Дихроматическая симметрия

Двухцветный треугольник, иллюстрирующий цветовую симметрию.

Дихроматическая симметрия , ^[1] также называемый антисимметрией, ^[2]^[3] черно-белая симметрия, ^[4] магнитная симметрия, ^[5] контрзамена симметрии ^[6] или дихроичная симметрия, ^[7] — это операция симметрии, которая превращает объект в его противоположность. ^[8] Более точное определение — это «операции антисимметрии, преобразующие объекты, обладающие двумя возможными значениями данного свойства, из одного значения в другое». ^[9] Дихроматическая симметрия относится конкретно к двухцветной симметрии; это может быть расширено до трех или более цветов, и в этом случае это называется полихроматической симметрией . ^[10] Общий термин для дихроматической и полихроматической симметрии — это просто цветовая симметрия. Дихроматическая симметрия используется для описания магнитных кристаллов и в других областях физики. ^[11] например, обращение времени , ^[12] которые требуют двузначных операций симметрии.

Примеры

Простой пример — взять белый объект, например треугольник, и применить изменение цвета, в результате чего получится черный треугольник. Повторное применение изменения цвета дает исходный белый треугольник.

Изменение цвета, называемое здесь операцией антиидентичности (1'), дает операцию идентичности (1), если выполняется дважды.

Другой пример — создание антизеркального отражения (m') из зеркального отражения (m) и операции антиидентичности (1'), выполняемой в любом порядке.

Затем операцию m' можно использовать для построения точечной группы антисимметрии 3m' двухцветного треугольника.

Для двухцветного треугольника нет операций зеркального отражения (m), как было бы, если бы все меньшие составляющие треугольники были окрашены в белый цвет. Однако введением операции антизеркального отражения (m') полная диэдральная симметрия D3 восстанавливается . Шесть операций, составляющих дихроматическую точечную группу D3 (3m'):

личность ( $е$ )
вращение на $2 π /3$ ( $r$ )
вращение на $4 π /3$ ( $r 2$ )
антизеркальное отражение ( $м'$ )
сочетание $m'$ с $r$ ( $m'r$ )
сочетание $м'$ с $р 2$ ( $Мистер 2$ ).

Обратите внимание, что номера вершин не являются частью обрабатываемого треугольника — они показаны для отслеживания того, где вершины оказываются после каждой операции.

История

В 1930 году Генрих Хиш был первым, кто формально постулировал операцию антисимметрии в контексте исследования трехмерных пространственных групп в четырехмерном. ^[13] На работу Хиша повлияла статья Вебера 1929 года о черно-белой окраске двумерных полос. ^[14]

В 1935-1936 годах Х. Дж. Вудс опубликовал серию из четырех статей под названием «Геометрические основы дизайна узоров» . Последний из этих ^[15] был посвящен симметрии контрзамены и в котором впервые были получены 46 дихроматических двумерных точечных групп.

Работы Хиша и Вудса в то время не имели большого влияния, и тема дихроматической симметрии не стала приобретать значение до публикации А. В. Шубникова в 1951 году книги «Симметрия и антисимметрия конечных фигур». После этого тема быстро развивалась, сначала в России, но впоследствии и во многих других странах из-за его важности в магнитных структурах и других физических полях.

1951 Ландау и Лифшиц переосмысливают черный и белый цвета, чтобы они соответствовали симметрии обращения времени. ^[16]
1953 Заморзаев впервые выводит 1651 трехмерные антисимметричные пространственные группы. ^[17]^[18]
1956 г. Тавгер и Зайцев используют концепцию векторного обращения магнитных моментов для вывода точечных групп магнитных кристаллов. ^[19]
1957 г. Белов и его коллеги независимо вывели 2D и 3D антисимметричные группы. ^[20]
1957 Заморзаев и Соколов начинают обобщение антисимметрии, вводя концепцию более чем одного вида двузначной операции антисимметрии. ^[11]^[21]^[22]^[23]
1957 Маккей публикует первую рецензию на русское произведение на английском языке. ^[9] Последующие обзоры были опубликованы Холзером (1961). ^[24] Копцик (1968), ^[25] Шварценбергер (1984), ^[26] в Грюнбаума и Шепарда» ( «Плитках и узорах 1987), ^[27] и Брюклер и Стилинович (2024) ^[28]
конца 1950-х годов, основанные на дихроматических и полихроматических узорах, популяризируют цветовую симметрию среди ученых. М.К. Эшера Работы ^[29]^[30]
1961 Четкое определение Ван дер Варденом и Буркхардтом цветовой симметрии с точки зрения теории групп , независимо от количества задействованных цветов или измерений. ^[31]
Шубникова и Белова 1964 г. Первая публикация «Цветной симметрии» в английском переводе. ^[3]
1965 Владислав Опеховски и Розалия Гуччионе обеспечивают полный вывод и перечисление дихроматических трехмерных пространственных групп. ^[32]
1966 Публикация Копциком полного атласа дихроматических трехмерных пространственных групп. ^[33] (на русском языке)
1971 Выведение Лебом двумерных конфигураций цветовой симметрии с использованием ротоцентров. ^[1]
1974 Публикация Шубникова и Копцика «Симметрия в науке и искусстве» с обширным освещением дихроматической симметрии в 1D, 2D и 3D. ^[34]
1988 Уошберн и Кроу применяют анализ цветовой симметрии к культурным образцам и объектам. ^[35]
2008 Конвей , Бургель и Гудман-Штраус публикуют книгу «Симметрии вещей» , в которой описываются сохраняющие цвет симметрии цветных объектов с использованием новых обозначений, основанных на орбифолдах. ^[36]

Размеры

В таблице ниже указано количество обычных и дихроматических групп по размерам. Бом ^[37] символ $G_{ol}^{a}$ используется для обозначения количества групп, в которых $o$ = габаритный размер, $l$ = размер решетки и $a$ = количество типов операций антисимметрии. $a=1$ для дихроматических групп с одной операцией антисимметрии.

Общий измерение	Решетка измерение	Обычные группы				Дихроматические группы
Общий измерение	Решетка измерение	Имя	Символ	Считать	Ссылки	Символ	Считать	Ссылки
0	0	Нульмерная группа симметрии	$G_{0}$	1		$G_{0}^{1}$	2
1	0	Одномерные точечные группы	$G_{10}$	2		$G_{10}^{1}$	5
1	1	Одномерные дискретные группы симметрии	$G_{1}$	2		$G_{1}^{1}$	7
2	0	Двумерные точечные группы (розетки)	$G_{20}$	10		$G_{20}^{1}$	31
	1	Фризовые (полосовые) группы	$G_{21}$	7	^[38]	$G_{21}^{1}$	31	^[2]^[34]
	2	Группы обоев (самолетов)	$G_{2}$	17	^[39]^[40]	$G_{2}^{1}$	80	^[14]^[34]^[41]
3	0	Трехмерные точечные группы	$G_{30}$	32	^[42]	$G_{30}^{1}$	122	^[2]^[13]
	1	Стержневые (цилиндровые) группы	$G_{31}$	75	^[38]	$G_{31}^{1}$	394	^[43]
	2	Группы слоев (листов)	$G_{32}$	80	^[38]	$G_{32}^{1}$	528	^[44]
	3	Трехмерные космические группы	$G_{3}$	230	^[45]	$G_{3}^{1}$	1651	^[17]^[20]
4	0	Четырехмерные точечные группы	$G_{40}$	271	^[46]	$G_{40}^{1}$	1202	^[47]
	1		$G_{41}$	343	^[48]
	2		$G_{42}$	1091	^[49]
	3		$G_{43}$	1594	^[50]
	4	Четырехмерные дискретные группы симметрии	$G_{4}$	4894	^[46]	$G_{4}^{1}$	62227	^[47]

Ссылки

^ Перейти обратно: ^а ^б Леб, Ал. (1971). Цвет и симметрия , Уайли, Нью-Йорк, ISBN 9780471543350
^ Перейти обратно: ^а ^б ^с Shubnikov, A.V. (1951). Symmetry and antisymmetry of finite figures , Izv. Akad. Nauk SSSR, Moscow
^ Перейти обратно: ^а ^б Shubnikov, A.V., Belov, N.V. et. al. (1964). Colored symmetry , ed. W.T. Holser, Pergamon, New York
^ Жевей, Г. (2000). Черно-белая симметрия, магнитная симметрия, самодуальность и антипризматическая симметрия: общие математические предпосылки , Форма, 15, 57–60
^ Тавгер, Б.А. (1958). Симметрия ферромагнетиков и антиферромагнетиков , Сов. Физ. Кристалл., 3, 341-343
^ Вудс, HJ (1935). Геометрические основы выкройки часть I: симметрия точки и линии в простых фигурах и бордюрах , Журнал Текстильного института, Труды, 26, Т197-Т210
^ Маковицкий, Э. (2016). Симметрия глазами старых мастеров , де Грюйтер, Берлин, ISBN 9783110417050
^ Атодзи, А. (1965). Графические изображения магнитных пространственных групп , Американский журнал физики, 33 (3), 212–219.
^ Перейти обратно: ^а ^б Маккей, Алабама (1957). Расширения теории пространственных групп , Acta Crystallogr. 10, 543-548, дои : 10.1107/S0365110X57001966
^ Локвуд, Э.Х. и Макмиллан, Р.Х. (1978). Геометрическая симметрия , Издательство Кембриджского университета, Кембридж, 67–70 и 206–208. ISBN 9780521216852
^ Перейти обратно: ^а ^б Падманабхан Х., Манро Дж. М., Дабо И. и Гопалан В. (2020). Антисимметрия: основы и приложения , Annual Review of Materials Research, 50, 255–281, doi : 10.1146/annurev-matsci-100219-101404
^ Шубников, А.В. (1960). Обращение времени как операция антисимметрии , Докл. Физ. Кристалл., 5, 309-314
^ Перейти обратно: ^а ^б Хиш, Х. (1930). О четырехмерных группах трехмерного пространства , З. Крист., 73, 325-345.
^ Перейти обратно: ^а ^б Вебер, Л. (1929). Симметрия однородных плоских точечных систем , З. Крист., 70, 309-327, дои : 10.1524/zkri.1929.70.1.309
^ Вудс, HJ (1936). Геометрические основы выкройки часть IV: встречная симметрия в плоских выкройках , Журнал Текстильного института, Труды, 27, Т305-320
^ Ландау, Л.Д. и Лифшиц Э.М. (1951). Курс теоретической физики, вып. 5. Статистическая физика , 1-е издание, Наука, Москва.
^ Перейти обратно: ^а ^б Заморзаев, А. М. (1953). Обобщение пространственных групп , Диссертация, Ленинградский университет.
^ Заморзаев, А.М. (1957). Обобщение групп Федорова , Докл. Физ. Кристалл., 2, 10-15
^ Тавгер Б.А. и Зайцев В.М. (1956). Магнитная симметрия кристаллов , Физика ЖЭТФ, 3(3), 430-436
^ Перейти обратно: ^а ^б Belov, N.V., Neronova, N.N. and Smirnova, T.S. (1957). Shubnikov groups , Sov. Phys. Cryst., 2, 311-322
^ Заморзаев А.М., Соколов Е.И. (1957). Симметрия и различные виды антисимметрии конечных тел , Сов. Физ. Кристалл., 2, 5-9
^ Заморзаев А.М. и Палистрант А.Ф. (1980). Антисимметрия, ее обобщения и геометрические приложения , З. Крист., 151, 231-248, дои : 10.1524/zkri.1980.151.3-4.231
^ Заморзаев, А.М. (1988). Обобщенная антисимметрия , Ж. вычисл. Математика. Приложение., 16(5-8), 555-562, дои : 10.1016/0898-1221(88)90245-3
^ Хользер, WT (1961). Классификация групп симметрии , Acta Crystallogr., 14, 1236-1242, дои : 10.1107/S0365110X61003612
^ Копцик, В.А. (1968). Общий очерк развития теории симметрии и ее приложений в физической кристаллографии за последние 50 лет , Сов. Физ. Кристалл., 12(5), 667-683
^ Шварценбергер, RLE (1984). Цветовая симметрия , Бык. Лондонская математика. Соц., 16, 209-240, два : 10.1112/blms/16.3.209
^ Грюнбаум, Б. и Шепард, Г.В. (1987). Плитки и узоры , WH Freeman, Нью-Йорк, ISBN 9780716711933
^ Брюклер, Ф.М. и Стилинович, В. (2024) От фризов к квазикристаллам: история групп симметрии , 1-42, doi : 10.1007/978-3-030-19071-2_132-2 , в Шрирамане, Б. (ред.) Справочник по истории и философии математической практики , Springer, стр. 3200, ISBN 978-3-030-19071-2
^ МакГиллаври, CH (1976). Аспекты симметрии периодических рисунков М. К. Эшера , Международный союз кристаллографии, Утрехт, ISBN 9789031301843
^ Шнаттшнайдер, Д. (2004). MC Эшер: Видения симметрии , Гарри. Н. Абрамс, Нью-Йорк, ISBN 9780810943087
^ ван дер Варден, Б.Л. и Буркхардт, Дж.Дж. (1961). Цветовые группы , З. Крист, 115, 231-234, дои : 10.1524/zkri.1961.115.3-4.231
^ Опечовски В. и Гуччионе Р. (1965). Магнитная симметрия в магнетизме, том. IIA изд. Радо, Г.Т. и Зуль, Х., Academic Press, Нью-Йорк, стр. 105–165.
^ Копцик, В.А. (1966). Группы Шубникова: Справочник по симметрии и физическим свойствам кристаллических структур , Московский университет, Москва
^ Перейти обратно: ^а ^б ^с Шубников А.В., Копцик В.А. (1974). Симметрия в науке и искусстве , Plenum Press, Нью-Йорк, ISBN 9780306307591 (оригинал на русском языке, изд. Наука, Москва, 1972 г.)
^ Уошберн, Д.К. и Кроу, Д.В. (1988). Симметрии культуры: теория и практика анализа плоских узоров , Издательство Вашингтонского университета, Сиэтл, ISBN 9780295970844
^ Конвей, Дж. Х., Бургейл, Х. и Гудман-Штраусс, К. (2008). Симметрии вещей , А.К. Питерс, Уэлсли, М.А., ISBN 9781568812205
^ Бом, Дж. и Дорнбергер-Шифф, К. (1966). Номенклатура кристаллографических групп симметрии , Acta Crystallogr., 21, 1000-1007, дои : 10.1107/S0365110X66004389
^ Перейти обратно: ^а ^б ^с Копский В. и Литвин Д.Б. (ред.) (2010). Международные таблицы по кристаллографии. Том E: Субпериодические группы . Второе онлайн-издание ISBN 978-0-470-68672-0 , дои : 10.1107/97809553602060000109
^ Fedorov, E.S. (1891). "Симметрія на плоскости" [Simmetriya na ploskosti, Symmetry in the plane]. Записки Императорского С.-Петербургского Минералогического Общества (Zapiski Imperatorskova Sankt-Petersburgskova Mineralogicheskova Obshchestva, Proceedings of the Imperial St. Petersburg Mineralogical Society) . 2nd series (in Russian). 28 : 345–390.
^ Полиа, Г. (1924). Об аналогии симметрии кристалла на плоскости , З. Крист., 60, 278–282, дои : 10.1524/zkri.1924.60.1.278
^ Александр, Э. и Херрман, К. (1929). 80 двумерных пространственных групп , З. Крист. 70, 328-345, дои : 10.1524/zkri.1929.70.1.328
^ Франкенхайм, ML (1826). Кристаллономические статьи , Исида (Йена) 19, 497–515, 542–565.
^ Неронова Н. Н., Белов Н. В. (1961). Единая схема для классической и черно-белой кристаллографических групп симметрии , Сов. Физ. Кристалл., 6, 3-12
^ Литвин, Д.Б. (1999). Магнитные субпериодические группы , Acta Cryst. А, 55(5), 963–964, дои : 10.1107/S0108767399003487
^ Буркхардт, JJ (1967). К истории открытия 230 космических групп , Архив истории точных наук, 4(3), 235-246, дои : 10.1007/BF00412962
^ Перейти обратно: ^а ^б Браун Х., Бюлоу Р., Нойбузер Дж. и др. ал. (1978). Кристаллографические группы четырехмерного пространства , Уайли, Нью-Йорк, ISBN 9780471030959
^ Перейти обратно: ^а ^б Сувинье, Б. (2006). Четырехмерная магнитная точка и пространственные группы , З. Крист., 221, 77-82, дои : 10.1524/zkri.2006.221.1.77
^ Палистрант, А.Ф. и Заморзаев, А.М. (1992). Пространственные группы симметрии: к 100-летию их открытия , под ред. Вайнштейн, БК, Наука, Москва (на русском языке)
^ Заморзаев А.М., Карпова Ю.С., Лунгу А.П. и Палистрант А.Ф. (1986). P-симметрия и ее дальнейшее развитие , Штиинца, Кишинев (на русском языке)
^ Палистрант, AF (2012). Полная схема четырехмерных кристаллографических групп симметрии , Отчеты о кристаллографии , 57 (4), 471-477. дои : 10.1134/S1063774512040104

Внешние ссылки

Кроу, Д.В. (1986). Мозаичные узоры Х. Дж. Вудса , Comput. Математика. Прил., 12Б(1/2), 407-411
Шатшнайдер, Д. (1986). В черно-белом: как создавать идеально цветные симметричные узоры , Вычисл. Математика. Прил., 12Б(1/2), 673-695, дои : 10.1016/0898-1221(86)90418-9
Сенешаль, М. (1988). Цветовая симметрия , Вычисл. Математика. Приложение., 16(5-8), 545-553, дои : 10.1016/0898-1221(88)90244-1
Радович Л. и Джаблан С. (2001). Антисимметрия и модульность в декоративном искусстве , Труды мостов: математические связи в искусстве, музыке и науке, Канзас, 55–66.

[Loeb-1] Перейти обратно: ^а ^б Леб, Ал. (1971). Цвет и симметрия , Уайли, Нью-Йорк, ISBN 9780471543350

[Shubnikov1951-2] Перейти обратно: ^а ^б ^с Shubnikov, A.V. (1951). Symmetry and antisymmetry of finite figures , Izv. Akad. Nauk SSSR, Moscow

[Colored_Symmetry-3] Перейти обратно: ^а ^б Shubnikov, A.V., Belov, N.V. et. al. (1964). Colored symmetry , ed. W.T. Holser, Pergamon, New York

[4] Жевей, Г. (2000). Черно-белая симметрия, магнитная симметрия, самодуальность и антипризматическая симметрия: общие математические предпосылки , Форма, 15, 57–60

[5] Тавгер, Б.А. (1958). Симметрия ферромагнетиков и антиферромагнетиков , Сов. Физ. Кристалл., 3, 341-343

[6] Вудс, HJ (1935). Геометрические основы выкройки часть I: симметрия точки и линии в простых фигурах и бордюрах , Журнал Текстильного института, Труды, 26, Т197-Т210

[7] Маковицкий, Э. (2016). Симметрия глазами старых мастеров , де Грюйтер, Берлин, ISBN 9783110417050

[8] Атодзи, А. (1965). Графические изображения магнитных пространственных групп , Американский журнал физики, 33 (3), 212–219.

[Mackay-9] Перейти обратно: ^а ^б Маккей, Алабама (1957). Расширения теории пространственных групп , Acta Crystallogr. 10, 543-548, дои : 10.1107/S0365110X57001966

[10] Локвуд, Э.Х. и Макмиллан, Р.Х. (1978). Геометрическая симметрия , Издательство Кембриджского университета, Кембридж, 67–70 и 206–208. ISBN 9780521216852

[Padmanabhan-11] Перейти обратно: ^а ^б Падманабхан Х., Манро Дж. М., Дабо И. и Гопалан В. (2020). Антисимметрия: основы и приложения , Annual Review of Materials Research, 50, 255–281, doi : 10.1146/annurev-matsci-100219-101404

[12] Шубников, А.В. (1960). Обращение времени как операция антисимметрии , Докл. Физ. Кристалл., 5, 309-314

[Heesch-13] Перейти обратно: ^а ^б Хиш, Х. (1930). О четырехмерных группах трехмерного пространства , З. Крист., 73, 325-345.

[Weber-14] Перейти обратно: ^а ^б Вебер, Л. (1929). Симметрия однородных плоских точечных систем , З. Крист., 70, 309-327, дои : 10.1524/zkri.1929.70.1.309

[15] Вудс, HJ (1936). Геометрические основы выкройки часть IV: встречная симметрия в плоских выкройках , Журнал Текстильного института, Труды, 27, Т305-320

[16] Ландау, Л.Д. и Лифшиц Э.М. (1951). Курс теоретической физики, вып. 5. Статистическая физика , 1-е издание, Наука, Москва.

[Zamorzaev-17] Перейти обратно: ^а ^б Заморзаев, А. М. (1953). Обобщение пространственных групп , Диссертация, Ленинградский университет.

[18] Заморзаев, А.М. (1957). Обобщение групп Федорова , Докл. Физ. Кристалл., 2, 10-15

[19] Тавгер Б.А. и Зайцев В.М. (1956). Магнитная симметрия кристаллов , Физика ЖЭТФ, 3(3), 430-436

[Belov-20] Перейти обратно: ^а ^б Belov, N.V., Neronova, N.N. and Smirnova, T.S. (1957). Shubnikov groups , Sov. Phys. Cryst., 2, 311-322

[21] Заморзаев А.М., Соколов Е.И. (1957). Симметрия и различные виды антисимметрии конечных тел , Сов. Физ. Кристалл., 2, 5-9

[22] Заморзаев А.М. и Палистрант А.Ф. (1980). Антисимметрия, ее обобщения и геометрические приложения , З. Крист., 151, 231-248, дои : 10.1524/zkri.1980.151.3-4.231

[23] Заморзаев, А.М. (1988). Обобщенная антисимметрия , Ж. вычисл. Математика. Приложение., 16(5-8), 555-562, дои : 10.1016/0898-1221(88)90245-3

[24] Хользер, WT (1961). Классификация групп симметрии , Acta Crystallogr., 14, 1236-1242, дои : 10.1107/S0365110X61003612

[25] Копцик, В.А. (1968). Общий очерк развития теории симметрии и ее приложений в физической кристаллографии за последние 50 лет , Сов. Физ. Кристалл., 12(5), 667-683

[26] Шварценбергер, RLE (1984). Цветовая симметрия , Бык. Лондонская математика. Соц., 16, 209-240, два : 10.1112/blms/16.3.209

[27] Грюнбаум, Б. и Шепард, Г.В. (1987). Плитки и узоры , WH Freeman, Нью-Йорк, ISBN 9780716711933

[28] Брюклер, Ф.М. и Стилинович, В. (2024) От фризов к квазикристаллам: история групп симметрии , 1-42, doi : 10.1007/978-3-030-19071-2_132-2 , в Шрирамане, Б. (ред.) Справочник по истории и философии математической практики , Springer, стр. 3200, ISBN 978-3-030-19071-2

[29] МакГиллаври, CH (1976). Аспекты симметрии периодических рисунков М. К. Эшера , Международный союз кристаллографии, Утрехт, ISBN 9789031301843

[30] Шнаттшнайдер, Д. (2004). MC Эшер: Видения симметрии , Гарри. Н. Абрамс, Нью-Йорк, ISBN 9780810943087

[31] ван дер Варден, Б.Л. и Буркхардт, Дж.Дж. (1961). Цветовые группы , З. Крист, 115, 231-234, дои : 10.1524/zkri.1961.115.3-4.231

[32] Опечовски В. и Гуччионе Р. (1965). Магнитная симметрия в магнетизме, том. IIA изд. Радо, Г.Т. и Зуль, Х., Academic Press, Нью-Йорк, стр. 105–165.

[33] Копцик, В.А. (1966). Группы Шубникова: Справочник по симметрии и физическим свойствам кристаллических структур , Московский университет, Москва

[Shubnikov-34] Перейти обратно: ^а ^б ^с Шубников А.В., Копцик В.А. (1974). Симметрия в науке и искусстве , Plenum Press, Нью-Йорк, ISBN 9780306307591 (оригинал на русском языке, изд. Наука, Москва, 1972 г.)

[35] Уошберн, Д.К. и Кроу, Д.В. (1988). Симметрии культуры: теория и практика анализа плоских узоров , Издательство Вашингтонского университета, Сиэтл, ISBN 9780295970844

[36] Конвей, Дж. Х., Бургейл, Х. и Гудман-Штраусс, К. (2008). Симметрии вещей , А.К. Питерс, Уэлсли, М.А., ISBN 9781568812205

[37] Бом, Дж. и Дорнбергер-Шифф, К. (1966). Номенклатура кристаллографических групп симметрии , Acta Crystallogr., 21, 1000-1007, дои : 10.1107/S0365110X66004389

[volE-38] Перейти обратно: ^а ^б ^с Копский В. и Литвин Д.Б. (ред.) (2010). Международные таблицы по кристаллографии. Том E: Субпериодические группы . Второе онлайн-издание ISBN 978-0-470-68672-0 , дои : 10.1107/97809553602060000109

[39] Fedorov, E.S. (1891). "Симметрія на плоскости" [Simmetriya na ploskosti, Symmetry in the plane]. Записки Императорского С.-Петербургского Минералогического Общества (Zapiski Imperatorskova Sankt-Petersburgskova Mineralogicheskova Obshchestva, Proceedings of the Imperial St. Petersburg Mineralogical Society) . 2nd series (in Russian). 28 : 345–390.

[40] Полиа, Г. (1924). Об аналогии симметрии кристалла на плоскости , З. Крист., 60, 278–282, дои : 10.1524/zkri.1924.60.1.278

[41] Александр, Э. и Херрман, К. (1929). 80 двумерных пространственных групп , З. Крист. 70, 328-345, дои : 10.1524/zkri.1929.70.1.328

[42] Франкенхайм, ML (1826). Кристаллономические статьи , Исида (Йена) 19, 497–515, 542–565.

[Neronova-43] Неронова Н. Н., Белов Н. В. (1961). Единая схема для классической и черно-белой кристаллографических групп симметрии , Сов. Физ. Кристалл., 6, 3-12

[Litvin1999-44] Литвин, Д.Б. (1999). Магнитные субпериодические группы , Acta Cryst. А, 55(5), 963–964, дои : 10.1107/S0108767399003487

[45] Буркхардт, JJ (1967). К истории открытия 230 космических групп , Архив истории точных наук, 4(3), 235-246, дои : 10.1007/BF00412962

[Brown-46] Перейти обратно: ^а ^б Браун Х., Бюлоу Р., Нойбузер Дж. и др. ал. (1978). Кристаллографические группы четырехмерного пространства , Уайли, Нью-Йорк, ISBN 9780471030959

[Souvignier-47] Перейти обратно: ^а ^б Сувинье, Б. (2006). Четырехмерная магнитная точка и пространственные группы , З. Крист., 221, 77-82, дои : 10.1524/zkri.2006.221.1.77

[48] Палистрант, А.Ф. и Заморзаев, А.М. (1992). Пространственные группы симметрии: к 100-летию их открытия , под ред. Вайнштейн, БК, Наука, Москва (на русском языке)

[49] Заморзаев А.М., Карпова Ю.С., Лунгу А.П. и Палистрант А.Ф. (1986). P-симметрия и ее дальнейшее развитие , Штиинца, Кишинев (на русском языке)

[50] Палистрант, AF (2012). Полная схема четырехмерных кристаллографических групп симметрии , Отчеты о кристаллографии , 57 (4), 471-477. дои : 10.1134/S1063774512040104

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]

[7]

[8]

[9]

[10]

[11]

[12]

[13]

[14]

[15]

[16]

[17]

[18]

[19]

[20]

[21]

[22]

[23]

[24]

[25]

[26]

[27]

[28]

[29]

[30]

[31]

[32]

[33]

[34]

[35]

[36]

[37]

[38]

[39]

[40]

[41]

[42]

[43]

[44]

[45]

[46]

[47]

[48]

[49]

[50]