m	3м1'	3m'
3 m	3 м1'	3 m'	3 м.	3 часа ночи
6	61'	6'
6	6 1'	6 '
6/м	6/м1'	6 футов/м	6/м'	6 футов/м
622	6221'	6'22'	62'2'
6 мм	6мм1'	6 мм	6m'm'
6 м2	6 м21'	6 '2м'	6 'м2'	6 m'2'
6/ммм	6/ммм1'	6 футов/ммм'	6/мм'	6/мммм	6/мммм	6 футов/ммм
23	231'
m 3	м 3 1'	м' 3 '
432	4321'	4'32'
43 м	43м1'	4'3m'
м 3 м	м 3 м1'	м 3 м'	м' 3 м'	м' 3 м

Группы магнитных точек, совместимые с ферромагнетизмом , окрашены в голубой цвет, группы магнитных точек, совместимые с сегнетоэлектричеством , окрашены в красный цвет, а группы магнитных точек, совместимые как с ферромагнетизмом, так и с сегнетоэлектричеством, окрашены в фиолетовый цвет. ^[22] Существует 31 группа магнитных точек, совместимых с ферромагнетизмом . Эти группы, иногда называемые допустимыми , оставляют хотя бы одну компоненту спина инвариантной относительно операций точечной группы. Существует 31 точечная группа, совместимая с сегнетоэлектричеством ; это обобщения кристаллографических полярных точечных групп . Существует также 31 точечная группа, совместимая с теоретически предложенной ферротородностью . Подобные аргументы симметрии были распространены на другие свойства электромагнитных материалов, такие как магнитоэлектричество или пьезоэлектричество . ^[23]

На следующих диаграммах показана стереографическая проекция большинства групп магнитных точек на плоскую поверхность. Не показаны группы серых точек, которые выглядят идентично обычным кристаллографическим точечным группам, за исключением того, что они также инвариантны относительно операции антисимметрии.

1				1	1 '
2	2'			м	м'
2/м	2/м'	2 фута/м	2'/м'
222	2'2'2		мм2	м'2	мм'2'
М-м-м	М-м-м'	М-м-м'	М-м-м
4	4'			4	4 '
4/м	4/м'	4'/м'	4/м'
422	4'22'	42'2'
4 мм	4 минуты	4 мм
4 2 м	4 2 часа ночи	4 '2м'	4 '2'
4/ммм	4/мммм	4/ммм	4'/ммм'	4'/мммм	4/мм'
3				3	3 '
32	32'			3m	3m'
3 m	3 m'	3 м.	3 часа ночи
6	6'			6	6 '
6/м	6/м'	6 футов/м	6/м'
622	62'2'	6'2'2
6 мм	6m'm'	6 мм
6 м2	6 m'2'	6 'м2'	6 м2
6/ммм	6 футов/ммм	6 футов/ммм'	6/мммм	6/мммм	6/мм'
23				m 3	м' 3 '
432	4'32'			4 3м	4 '3m'
м 3 м	м' 3 м'	м' 3 м	м 3 м'

Черно-белые решетки Браве

Черно-белые решетки Браве характеризуют трансляционную симметрию структуры, как и типичные решетки Браве , но содержат и дополнительные элементы симметрии. Для черно-белых решеток Браве число черных и белых узлов всегда одинаково. ^[24] Существует 14 традиционных решеток Браве, 14 серых решеток и 22 черно-белых решеток Браве, всего 50 двухцветных решеток в трех измерениях. ^[25]

Магнитные (черно-белые) решетки Браве ^[26]^[27]^[28]
Триклинная решетчатая система

Моноклинная решетчатая система


Орторомбическая решетчатая система





Четырехугольная решетчатая система


Семейство шестиугольных кристаллов
Шестиугольная решетчатая система		Ромбоэдрическая решётчатая система

Система кубической решетки

В таблице показаны 36 черно-белых решеток Браве, включая 14 традиционных решеток Браве , но исключая 14 серых решеток, которые выглядят идентично традиционным решеткам. Символы решетки аналогичны символам традиционных решеток Браве. Суффикс в символе указывает на режим центрирования по черным (антисимметричным) точкам решетки, где s означает центрирование по краям.

Магнитные суперпространственные группы

Когда периодичность магнитного порядка совпадает с периодичностью кристаллографического порядка, магнитная фаза считается соизмеримой и может быть хорошо описана магнитной пространственной группой. Однако если это не так, порядок не соответствует какой-либо магнитной пространственной группе. Вместо этого эти фазы могут быть описаны магнитными суперпространственными группами , которые описывают несоизмеримый порядок. ^[29] Это тот же формализм, который часто используется для описания упорядочения некоторых квазикристаллов .

Фазовые переходы

Теория Ландау второго рода фазовых переходов применена к магнитным фазовым переходам. Магнитная пространственная группа неупорядоченной структуры, $G_{0}$ , переходы в магнитную пространственную группу упорядоченной фазы, $G_{1}$ . $G_{1}$ является подгруппой $G_{0}$ , и сохраняет только те симметрии, которые не были нарушены при фазовом переходе. Это можно проследить численно по эволюции параметра порядка , который принадлежит одному неприводимому представлению $G_{0}$ . ^[30]

Важные магнитные фазовые переходы включают переход из парамагнитного в ферромагнитный при температуре Кюри и переход из парамагнитного в антиферромагнитный при температуре Нееля . Различия в магнитных фазовых переходах объясняют, почему Fe ₂ O ₃ , MnCO ₃ и CoCO ₃ являются слабоферромагнитными, тогда как структурно близкие Cr ₂ O ₃ и FeCO ₃ являются чисто антиферромагнитными. ^[31] Эта теория развилась в то, что сейчас известно как антисимметричный обмен .

Связанная схема - это классификация видов Aizu , которые состоят из прототипной неферроидной магнитной точечной группы, буквы «F» для ферроика и ферромагнитной или сегнетоэлектрической точечной группы, которая является подгруппой прототипной группы, до которой можно добраться путем непрерывного движение атомов в кристаллической структуре. ^[32]^[33]

Приложения и расширения

Основное применение этих пространственных групп связано с магнитной структурой, где черные/белые точки решетки соответствуют конфигурации спина электрона со спином вверх/вниз . Более абстрактно, магнитные пространственные группы часто рассматриваются как представляющие симметрию обращения времени . ^[34] В этом отличие от кристаллов времени , которые вместо этого обладают симметрией перемещения во времени . В наиболее общей форме магнитные пространственные группы могут представлять симметрию любого двузначного свойства точки решетки, такого как положительный/отрицательный электрический заряд или выравнивание электрических дипольных моментов. Магнитные пространственные группы накладывают ограничения на электронную зонную структуру материалов. В частности, они накладывают ограничения на соединение различных электронных зон, что, в свою очередь, определяет, имеет ли материал топологический порядок, защищенный симметрией . Таким образом, магнитные пространственные группы можно использовать для идентификации топологических материалов, таких как топологические изоляторы . ^[35]^[36]^[37]

В экспериментальном отношении основным источником информации о магнитных пространственных группах являются нейтронографические эксперименты. Полученный экспериментальный профиль можно сопоставить с теоретическими структурами с помощью уточнения Ритвельда. ^[38] или имитация отжига . ^[39]

Добавление двузначной симметрии также является полезной концепцией для групп фризов , которые часто используются для классификации художественных узоров. В этом случае 7 групп фризов с добавлением реверсирования цвета превращаются в 24 группы фризов с реверсом цвета. ^[40] Помимо простого двузначного свойства, идея была расширена до трех цветов в трех измерениях: ^[41] и к еще большим размерам и большему количеству цветов . ^[42]

См. также

Ссылки

^ Габор Гевай (2000). «Черно-белая симметрия, магнитная симметрия, самодуальность и антипризматическая симметрия: общие математические предпосылки» (PDF) . Форма . 15 :57–60.
^ Хиш, Х. (1 января 1929 г.). «Структурная теория групп плоской симметрии». Журнал кристаллографии - Кристаллические материалы (на немецком языке). 71 (1–6): 95–102. дои : 10.1524/zkri.1929.71.1.95 . ISSN 2196-7105 . S2CID 102004261 .
^ Хиш, Х. (1 января 1930 г.). «К теории систематической структуры. II» [Теория систематической структуры II]. Журнал кристаллографии - Кристаллические материалы (на немецком языке). 72 (1–6): 177–201. дои : 10.1524/zkri.1930.72.1.177 . ISSN 2196-7105 . S2CID 101972126 .
^ Хиш, Х. (1930). «К теории систематической структуры. III — О четырёхмерных группах трёхмерного пространства» [Теория систематической структуры III — О четырёхмерных группах трёхмерного пространства]. Журнал кристаллографии - Кристаллические материалы (на немецком языке). 73 (1–6): 325–345. дои : 10.1524/zkri.1930.73.1.325 . ISSN 2196-7105 . S2CID 102161514 .
^ Хиш, Х. (1 января 1930 г.). «К теории систематической структуры. IV — О симметриях второго рода в континуумах и ремидисконтинуумах» [Теория систематической структуры IV — О симметрии второго рода в континуумах и полуконтинуумах]. Журнал кристаллографии - Кристаллические материалы (на немецком языке). 73 (1–6): 346–356. дои : 10.1524/zkri.1930.73.1.346 . ISSN 2196-7105 . S2CID 102161512 .
^ Уиллс, Эндрю С. (2017). «Историческое введение в симметрию магнитных структур. Часть 1. Ранняя квантовая теория, дифракция нейтронов на порошке и цветные пространственные группы». Порошковая дифракция . 32 (2): 148–155. arXiv : 1609.09666 . Бибкод : 2017PDiff..32..148W . дои : 10.1017/S0885715617000124 . ISSN 0885-7156 . S2CID 118533941 .
^ Пантулу, ПВ; Радхакришна, С. (1967). «Метод вывода групп Шубникова» . Труды Индийской академии наук А. 66 (2): 107–111. дои : 10.1007/BF03049452 . ISSN 0370-0089 . S2CID 118874086 .
^ Тавгер, бакалавр; Зайцев, В.М. (1956). «Магнитная симметрия кристаллов» (PDF) . Журнал экспериментальной и теоретической физики . 3 (3): 430.
^ A. V. Shubnikov; N. V. Belov (1964). Colored Symmetry . New York, Macmillan.
^ Перейти обратно: ^а ^б Гриммер, Ганс (2009). «Комментарии к таблицам магнитных пространственных групп» . Acta Crystallographica Раздел А. 65 (2): 145–155. Бибкод : 2009AcCrA..65..145G . дои : 10.1107/S0108767308039007 . ISSN 0108-7673 . ПМИД 19225196 .
^ Заморзаев, А. М. (1953). Обобщение групп Федорова (доктор философии). Ленинградский государственный университет .
^ «Обобщение групп Федорова». Кристаллография . 2 : 15–20. 1957.
^ «Обобщение групп Федорова». Советская физика Кристаллография . 2 : 10–15.
^ Ким, Шун К. (1986). «38 сборок общих генераторных установок для 1421 магнитной двойной пространственной группы». Журнал математической физики . 27 (5). Издательство АИП: 1484–1489. Бибкод : 1986JMP....27.1484K . дои : 10.1063/1.527397 . ISSN 0022-2488 .
^ Опечовский, В.; Гуччионе, Р. (1965). «Магнитная симметрия». В Радо, Джордж Т.; Зул, Гарри (ред.). Магнетизм . Том. 2А. Нью-Йорк: Академическая пресса. OCLC 31184704 .
^ Гарольд Т. Стоукс; Брэнтон Дж. Кэмпбелл. «Таблица магнитных пространственных групп ISO-MAG» . Проверено 14 апреля 2019 г.
^ «Список магнитных пространственных групп» . Кристаллографический сервер Университета Страны Басков — Бильбао . Проверено 14 апреля 2019 г.
^ Литвин, Д.Б. (2013). Литвин, Д.Б. (ред.). Таблицы магнитных групп: 1-, 2- и 3-мерные магнитные субпериодические группы и магнитные пространственные группы . Международный союз кристаллографии. дои : 10.1107/9780955360220001 . ISBN 978-0-9553602-2-0 .
^ Перейти обратно: ^а ^б Брэдли, CJ; Крэкнелл, AP (2010). «Магнитные группы и их представления». Математическая теория симметрии твердых тел: теория представлений точечных и пространственных групп . Оксфорд Нью-Йорк: Clarendon Press. стр. 569–681. ISBN 978-0-19-958258-7 . OCLC 859155300 .
^ Литвин, Дэниел Б.; Копский, Войтех (26 мая 2011 г.). «Обозначение Зейтца для операций симметрии пространственных групп». Acta Crystallographica Раздел А. 67 (4). Международный союз кристаллографии (IUCr): 415–418. Бибкод : 2011AcCrA..67..415L . дои : 10.1107/s010876731101378x . ISSN 0108-7673 . ПМИД 21694481 .
^ ДеГреф, Марк. Обучение симметрии кристаллографической и магнитной точечной группы с использованием трехмерной визуализации (PDF) . Проверено 17 января 2020 г.
^ Шмид, Ганс (1973). «О магнитоэлектрической классификации материалов» . Международный журнал магнетизма . 4 (4): 337–361.
^ Шмид, Ганс (9 октября 2008 г.). «Некоторые аспекты симметрии ферроиков и однофазных мультиферроиков». Физический журнал: конденсированное вещество . 20 (43). Издательство IOP: 434201. Бибкод : 2008JPCM...20Q4201S . дои : 10.1088/0953-8984/20/43/434201 . ISSN 0953-8984 . S2CID 120569385 .
^ Лафлин, Делавэр; Уиллард, Массачусетс; МакГенри, Мэн (2000). «Магнитное упорядочение: некоторые структурные аспекты». В Гонисе, Антониос; Турчи, Патрис Э.А. (ред.). Фазовые превращения и эволюция материалов: материалы симпозиума, спонсируемого Комитетом по фазам сплавов объединенного IMPMD/SMD Общества минералов, металлов и материалов (TMS), состоявшегося на ежегодном собрании TMS 2000 года в Нэшвилле, Теннесси, США, 12–16 марта 2000 г. (PDF) . Уоррендейл, Пенсильвания: TMS. стр. 121–137. ISBN 978-0-87339-468-0 . OCLC 44883836 .
^ Атодзи, Масао (1965). «Графические представления магнитных пространственных групп». Американский журнал физики . 33 (3). Американская ассоциация учителей физики (AAPT): 212–219. Бибкод : 1965AmJPh..33..212A . дои : 10.1119/1.1971375 . ISSN 0002-9505 .
^ Белов, Н.В.; Неронова, Н.Н.; Смирнова, Т. С. (1957). «Группы Шубникова». Советская физика Кристаллография . 2 (3). Американский институт физики: 311–322. ISSN 0038-5638 .
^ Брэдли, CJ; Крэкнелл, AP (1972). «Магнитные группы и их корпредставления». Математическая теория симметрии твердых тел: теория представлений точечных и пространственных групп . Оксфорд: Издательство Оксфордского университета. стр. 586–587.
^ Маккей, Алабама (1957). «Расширения теории пространственных групп» . Акта Кристаллографика . 10 (9). Международный союз кристаллографии: 543–548. Бибкод : 1957AcCry..10..543M . дои : 10.1107/S0365110X57001966 .
^ Перес-Мато, JM; Рибейро, JL; Петричек, В; Аройо, Мичиган (26 марта 2012 г.). «Магнитные суперпространственные группы и ограничения симметрии в несоизмеримых магнитных фазах». Физический журнал: конденсированное вещество . 24 (16). Издание IOP: 163201. arXiv : 1107.2358 . Бибкод : 2012JPCM...24p3201P . дои : 10.1088/0953-8984/24/16/163201 . ISSN 0953-8984 . ПМИД 22447842 . S2CID 11738423 .
^ Диммок, Джон О. (15 мая 1963 г.). «Использование симметрии при определении магнитных структур». Физический обзор . 130 (4). Американское физическое общество (APS): 1337–1344. Бибкод : 1963PhRv..130.1337D . дои : 10.1103/physrev.130.1337 . ISSN 0031-899X .
^ Дзялошинский И. (1958). «Термодинамическая теория «слабого» ферромагнетизма антиферромагнетиков». Журнал физики и химии твердого тела . 4 (4). Эльзевир Б.В.: 241–255. Бибкод : 1958JPCS....4..241D . дои : 10.1016/0022-3697(58)90076-3 . ISSN 0022-3697 .
^ Айдзу, Кейтсиро (1 августа 1970 г.). «Возможные виды ферромагнитных, сегнетоэлектрических и сегнетоупругих кристаллов». Физический обзор B . 2 (3). Американское физическое общество (APS): 754–772. Бибкод : 1970PhRvB...2..754A . дои : 10.1103/physrevb.2.754 . ISSN 0556-2805 .
^ Литвин, Д.Б. (19 февраля 2008 г.). «Классификация ферроиков распространена на ферротороидные кристаллы». Acta Crystallographica Раздел А. 64 (2). Международный союз кристаллографии (IUCr): 316–320. Бибкод : 2008AcCrA..64..316L . дои : 10.1107/s0108767307068262 . ISSN 0108-7673 . ПМИД 18285626 .
^ Лев Ландау ; Евгений Лифшиц (1960). Электродинамика сплошных сред . Курс теоретической физики. Том. 8. Пергамон Пресс. С. 116–119 . ISBN 978-0750626347 .
^ Элькоро, Луис; Видер, Бенджамин Дж.; Песня, Жида; Сюй, Юаньфэн; Брэдлин, Барри; Берневиг, Б. Андрей (2021). «Магнитная топологическая квантовая химия» . Природные коммуникации . 12 (1). Исследования природы: 5965. arXiv : 2010.00598 . Бибкод : 2021NatCo..12.5965E . дои : 10.1038/s41467-021-26241-8 . ПМЦ 8514474 . ПМИД 34645841 .
^ Ватанабэ, Харуки; По, Хой Чун; Вишванат, Ашвин (2018). «Структура и топология зонных структур в магнитных пространственных группах 1651 года» . Достижения науки . 4 (8). Американская ассоциация содействия развитию науки (AAAS): eaat8685. arXiv : 1707.01903 . Бибкод : 2018SciA....4.8685W . doi : 10.1126/sciadv.aat8685 . ISSN 2375-2548 . ПМК 6070365 . ПМИД 30083612 . S2CID 51910083 .
^ Сюй, Юаньфэн; Элькоро, Луис; Песня, Жида; Видер, Бенджамин. Дж.; Вергниори, МГ; Реньо, Николя; Чен, Юлин; Фельзер, Клаудия; Берневиг, Б. Андрей (2020). «Высокопроизводительные расчеты магнитных топологических материалов». Природа . 586 (7831): 702–707. arXiv : 2003.00012 . дои : 10.1038/s41586-020-2837-0 . ПМИД 33116291 . S2CID 226036258 .
^ Ритвельд, ХМ (2 июня 1969 г.). «Метод уточнения профиля ядерных и магнитных структур». Журнал прикладной кристаллографии . 2 (2). Международный союз кристаллографии (IUCr): 65–71. Бибкод : 1969JApCr...2...65R . дои : 10.1107/s0021889869006558 . ISSN 0021-8898 .
^ Родригес-Карвахаль, Хуан (1993). «Последние достижения в определении магнитной структуры методом нейтронной порошковой дифракции». Физика Б: Конденсированное вещество . 192 (1–2). Эльзевир Б.В.: 55–69. Бибкод : 1993PhyB..192...55R . дои : 10.1016/0921-4526(93)90108-i . ISSN 0921-4526 .
^ Дэвид А. Джеймс; Лукас Н. Калисперис; Элис В. Джеймс (2003). Математика декоративных фризов, меняющих цвет: Faaçdes of Pirgí, Греция (PDF) . Мосты: математические связи в искусстве, музыке и науке. Международное общество искусств, математики и архитектуры. п. 135.
^ Харкер, Д. (1981). «Трехцветные трехмерные космические группы». Acta Crystallographica Раздел А. 37 (3): 286–292. Бибкод : 1981AcCrA..37..286H . дои : 10.1107/S0567739481000697 . ISSN 0567-7394 .
^ Копцик, В.А. (1994). А.С. Марфунин (ред.). Общие результаты анализа кристаллической структуры минералов . Шпрингер Верлаг Берлин Гейдельберг. стр. 50–55. ISBN 978-3-642-78525-2 .

Внешние ссылки

«MAGNDATA: Коллекция магнитных структур с переносимыми файлами типа cif» . Университет Страны Басков . Проверено 22 января 2020 г.
«База данных магнитных структур, определенных методом дифракции нейтронов» . AGH Университет науки и технологий . Проверено 22 января 2020 г.

[1] Габор Гевай (2000). «Черно-белая симметрия, магнитная симметрия, самодуальность и антипризматическая симметрия: общие математические предпосылки» (PDF) . Форма . 15 :57–60.

[2] Хиш, Х. (1 января 1929 г.). «Структурная теория групп плоской симметрии». Журнал кристаллографии - Кристаллические материалы (на немецком языке). 71 (1–6): 95–102. дои : 10.1524/zkri.1929.71.1.95 . ISSN 2196-7105 . S2CID 102004261 .

[3] Хиш, Х. (1 января 1930 г.). «К теории систематической структуры. II» [Теория систематической структуры II]. Журнал кристаллографии - Кристаллические материалы (на немецком языке). 72 (1–6): 177–201. дои : 10.1524/zkri.1930.72.1.177 . ISSN 2196-7105 . S2CID 101972126 .

[Heesch1930-4] Хиш, Х. (1930). «К теории систематической структуры. III — О четырёхмерных группах трёхмерного пространства» [Теория систематической структуры III — О четырёхмерных группах трёхмерного пространства]. Журнал кристаллографии - Кристаллические материалы (на немецком языке). 73 (1–6): 325–345. дои : 10.1524/zkri.1930.73.1.325 . ISSN 2196-7105 . S2CID 102161514 .

[5] Хиш, Х. (1 января 1930 г.). «К теории систематической структуры. IV — О симметриях второго рода в континуумах и ремидисконтинуумах» [Теория систематической структуры IV — О симметрии второго рода в континуумах и полуконтинуумах]. Журнал кристаллографии - Кристаллические материалы (на немецком языке). 73 (1–6): 346–356. дои : 10.1524/zkri.1930.73.1.346 . ISSN 2196-7105 . S2CID 102161512 .

[Wills2017-6] Уиллс, Эндрю С. (2017). «Историческое введение в симметрию магнитных структур. Часть 1. Ранняя квантовая теория, дифракция нейтронов на порошке и цветные пространственные группы». Порошковая дифракция . 32 (2): 148–155. arXiv : 1609.09666 . Бибкод : 2017PDiff..32..148W . дои : 10.1017/S0885715617000124 . ISSN 0885-7156 . S2CID 118533941 .

[PantuluRadhakrishna1967-7] Пантулу, ПВ; Радхакришна, С. (1967). «Метод вывода групп Шубникова» . Труды Индийской академии наук А. 66 (2): 107–111. дои : 10.1007/BF03049452 . ISSN 0370-0089 . S2CID 118874086 .

[8] Тавгер, бакалавр; Зайцев, В.М. (1956). «Магнитная симметрия кристаллов» (PDF) . Журнал экспериментальной и теоретической физики . 3 (3): 430.

[9] A. V. Shubnikov; N. V. Belov (1964). Colored Symmetry . New York, Macmillan.

[Grimmer2009-10] Перейти обратно: ^а ^б Гриммер, Ганс (2009). «Комментарии к таблицам магнитных пространственных групп» . Acta Crystallographica Раздел А. 65 (2): 145–155. Бибкод : 2009AcCrA..65..145G . дои : 10.1107/S0108767308039007 . ISSN 0108-7673 . ПМИД 19225196 .

[11] Заморзаев, А. М. (1953). Обобщение групп Федорова (доктор философии). Ленинградский государственный университет .

[12] «Обобщение групп Федорова». Кристаллография . 2 : 15–20. 1957.

[13] «Обобщение групп Федорова». Советская физика Кристаллография . 2 : 10–15.

[14] Ким, Шун К. (1986). «38 сборок общих генераторных установок для 1421 магнитной двойной пространственной группы». Журнал математической физики . 27 (5). Издательство АИП: 1484–1489. Бибкод : 1986JMP....27.1484K . дои : 10.1063/1.527397 . ISSN 0022-2488 .

[15] Опечовский, В.; Гуччионе, Р. (1965). «Магнитная симметрия». В Радо, Джордж Т.; Зул, Гарри (ред.). Магнетизм . Том. 2А. Нью-Йорк: Академическая пресса. OCLC 31184704 .

[16] Гарольд Т. Стоукс; Брэнтон Дж. Кэмпбелл. «Таблица магнитных пространственных групп ISO-MAG» . Проверено 14 апреля 2019 г.

[17] «Список магнитных пространственных групп» . Кристаллографический сервер Университета Страны Басков — Бильбао . Проверено 14 апреля 2019 г.

[18] Литвин, Д.Б. (2013). Литвин, Д.Б. (ред.). Таблицы магнитных групп: 1-, 2- и 3-мерные магнитные субпериодические группы и магнитные пространственные группы . Международный союз кристаллографии. дои : 10.1107/9780955360220001 . ISBN 978-0-9553602-2-0 .

[Bradley2010-19] Перейти обратно: ^а ^б Брэдли, CJ; Крэкнелл, AP (2010). «Магнитные группы и их представления». Математическая теория симметрии твердых тел: теория представлений точечных и пространственных групп . Оксфорд Нью-Йорк: Clarendon Press. стр. 569–681. ISBN 978-0-19-958258-7 . OCLC 859155300 .

[20] Литвин, Дэниел Б.; Копский, Войтех (26 мая 2011 г.). «Обозначение Зейтца для операций симметрии пространственных групп». Acta Crystallographica Раздел А. 67 (4). Международный союз кристаллографии (IUCr): 415–418. Бибкод : 2011AcCrA..67..415L . дои : 10.1107/s010876731101378x . ISSN 0108-7673 . ПМИД 21694481 .

[21] ДеГреф, Марк. Обучение симметрии кристаллографической и магнитной точечной группы с использованием трехмерной визуализации (PDF) . Проверено 17 января 2020 г.

[22] Шмид, Ганс (1973). «О магнитоэлектрической классификации материалов» . Международный журнал магнетизма . 4 (4): 337–361.

[23] Шмид, Ганс (9 октября 2008 г.). «Некоторые аспекты симметрии ферроиков и однофазных мультиферроиков». Физический журнал: конденсированное вещество . 20 (43). Издательство IOP: 434201. Бибкод : 2008JPCM...20Q4201S . дои : 10.1088/0953-8984/20/43/434201 . ISSN 0953-8984 . S2CID 120569385 .

[24] Лафлин, Делавэр; Уиллард, Массачусетс; МакГенри, Мэн (2000). «Магнитное упорядочение: некоторые структурные аспекты». В Гонисе, Антониос; Турчи, Патрис Э.А. (ред.). Фазовые превращения и эволюция материалов: материалы симпозиума, спонсируемого Комитетом по фазам сплавов объединенного IMPMD/SMD Общества минералов, металлов и материалов (TMS), состоявшегося на ежегодном собрании TMS 2000 года в Нэшвилле, Теннесси, США, 12–16 марта 2000 г. (PDF) . Уоррендейл, Пенсильвания: TMS. стр. 121–137. ISBN 978-0-87339-468-0 . OCLC 44883836 .

[Atoji-25] Атодзи, Масао (1965). «Графические представления магнитных пространственных групп». Американский журнал физики . 33 (3). Американская ассоциация учителей физики (AAPT): 212–219. Бибкод : 1965AmJPh..33..212A . дои : 10.1119/1.1971375 . ISSN 0002-9505 .

[26] Белов, Н.В.; Неронова, Н.Н.; Смирнова, Т. С. (1957). «Группы Шубникова». Советская физика Кристаллография . 2 (3). Американский институт физики: 311–322. ISSN 0038-5638 .

[27] Брэдли, CJ; Крэкнелл, AP (1972). «Магнитные группы и их корпредставления». Математическая теория симметрии твердых тел: теория представлений точечных и пространственных групп . Оксфорд: Издательство Оксфордского университета. стр. 586–587.

[28] Маккей, Алабама (1957). «Расширения теории пространственных групп» . Акта Кристаллографика . 10 (9). Международный союз кристаллографии: 543–548. Бибкод : 1957AcCry..10..543M . дои : 10.1107/S0365110X57001966 .

[29] Перес-Мато, JM; Рибейро, JL; Петричек, В; Аройо, Мичиган (26 марта 2012 г.). «Магнитные суперпространственные группы и ограничения симметрии в несоизмеримых магнитных фазах». Физический журнал: конденсированное вещество . 24 (16). Издание IOP: 163201. arXiv : 1107.2358 . Бибкод : 2012JPCM...24p3201P . дои : 10.1088/0953-8984/24/16/163201 . ISSN 0953-8984 . ПМИД 22447842 . S2CID 11738423 .

[30] Диммок, Джон О. (15 мая 1963 г.). «Использование симметрии при определении магнитных структур». Физический обзор . 130 (4). Американское физическое общество (APS): 1337–1344. Бибкод : 1963PhRv..130.1337D . дои : 10.1103/physrev.130.1337 . ISSN 0031-899X .

[31] Дзялошинский И. (1958). «Термодинамическая теория «слабого» ферромагнетизма антиферромагнетиков». Журнал физики и химии твердого тела . 4 (4). Эльзевир Б.В.: 241–255. Бибкод : 1958JPCS....4..241D . дои : 10.1016/0022-3697(58)90076-3 . ISSN 0022-3697 .

[32] Айдзу, Кейтсиро (1 августа 1970 г.). «Возможные виды ферромагнитных, сегнетоэлектрических и сегнетоупругих кристаллов». Физический обзор B . 2 (3). Американское физическое общество (APS): 754–772. Бибкод : 1970PhRvB...2..754A . дои : 10.1103/physrevb.2.754 . ISSN 0556-2805 .

[33] Литвин, Д.Б. (19 февраля 2008 г.). «Классификация ферроиков распространена на ферротороидные кристаллы». Acta Crystallographica Раздел А. 64 (2). Международный союз кристаллографии (IUCr): 316–320. Бибкод : 2008AcCrA..64..316L . дои : 10.1107/s0108767307068262 . ISSN 0108-7673 . ПМИД 18285626 .

[34] Лев Ландау ; Евгений Лифшиц (1960). Электродинамика сплошных сред . Курс теоретической физики. Том. 8. Пергамон Пресс. С. 116–119 . ISBN 978-0750626347 .

[35] Элькоро, Луис; Видер, Бенджамин Дж.; Песня, Жида; Сюй, Юаньфэн; Брэдлин, Барри; Берневиг, Б. Андрей (2021). «Магнитная топологическая квантовая химия» . Природные коммуникации . 12 (1). Исследования природы: 5965. arXiv : 2010.00598 . Бибкод : 2021NatCo..12.5965E . дои : 10.1038/s41467-021-26241-8 . ПМЦ 8514474 . ПМИД 34645841 .

[36] Ватанабэ, Харуки; По, Хой Чун; Вишванат, Ашвин (2018). «Структура и топология зонных структур в магнитных пространственных группах 1651 года» . Достижения науки . 4 (8). Американская ассоциация содействия развитию науки (AAAS): eaat8685. arXiv : 1707.01903 . Бибкод : 2018SciA....4.8685W . doi : 10.1126/sciadv.aat8685 . ISSN 2375-2548 . ПМК 6070365 . ПМИД 30083612 . S2CID 51910083 .

[37] Сюй, Юаньфэн; Элькоро, Луис; Песня, Жида; Видер, Бенджамин. Дж.; Вергниори, МГ; Реньо, Николя; Чен, Юлин; Фельзер, Клаудия; Берневиг, Б. Андрей (2020). «Высокопроизводительные расчеты магнитных топологических материалов». Природа . 586 (7831): 702–707. arXiv : 2003.00012 . дои : 10.1038/s41586-020-2837-0 . ПМИД 33116291 . S2CID 226036258 .

[38] Ритвельд, ХМ (2 июня 1969 г.). «Метод уточнения профиля ядерных и магнитных структур». Журнал прикладной кристаллографии . 2 (2). Международный союз кристаллографии (IUCr): 65–71. Бибкод : 1969JApCr...2...65R . дои : 10.1107/s0021889869006558 . ISSN 0021-8898 .

[39] Родригес-Карвахаль, Хуан (1993). «Последние достижения в определении магнитной структуры методом нейтронной порошковой дифракции». Физика Б: Конденсированное вещество . 192 (1–2). Эльзевир Б.В.: 55–69. Бибкод : 1993PhyB..192...55R . дои : 10.1016/0921-4526(93)90108-i . ISSN 0921-4526 .

[40] Дэвид А. Джеймс; Лукас Н. Калисперис; Элис В. Джеймс (2003). Математика декоративных фризов, меняющих цвет: Faaçdes of Pirgí, Греция (PDF) . Мосты: математические связи в искусстве, музыке и науке. Международное общество искусств, математики и архитектуры. п. 135.

[Harker1981-41] Харкер, Д. (1981). «Трехцветные трехмерные космические группы». Acta Crystallographica Раздел А. 37 (3): 286–292. Бибкод : 1981AcCrA..37..286H . дои : 10.1107/S0567739481000697 . ISSN 0567-7394 .

[42] Копцик, В.А. (1994). А.С. Марфунин (ред.). Общие результаты анализа кристаллической структуры минералов . Шпрингер Верлаг Берлин Гейдельберг. стр. 50–55. ISBN 978-3-642-78525-2 .

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]

[7]

[8]

[9]

[10]

[11]

[12]

[13]

[14]

[15]

[16]

[17]

[18]

[19]

[20]

[21]

[22]

[23]

[24]

[25]

[26]

[27]

[28]

[29]

[30]

[31]

[32]

[33]

[34]

[35]

[36]

[37]

[38]

[39]

[40]

[41]

[42]