Полихроматическая симметрия
Полихроматическая симметрия — это цветовая симметрия, при которой три или более цветов заменяются местами в симметричном узоре. Это естественное расширение дихроматической симметрии . Цветные группы симметрии получаются путем добавления к координатам положения ( x и y в двух измерениях, x , y и z в трех измерениях) дополнительной координаты k , которая принимает три или более возможных значений (цвета). [1]
Примером применения полихроматической симметрии являются кристаллы веществ, содержащие молекулы или ионы в триплетных состояниях, то есть с электронным спином, равным 1, иногда должны иметь структуры, в которых спины этих групп имеют проекции +1, 0 и -. 1 на локальные магнитные поля. Если эти три случая присутствуют с одинаковой частотой в упорядоченном ряду, то магнитная пространственная группа такого кристалла должна быть трехцветной. [2] [3]
Пример
[ редактировать ]Группа p3 имеет три разных центра вращения третьего порядка (120°), но не имеет отражений или скользящих отражений.
| Бесцветный узор п3 | 3-х цветный узор p3 [3] 1 | 3-х цветный узор p3 [3] 2 |
|---|---|---|
 |  |  |
Существует два различных способа окраски узора p3 в три цвета: p3 [3] 1 и p3 [3] 2 , где цифра в квадратных скобках указывает количество цветов, а нижний индекс различает несколько случаев цветных узоров. [5]
Взяв один мотив в узоре p3 [3] 1 , он выполняет операцию симметрии 3', состоящую из поворота на 120 ° и циклической перестановки трех цветов: белого, зеленого и красного, как показано на анимации.
Этот узор p3 [3] 1 имеет ту же цветовую симметрию, что и гексагональная мозаика М. К. Эшера с животными: исследование правильного разделения плоскости с рептилиями (1939). Эшер повторно использовал этот дизайн в своей литографии «Рептилии» 1943 года , а также он использовался в качестве обложки дебютного альбома Mott the Hoople .
| 4 цвета р3 [4] [6] : 287 4.03.01 | 6 цветов стр.3 [6] | 7 цветов р3 [7] | 9 цветов стр. 3 [9] 1 | 12 цветов стр. 3 [12] 1 |
|---|---|---|---|---|
 |  |  |  |  |
Теория групп
[ редактировать ]Первоначальные исследования Витке и Гарридо (1959). [7] и Ниггли и Вондрачека (1960) [8] определил связь между цветовыми группами объекта и подгруппами объекта группы геометрической симметрии . В 1961 году ван дер Варден и Буркхардт [9] основано на более ранней работе, показав, что цветовые группы можно определить следующим образом: в цветовой группе узора (или объекта) каждая из операций геометрической симметрии s связана с перестановкой σ цветов k таким образом, что все пары ( s , σ ) образуют группу. Сенешаль показал, что перестановки определяются подгруппами геометрической группы симметрии G неокрашенного узора. [10] Когда каждая операция симметрии в G связана с уникальной перестановкой цвета, узор называется идеально окрашенным. [11] [12]
Теория Вардена-Буркхардта определяет k- цветов G ( H ) как определяемую подгруппой H индекса k в группе симметрии G. группу [13] Если подгруппа H является нормальной подгруппой , то факторгруппа G / H переставляет все цвета. [14]
История
[ редактировать ]- публикуют первые статьи о полихроматических, в отличие от дихроматических, группах симметрии . 1956 Белов и его сотрудники [15] [16] [17] [18] [19] [20] Вайнштейн и Копцик (1994) подводят итоги российских исследований. [21]
- 1957 Маккей публикует первую рецензию на русское произведение на английском языке. [22] Последующие обзоры были опубликованы Копциком (1968). [23] Шварценбергер (1984), [24] в Грюнбаума и Шепарда» ( «Плитках и узорах 1987), [4] Сенешала (1990) [10] и Томас (2012). [25]
- конца 1950-х годов, Работы М.К. Эшера основанные на дихроматических и полихроматических узорах, популяризируют цветовую симметрию среди ученых. [26] [27]
- 1961 Ван дер Варден и Буркхардт дали четкое определение цветовой симметрии с точки зрения теории групп , независимо от количества задействованных цветов или измерений. [9]
- 1964 Первая публикация Шубникова и Белова «Цветной симметрии» в английском переводе. [28]
- 1971. Вывод Леба в книге «Цвет и симметрия» двумерных конфигураций цветовой симметрии с использованием ротоцентров. [29]
- 1974 Публикация « Симметрии в науке и искусстве» Шубникова и Копцика с обширным освещением полихроматической симметрии. [30]
- 1983 Сенешаль исследует проблему симметричной окраски многогранников с помощью теории групп. [13] [31] Позже Кромвель использует алгоритмический подход подсчета (1997). [32]
- 1988 Уошберн и Кроу применяют анализ цветовой симметрии к культурным образцам и объектам. [33] Уошберн и Кроу вдохновили на дальнейшие работы, например, Маковицкого. [34]
- 1997 Лифшиц расширяет теорию цветовой симметрии от периодических кристаллов до квазипериодических. [35]
- 2008 Конвей , Бургель и Гудман-Штраус публикуют книгу «Симметрии вещей» , в которой описываются сохраняющие цвет симметрии цветных объектов с использованием новых обозначений, основанных на орбифолдах . [36]
Количество цветовых групп
[ редактировать ]| Количество цветов ( к ) | |||||||||||
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| Базовый группа | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 | 11 | 12 |
| стр.111 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 |
| p1a1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 |
| п1м1 | 3 | 1 | 3 | 1 | 3 | 1 | 3 | 1 | 3 | 1 | 3 |
| 11:00 | 2 | 1 | 2 | 1 | 2 | 1 | 2 | 1 | 2 | 1 | 2 |
| стр.112 | 2 | 1 | 2 | 1 | 2 | 1 | 2 | 1 | 2 | 1 | 2 |
| пма2 | 3 | 1 | 3 | 1 | 3 | 1 | 3 | 1 | 3 | 1 | 3 |
| пмм2 | 5 | 1 | 7 | 1 | 5 | 1 | 7 | 1 | 5 | 1 | 7 |
| Полная полоса группы | 17 | 7 | 19 | 7 | 17 | 7 | 19 | 7 | 17 | 7 | 19 |
| Количество цветов ( к ) | |||||||||||
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| Базовый группа | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 | 11 | 12 |
| п1 | 1 | 1 | 2 | 1 | 1 | 1 | 2 | 2 | 1 | 1 | 2 |
| стр. | 2 | 2 | 4 | 2 | 5 | 2 | 7 | 3 | 6 | 2 | 11 |
| вечер | 5 | 2 | 10 | 2 | 11 | 2 | 16 | 3 | 12 | 2 | 23 |
| см | 3 | 2 | 7 | 2 | 7 | 2 | 13 | 3 | 8 | 2 | 17 |
| п2 | 2 | 1 | 3 | 1 | 2 | 1 | 4 | 2 | 2 | 1 | 3 |
| пгг | 2 | 1 | 4 | 1 | 4 | 1 | 7 | 2 | 5 | 1 | 9 |
| пмг | 5 | 2 | 11 | 2 | 11 | 2 | 19 | 3 | 12 | 2 | 26 |
| пмм | 5 | 1 | 13 | 1 | 9 | 1 | 21 | 2 | 10 | 1 | 25 |
| хмм | 5 | 1 | 11 | 1 | 8 | 1 | 21 | 2 | 9 | 1 | 22 |
| п3 | - | 2 | 1 | - | 1 | 1 | - | 3 | - | - | 4 |
| п31м | 1 | 2 | 1 | - | 5 | - | 1 | 3 | - | - | 7 |
| п3м1 | 1 | 2 | 1 | - | 4 | - | 1 | 3 | - | - | 7 |
| п4 | 2 | - | 5 | 1 | 2 | - | 9 | 1 | 4 | - | 9 |
| п4г | 3 | - | 7 | - | 2 | - | 13 | 1 | 3 | - | 10 |
| п4м | 5 | - | 13 | - | 2 | - | 28 | 1 | 3 | - | 16 |
| стр.6 | 1 | 2 | 1 | - | 5 | 1 | 1 | 3 | - | - | 8 |
| п6м | 3 | 2 | 2 | - | 11 | - | 3 | 3 | - | - | 20 |
| Всего периодических группы | 46 | 23 | 96 | 14 | 90 | 15 | 166 | 40 | 75 | 13 | 219 |
Оба 3-цветных узора p3 , уникальные 4-, 6-, 7-цветные узоры p3 , один из трех 9-цветных узоров p3 и один из четырех 12-цветных узоров p3 показаны в разделе «Примеры» выше. .
Ссылки
[ редактировать ]- ^ Брэдли, CJ и Крэкнелл, AP (2010). Математическая теория симметрии в твердых телах: теория представлений точечных и пространственных групп , Clarendon Press, Oxford, 677–681, ISBN 9780199582587
- ^ Харкер, Д. (1981). Трехцветные трехмерные пространственные группы , Acta Crystallogr., A37 , 286-292, дои : 10.1107/s0567739481000697
- ^ Майнцер, К. (1996). Симметрии природы: справочник по философии природы и науки , де Грюйтер, Берлин, 162-168, ISBN 9783110129908
- ^ Jump up to: а б с д Грюнбаум Б. и Шепард Г.К. (1987). Плитки и узоры , WH Freeman, Нью-Йорк, ISBN 9780716711933
- ^ Ханн, Массачусетс и Томас, Б.Г. (2007). За пределами черного и белого: примечание относительно трехцветных взаимозаменяемых узоров , J. Textile Inst., 98 (6), 539-547, дои : 10.1080/00405000701502446
- ^ Jump up to: а б с Витинг, TW (1982). Математическая теория хроматических плоских орнаментов , Марсель Деккер, Нью-Йорк, ISBN 9780824715175
- ^ Виттке О. и Гарридо Дж. (1959). Симметрия полихроматических многогранников , Бюлл. Соц. Французская минеральная компания. и de Crist., 82 (7-9), 223-230; два : 10.3406/bulmi.1959.5332
- ^ Ниггли, А. и Вондратчек, Х. (1960). Обобщение точечных групп. I. Простые криптосимметрии , З. Крист., 114 (1-6), 215-231. дои : 10.1524/zkri.1960.114.16.215
- ^ Jump up to: а б ван дер Варден, Б.Л. и Буркхардт, Дж.Дж. (1961). Цветовые группы , З. Крист, 115 , 231-234, дои : 10.1524/zkri.1961.115.3-4.231
- ^ Jump up to: а б Сенешаль, М. (1990). Геометрическая кристаллография в Историческом атласе кристаллографии под ред. Лима-де-Фариа, Ж., Клювер, Дордрехт, 52-53, ISBN 9780792306498
- ^ Сенешаль, М. (1988). Цветовая симметрия , Вычисл. Математика. Приложение., 16 (5-8), 545-553, дои : 10.1016/0898-1221(88)90244-1
- ^ Сенешаль, М. (1990). Кристаллические симметрии: неформальное математическое введение , Адам Хилгер, Бристоль, 74–87, ISBN 9780750300414
- ^ Jump up to: а б Сенешаль, М. (1983). Цветовая симметрия и цветные многогранники , Acta Crystallogr., A39 , 505-511, дои : 10.1107/s0108767383000987
- ^ Коксетер, HSM (1987). Простое введение в цветную симметрию , Int. Дж. Квантовая химия, 31 , 455-461, дои : 10.1002/qua.560310317
- ^ Белов Н.В., Тархова Т.Н. (1956). Группы цветовой симметрии , Сов. Физ. Крист. , 1 , 5-11
- ^ Белов Н.В., Тархова Т.Н. (1956). Группы цветовой симметрии , Сов. Физ. Кристалл., 1 , 487-488
- ^ Белов, Н.В. (1956). Мавританские узоры средневековья и группы симметрии , Сов. Физ. Кристалл., 1 , 482-483
- ^ Белов, Н.В. (1956). Трехмерные мозаики с цветной симметрией , Сов. Физ. Кристалл., 1 , 489-492
- ^ Белов Н.В. и Белова Е.Н. (1956). Мозаики для 46 плоских (Шубников) групп антисимметрии и для 15 (Федоров) цветовых групп , Сов. Физ. Кристалл., 2 , 16-18
- ^ Белов Н.В., Белова Е.Н. и Тархова Т.Н. (1959). Подробнее о группах цветовой симметрии , Сов. Физ. Кристалл., 3 , 625-626
- ^ Вайнштейн, Б.К. и Копцик, В.А. (1994). Современная кристаллография. Том 1. Основы кристаллов: симметрия и методы структурной кристаллографии , Шпрингер, Берлин, 158-179, ISBN 9783540565581
- ^ Маккей, Алабама (1957). Расширения теории пространственных групп , Acta Crystallogr. 10 , 543-548, дои : 10.1107/s0365110x57001966
- ^ Копцик, В.А. (1968). Общий очерк развития теории симметрии и ее приложений в физической кристаллографии за последние 50 лет , Сов. Физ. Кристалл., 12 (5), 667-683
- ^ Шварценбергер, RLE (1984). Цветовая симметрия , Бык. Лондонская математика. Соц., 16 , 209-240, два : 10.1112/blms/16.3.209 , два : 10.1112/blms/16.3.216 , два : 10.1112/blms/16.3.229
- ^ Томас, Б.Г. (2012). Цветовая симметрия: систематическая окраска узоров и мозаик в Color Design , под ред. Бест, Дж., Издательство Вудхед, 381-432, ISBN 9780081016480
- ^ МакГиллаври, CH (1976). Аспекты симметрии периодических рисунков М. К. Эшера , Международный союз кристаллографии, Утрехт, ISBN 9789031301843
- ^ Шнаттшнайдер, Д. (2004). MC Эшер: Видения симметрии , Гарри. Н. Абрамс, Нью-Йорк, ISBN 9780810943087
- ^ Shubnikov, A.V., Belov, N.V. et. al. (1964). Colored symmetry , ed. W.T. Holser, Pergamon, New York
- ^ Леб, Ал. (1971). Цвет и симметрия , Уайли, Нью-Йорк, ISBN 9780471543350
- ^ Шубников А.В., Копцик В.А. (1974). Симметрия в науке и искусстве , Plenum Press, Нью-Йорк, ISBN 9780306307591 (оригинал на русском языке, издательство "Наука", Москва, 1972 г.)
- ^ Сенешаль, М. (1983). Раскраска симметричных предметов симметрично , Матем. Журнал, 56 (1), 3-16, дои : 10.2307/2690259
- ^ Кромвель, PR (1997). Многогранники , Издательство Кембриджского университета, 327–348, ISBN 9780521554329
- ^ Уошберн, Д.К. и Кроу, Д.В. (1988). Симметрии культуры: теория и практика анализа плоских узоров , Издательство Вашингтонского университета, Сиэтл, ISBN 9780295970844
- ^ Маковицкий, Э. (2016). Симметрия глазами старых мастеров , де Грюйтер, Берлин, 133-147, ISBN 9783110417050
- ^ Лифшиц, Р. (1997). Теория цветовой симметрии периодических и квазипериодических кристаллов , Изд. Мод. Физ., 69 (4), 1181–1218, doi : 10.1103/RevModPhys.69.1181
- ^ Конвей, Дж. Х., Бургейл, Х. и Гудман-Штраусс, К. (2008). Симметрии вещей , А.К. Питерс, Уэлсли, М.А., ISBN 9781568812205
- ^ Джарратт, JD и Шварценбергер, RLE (1980). Цветные плоские группы , Acta Crystallogr., A36 , 884-888, дои : 10.1107/S0567739480001866
Дальнейшее чтение
[ редактировать ]- Сенешаль, М. (1975). Точечные группы и симметрия цвета , З. Крист., 142 , 1-23, дои : 10.1524/zkri.1975.142.16.1
- Локвуд, Э.Х. и Макмиллан, Р.Х. (1978). Геометрическая симметрия , Издательство Кембриджского университета, Кембридж, 67–70 и 206–208, ISBN 9780521216852
- Сенешаль, М. (1979). Цветовые группы , Дискретное применение. Матем., 1 , 51-73, два : 10.1016/0166-218X(79)90014-3
- Сенешаль, М. (1988). Алгебраический Эшер , Структурная топология, 15 , 31-42.