Решетка Браве

В геометрии и кристаллографии решетка Браве , названная в честь Огюста Браве ( 1850 ), ^[1] представляет собой бесконечный массив дискретных точек, порожденный набором дискретных операций перемещения , описываемых в трехмерном пространстве формулой

\mathbf {R} =n_{1}\mathbf {a} _{1}+n_{2}\mathbf {a} _{2}+n_{3}\mathbf {a} _{3},

где n _i — любые целые числа, а a _i — примитивные векторы перемещения или примитивные векторы , которые лежат в разных направлениях (не обязательно взаимно перпендикулярно) и охватывают решетку. Выбор примитивных векторов для данной решетки Браве не является единственным. Фундаментальным аспектом любой решетки Браве является то, что при любом выборе направления решетка выглядит совершенно одинаковой из каждой дискретной точки решетки, если смотреть в этом выбранном направлении.

Концепция решетки Браве используется для формального определения кристаллической структуры и ее (конечных) границ. Кристалл основой состоит из одного или нескольких атомов, называемых или мотивом , в каждой точке решетки. Основа может состоять из атомов , молекул или полимерных цепочек твердого вещества , а решетка обеспечивает расположение основы.

Две решетки Браве часто считаются эквивалентными, если они имеют изоморфные группы симметрии. В этом смысле существует 5 возможных решеток Браве в 2-мерном пространстве и 14 возможных решеток Браве в 3-мерном пространстве. 14 возможных групп симметрии решеток Браве — это 14 из 230 пространственных групп . В контексте классификации пространственных групп решетки Браве также называются классами Браве, арифметическими классами Браве или стаями Браве. ^[2]

Элементарная ячейка

В кристаллографии существует понятие элементарной ячейки, которая включает пространство между соседними точками решетки, а также любые атомы в этом пространстве. Элементарная ячейка определяется как пространство, которое при преобразовании через подмножество всех векторов, описываемых формулой $\mathbf {R} =n_{1}\mathbf {a} _{1}+n_{2}\mathbf {a} _{2}+n_{3}\mathbf {a} _{3}$ , заполняет пространство решетки без перекрытий и пустот. (То есть, пространство решетки кратно элементарной ячейке.) ^[3] В основном существует два типа элементарных ячеек: примитивные элементарные ячейки и обычные элементарные ячейки. Примитивная ячейка — это самый маленький компонент решетки (или кристалла), который при сложении вместе с помощью операций перемещения решетки воспроизводит всю решетку (или кристалл). ^[4] Обратите внимание, что переводы должны быть операциями перевода решетки, которые приводят к тому, что решетка после перевода остается неизменной. Если бы были разрешены произвольные переводы, можно было бы сделать примитивную ячейку вдвое меньше истинной и переводить, например, в два раза чаще. Другой способ определения размера примитивной ячейки, позволяющий избежать применения операций перемещения решетки, состоит в том, чтобы сказать, что примитивная ячейка — это наименьший возможный компонент решетки (или кристалла), который можно повторить для воспроизведения всей решетки (или кристалла). и содержит ровно одну точку решетки. В любом определении примитивная клетка характеризуется небольшим размером. Очевидно, что существует множество вариантов ячеек, которые могут воспроизвести всю решетку в сложенном виде (например, две половинки решетки), а требование к минимальному размеру отличает примитивную ячейку от всех других допустимых повторяющихся единиц. Если решетка или кристалл двумерны, примитивная ячейка имеет минимальную площадь; аналогично в трех измерениях примитивная ячейка имеет минимальный объем. Несмотря на это жесткое требование к минимальному размеру, не существует единственного единственного выбора примитивной элементарной ячейки. Фактически, все клетки, границы которых являются примитивными векторами трансляции, будут примитивными элементарными клетками. Тот факт, что не существует однозначного выбора примитивных векторов трансляции для данной решетки, приводит к множественности возможных примитивных элементарных ячеек. С другой стороны, обычные элементарные ячейки не обязательно являются ячейками минимального размера. Они выбраны исключительно для удобства и часто используются в иллюстративных целях. Они определены свободно.

Примитивные элементарные ячейки определяются как элементарные ячейки с наименьшим объемом для данного кристалла. (Кристалл представляет собой решетку и базис в каждой точке решетки.) Чтобы иметь наименьший объем ячейки, примитивная элементарная ячейка должна содержать (1) только одну точку решетки и (2) минимальное количество составляющих базиса (например, минимум число атомов в базисе). Для первого требования подсчет количества точек решетки в элементарной ячейке таков, что, если точка решетки является общей для m соседних элементарных ячеек вокруг этой точки решетки, то эта точка считается как 1/ m . Последнее требование необходимо, поскольку существуют кристаллы, которые можно описать более чем одним сочетанием решетки и основы. Например, кристалл, рассматриваемый как решетка с одним видом атомов, расположенным в каждой точке решетки (самая простая базисная форма), также может рассматриваться как решетка с базисом из двух атомов. Примитивной элементарной ячейкой в этом случае является элементарная ячейка, имеющая только одну точку решетки при первом способе описания кристалла, чтобы обеспечить наименьший объем элементарной ячейки.

Может быть более одного способа выбрать примитивную ячейку для данного кристалла, и каждый выбор будет иметь разную форму примитивной ячейки, но объем примитивной ячейки одинаков для каждого выбора, и каждый выбор будет иметь свойство, заключающееся в том, что -одно соответствие может быть установлено между примитивными элементарными ячейками и дискретными точками решетки над соответствующей решеткой. Все примитивные элементарные ячейки разной формы для данного кристалла по определению имеют одинаковый объем; Для данного кристалла, если n — плотность узлов решетки, обеспечивающая минимальное количество базисных составляющих, а v — объем выбранной примитивной ячейки, то nv = 1, что приводит к v = 1/ n , поэтому каждая примитивная ячейка имеет тот же объем 1/ n . ^[3]

Среди всех возможных примитивных ячеек данного кристалла очевидной примитивной клеткой может быть параллелепипед, образованный выбранным набором примитивных векторов трансляции. (Опять же, эти векторы должны составлять решетку с минимальным количеством базисных составляющих.) ^[3] То есть множество всех точек $\mathbf {r} =x_{1}\mathbf {a} _{1}+x_{2}\mathbf {a} _{2}+x_{3}\mathbf {a} _{3}$ где $0\leq x_{i}<1$ и $\mathbf {a} _{i}$ выбранный примитивный вектор. Эта примитивная ячейка не всегда демонстрирует явную симметрию данного кристалла. В этом случае часто используется обычная элементарная ячейка, легко отображающая симметрию кристалла. Обычный объем элементарной ячейки будет целым кратным объему примитивной элементарной ячейки.

Происхождение концепции

В двух измерениях любую решетку можно определить длиной двух ее примитивных векторов перемещения и углом между ними. Существует бесконечное количество возможных решеток, которые можно описать таким образом. Требуется какой-то способ классификации различных типов решеток. Один из способов сделать это — признать, что некоторым решеткам присуща симметрия. Можно наложить условия на длину примитивных векторов сдвига и на угол между ними для создания различных симметричных решеток. Сами эти симметрии делятся на различные типы, такие как точечные группы (которые включают зеркальную симметрию, инверсионную симметрию и симметрию вращения) и трансляционную симметрию. Таким образом, решетки можно разделить на категории в зависимости от того, какая точечная группа или трансляционная симметрия к ним применимы.

В двух измерениях самая основная точечная группа соответствует вращательной инвариантности относительно 2π и π или 1- и 2-кратной вращательной симметрии. Фактически это автоматически применяется ко всем двумерным решеткам и представляет собой наиболее общую точечную группу. Решетки, входящие в эту группу (технически все решетки, но условно все решетки, которые не попадают ни в одну из других точечных групп), называются наклонными решетками. Отсюда есть еще 4 комбинации групп точек с элементами поступательного движения (или, что эквивалентно, 4 типа ограничения на длины/углы примитивных векторов сдвига), которые соответствуют 4 оставшимся категориям решетки: квадратной, шестиугольной, прямоугольной и центрированной. прямоугольный. Таким образом, всего существует 5 решеток Браве в двух измерениях.

Аналогично, в трех измерениях существует 14 решеток Браве: 1 общая категория «мусорная корзина» (триклинная) и еще 13 категорий. Эти 14 типов решеток классифицируются по точечным группам на 7 систем решеток (триклинная, моноклинная, ромбическая, тетрагональная, кубическая, ромбоэдрическая и гексагональная).

В 2 измерениях

В двумерном пространстве имеется 5 решеток Браве, ^[5] сгруппированы в четыре решетчатые системы , показанные в таблице ниже. Под каждой диаграммой указан символ Пирсона для этой решетки Браве.

Примечание. На схемах элементарных ячеек в следующей таблице точки решетки изображены черными кружками, а элементарные ячейки изображены параллелограммами (которые могут быть квадратами или прямоугольниками), обведенными черным контуром. Хотя каждый из четырех углов каждого параллелограмма соединяется с точкой решетки, технически только одна из четырех точек решетки принадлежит данной элементарной ячейке, а каждая из трех других точек решетки принадлежит одной из соседних элементарных ячеек. Это можно увидеть, представив, что параллелограмм элементарной ячейки перемещается немного влево и немного вниз, оставляя при этом все черные кружки точек решетки неподвижными.

Решетчатая система	Группа точек ( обозначение Шенфлиса )	5 решеток Браве
Решетчатая система	Группа точек ( обозначение Шенфлиса )	Примитивный (р)	Центрировано (с)
Моноклиника (м)	С ₂	Косой (МП)
Орторомбический (о)	D_Д2	Прямоугольный (на)	Центрированный прямоугольный (ок)
Четырехугольный (т)	Д ₄	Квадрат (город)
Шестиугольный (h)	Д ₆	Шестиугольный (л.с.)

Элементарные ячейки задаются в соответствии с относительными длинами краев ячейки ( a и b ) и углом между ними ( θ ). Площадь элементарной ячейки можно вычислить, вычислив норму ‖ a × b ‖ , где a и b — векторы решетки. Свойства решетчатых систем приведены ниже:

Решетчатая система	Область	Осевые расстояния (длины кромок)	Осевой угол
Моноклиника	$ab\,\sin \theta$
орторомбический	$ab$		θ = 90°
четырехугольный	$a^{2}$	а = б	θ = 90°
Шестиугольный	${\frac {\sqrt {3}}{2}}\,a^{2}$	а = б	θ = 120°

В 3-х измерениях

В трехмерном пространстве имеется 14 решеток Браве. Они получаются путем объединения одной из семи решетчатых систем с одним из типов центрирования. Типы центрирования определяют расположение точек решетки в элементарной ячейке следующим образом:

Примитивный (P): точки решетки только в углах ячеек (иногда называемые простыми).
Центрировано по основанию (S: A, B или C): точки решетки на углах ячейки с одной дополнительной точкой в центре каждой грани одной пары параллельных граней ячейки (иногда называемой центрированной по концу).
По центру тела (I): точки решетки по углам ячейки, с одной дополнительной точкой в центре ячейки.
По центру грани (F): точки решетки на углах ячейки, с одной дополнительной точкой в центре каждой грани ячейки.

Не все комбинации систем решеток и типов центрирования необходимы для описания всех возможных решеток, поскольку можно показать, что некоторые из них фактически эквивалентны друг другу. Например, моноклинная решетка I может быть описана моноклинной решеткой C при другом выборе кристаллических осей. Аналогично, все A- или B-центрированные решетки могут быть описаны либо C-, либо P-центрировкой. Это уменьшает количество комбинаций до 14 обычных решеток Браве, показанных в таблице ниже. ^[6]^: 744 Под каждой диаграммой указан символ Пирсона для этой решетки Браве.

Примечание. На диаграммах элементарных ячеек в следующей таблице показаны все точки решетки на границе ячейки (углы и грани); однако не все эти точки решетки технически принадлежат данной элементарной ячейке. Это можно увидеть, представив, что элементарная ячейка слегка перемещается в отрицательном направлении каждой оси, сохраняя при этом точки решетки неподвижными. Грубо говоря, это можно представить как перемещение элементарной ячейки немного влево, немного вниз и немного за пределы экрана. Это показывает, что только одна из восьми угловых точек решетки (а именно передняя, левая и нижняя) принадлежит данной элементарной ячейке (остальные семь точек решетки принадлежат соседним элементарным ячейкам). Кроме того, только одна из двух точек решетки, показанных на верхней и нижней грани в столбце «Центрировано по основанию», принадлежит данной элементарной ячейке. Наконец, только три из шести точек решетки на гранях в столбце «Грацецентрированные» принадлежат данной элементарной ячейке.

Кристальная семья	Решетчатая система	Группа точек ( обозначение Шенфлиса )	14 решеток Браве
Кристальная семья	Решетчатая система	Группа точек ( обозначение Шенфлиса )	Примитивный (P)	По центру основания (S)	Телоцентрированное (I)	По центру лица (F)
Триклиника (а)		C_Там	АП
Моноклиника (м)		С _{2 часа}	член парламента	РС
Орторомбический (о)		Д _{2 часа}	на	ты	привет	из
Четырехугольный (т)		Д _{4 часа}	ТП		из
Шестиугольный (h)	Ромбоэдрический	Д _3д	HR
Шестиугольный (h)	Шестиугольный	Д _6ч	л.с.
Кубический (с)		Ой	КП		Там	CF

Элементарные ячейки задаются в соответствии с шестью параметрами решетки , которые представляют собой относительные длины ребер ячейки ( a , b , c ) и углы между ними ( α , β , γ ), где α — угол между b и c , β — угол между a и c , а γ — угол между a и b . Объем элементарной ячейки можно вычислить, вычислив тройное произведение a · ( b × c ) , где a , b и c — векторы решетки. Свойства решетчатых систем приведены ниже:

Кристальная семья	Решетчатая система	Объем	Осевые расстояния (длины кромок) ^[6]^: 758	Осевые углы ^[6]	Соответствующие примеры
Триклиника		$abc{\sqrt {1-\cos ^{2}\alpha -\cos ^{2}\beta -\cos ^{2}\gamma +2\cos \alpha \cos \beta \cos \gamma }}$			К ₂ Cr ₂ O ₇ , CuSO ₄ 5H ₂ O , H ₃ BO ₃
Моноклиника		$abc\,\sin \beta$		α = γ = 90°	Моноклинная сера , Na ₂ SO ₄ ·10H ₂ O , PbCrO ₃
орторомбический		$abc$		α = β = γ = 90°	Ромбическая сера , KNO ₃ , BaSO ₄
четырехугольный		$a^{2}c$	а = б	α = β = γ = 90°	Белое олово , SnO ₂ , TiO ₂ , CaSO ₄
Шестиугольный	Ромбоэдрический	$a^{3}{\sqrt {1-3\cos ^{2}\alpha +2\cos ^{3}\alpha }}$	а = б = с	а = б = с	Кальцит (CaCO ₃ ), киноварь (HgS)
Шестиугольный	Шестиугольный	${\frac {\sqrt {3}}{2}}\,a^{2}c$	а = б	α = β = 90°, γ = 120°	Графит , ZnO , CdS
Кубический		$a^{3}$	а = б = с	α = β = γ = 90°	NaCl , цинковая обманка , металлическая медь , KCl , Алмаз , Серебро

Некоторая основная информация о решетчатых системах и трехмерных решетках Браве обобщена на схеме в начале этой страницы. Семигранный многоугольник (семиугольник) и цифра 7 в центре обозначают семь решетчатых систем. Внутренние семиугольники указывают углы решетки, параметры решетки, решетки Браве и обозначения Шенфлиса для соответствующих решетчатых систем.

В 4-х измерениях

В четырех измерениях существует 64 решетки Браве. Из них 23 примитивных и 41 центрированных. Десять решеток Браве распадаются на энантиоморфные пары. ^[7]

См. также

Ссылки

^ Аройо, Моис И.; Мюллер, Ульрих; Вондраччек, Ганс (2006). «Историческое введение» . Международные таблицы по кристаллографии . А1 (1.1): 2–5. CiteSeerX 10.1.1.471.4170 . дои : 10.1107/97809553602060000537 . Архивировано из оригинала 4 июля 2013 года . Проверено 21 апреля 2008 г.
^ «Класс Браве» . Интернет-словарь кристаллографии . МУКр . Проверено 8 августа 2019 г.
^ Перейти обратно: ^а ^б ^с Эшкрофт, Нил; Мермин, Натаниэль (1976). Физика твердого тела . Издательство Колледжа Сондерса. стр. 71–72. ISBN 0030839939 .
^ Пейдун Ян (2016). «Материалы и химия твердого тела (конспекты курса)» (PDF) . Калифорнийский университет в Беркли. Хим 253.
^ Киттель, Чарльз (1996) [1953]. «Глава 1» . Введение в физику твердого тела (Седьмое изд.). Нью-Йорк: Джон Уайли и сыновья. п. 10. ISBN 978-0-471-11181-8 . Проверено 21 апреля 2008 г.
^ Перейти обратно: ^а ^б ^с Хан, Тео, изд. (2002). Международные таблицы по кристаллографии, Том A: Симметрия пространственной группы . Том. А (5-е изд.). Берлин, Нью-Йорк: Springer-Verlag . дои : 10.1107/97809553602060000100 . ISBN 978-0-7923-6590-7 .
^ Браун, Гарольд; Бюлов, Рольф; Нойбюзер, Иоахим; Вондраччек, Ганс; Зассенхаус, Ганс (1978), Кристаллографические группы четырехмерного пространства , Нью-Йорк: Wiley-Interscience [John Wiley & Sons], ISBN 978-0-471-03095-9 , МР 0484179

Дальнейшее чтение

Бралле, А. (1850). «Воспоминания о системах, образованных точками, регулярно распределенными на плоскости или в пространстве». Дж. Политехническая школа. (на французском языке). 19 :1–128. (На английском языке: Мемуары 1, Кристаллографическое общество Америки, 1949).

Внешние ссылки

Каталог решеток (Небе и Слоана)
Смит, Уолтер Фокс (2002). «Песня о решетках Браве» .

[1] Аройо, Моис И.; Мюллер, Ульрих; Вондраччек, Ганс (2006). «Историческое введение» . Международные таблицы по кристаллографии . А1 (1.1): 2–5. CiteSeerX 10.1.1.471.4170 . дои : 10.1107/97809553602060000537 . Архивировано из оригинала 4 июля 2013 года . Проверено 21 апреля 2008 г.

[2] «Класс Браве» . Интернет-словарь кристаллографии . МУКр . Проверено 8 августа 2019 г.

[:0-3] Перейти обратно: ^а ^б ^с Эшкрофт, Нил; Мермин, Натаниэль (1976). Физика твердого тела . Издательство Колледжа Сондерса. стр. 71–72. ISBN 0030839939 .

[4] Пейдун Ян (2016). «Материалы и химия твердого тела (конспекты курса)» (PDF) . Калифорнийский университет в Беркли. Хим 253.

[5] Киттель, Чарльз (1996) [1953]. «Глава 1» . Введение в физику твердого тела (Седьмое изд.). Нью-Йорк: Джон Уайли и сыновья. п. 10. ISBN 978-0-471-11181-8 . Проверено 21 апреля 2008 г.

[Hahn-6] Перейти обратно: ^а ^б ^с Хан, Тео, изд. (2002). Международные таблицы по кристаллографии, Том A: Симметрия пространственной группы . Том. А (5-е изд.). Берлин, Нью-Йорк: Springer-Verlag . дои : 10.1107/97809553602060000100 . ISBN 978-0-7923-6590-7 .

[7] Браун, Гарольд; Бюлов, Рольф; Нойбюзер, Иоахим; Вондраччек, Ганс; Зассенхаус, Ганс (1978), Кристаллографические группы четырехмерного пространства , Нью-Йорк: Wiley-Interscience [John Wiley & Sons], ISBN 978-0-471-03095-9 , МР 0484179

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]

[7]

v т и Кристаллические системы
Bravais lattice Crystallographic point group
Seven 3D systems	triclinic (anorthic) monoclinic orthorhombic tetragonal trigonal & hexagonal cubic (isometric)
Four 2D systems	oblique rectangular square hexagonal