Алмазный кубический

Полюсная фигура в стереографической проекции алмазной решетки, показывающая 3-кратную симметрию вдоль направления [111].

В кристаллографии алмаза кубическая кристаллическая структура представляет собой повторяющуюся структуру из 8 атомов, которую некоторые материалы могут принимать по мере затвердевания. Хотя первым известным примером был алмаз , другие элементы группы 14 также принимают эту структуру, включая α-олово , полупроводники кремний и германий , а также кремния и германия сплавы в любой пропорции. Существуют также кристаллы, такие как высокотемпературная форма кристобалита , которые имеют аналогичную структуру, с одним типом атомов (например, кремний в кристобалите) в положениях атомов углерода в алмазе, но с другим типом атомов (например, кремний в кристобалите). кислород) на полпути между ними (см. Категорию: Минералы в пространственной группе 227 ).

Хотя эту структуру часто называют ромбовидной решеткой , она не является решеткой в техническом смысле этого слова, используемом в математике.

Кристаллографическая структура

Кубическая структура Даймонда находится в Fd 3 m пространственной группе (пространственная группа 227), которая следует за гранецентрированной кубической решеткой Браве . Решетка описывает шаблон повторения; для кубических кристаллов алмаза эта решетка «украшена» мотивом двух тетраэдрически связанных атомов в каждой примитивной ячейке , разделенных ⁠ 1/4 ⁠ в каждом . ширины элементарной ячейки измерении ^[1] Алмазную решетку можно рассматривать как пару пересекающихся гранецентрированных кубических решеток, каждая из которых разделена ⁠ 1/4 ⁠ измерении . ширины элементарной ячейки в каждом Многие сложные полупроводники , такие как арсенид галлия , β- карбид кремния и антимонид индия , имеют аналогичную структуру цинковой обманки , где каждый атом имеет ближайших соседей непохожего элемента. Пространственная группа Цинкобленда — F 4 3m, но многие ее структурные свойства очень похожи на структуру алмаза. ^[2]

Фактор упаковки атомов кубической структуры алмаза (доля пространства, которая будет заполнена сферами, центрированными по вершинам структуры и имеющими максимально большой размер без перекрытия) равен ${\tfrac {\pi {\sqrt {3}}}{16}}\approx 0.34,$ ^[3] значительно меньше (что указывает на менее плотную структуру), чем коэффициенты упаковки для гранецентрированных и объемноцентрированных кубических решеток . ^[4] Структуры цинковой обманки имеют более высокие коэффициенты упаковки, чем 0,34, в зависимости от относительных размеров двух составляющих их атомов.

Расстояния до первого, второго, третьего, четвертого и пятого ближайших соседей в единицах постоянной кубической решетки равны ${\tfrac {\sqrt {3}}{4}},{\tfrac {\sqrt {2}}{2}},{\tfrac {\sqrt {11}}{4}},1,{\tfrac {\sqrt {19}}{4}},$ соответственно.

Математическая структура

Математически точкам кубической структуры алмаза можно задать координаты как подмножество трехмерной целочисленной решетки , используя кубическую элементарную ячейку размером четыре единицы в поперечнике. С этими координатами точки структуры имеют координаты $(x, y, z),$ удовлетворяющие уравнениям ^[5] ${\begin{aligned}x=y&=z\ ({\text{mod }}\ 2),\\x+y+z&=0{\text{ or }}1\ ({\text{mod }}\ 4).\end{aligned}}$

Есть восемь точек ( по модулю 4), которые удовлетворяют этим условиям:

(0,0,0), (0,2,2), (2,0,2), (2,2,0),

(3,3,3), (3,1,1), (1,3,1), (1,1,3)

Все остальные точки структуры могут быть получены добавлением кратных четырем координатам $x, y, z$ этих восьми точек. Соседние точки в этой структуре находятся на расстоянии ⁠ ${\sqrt {3}}$ ⁠ отдельно в целочисленной решетке; ребра ромбовидной структуры лежат вдоль диагоналей тел кубов целочисленной сетки. Эту структуру можно масштабировать до кубической элементарной ячейки, имеющей некоторое количество $единиц$ в поперечнике, путем умножения всех координат на $⁠ a / 4 ⁠$ .

Альтернативно, каждая точка кубической структуры алмаза может быть задана четырехмерными целочисленными координатами, сумма которых равна нулю или единице. Две точки являются соседними в структуре ромба тогда и только тогда, когда их четырехмерные координаты отличаются на единицу по одной координате. Общая разница в значениях координат между любыми двумя точками (их четырехмерное Манхэттенское расстояние ) дает количество ребер на кратчайшем пути между ними в ромбовидной структуре. Четыре ближайших соседа каждой точки могут быть получены в этой системе координат путем добавления по одному к каждой из четырех координат или путем вычитания одного из каждой из четырех координат, соответственно, если сумма координат равна нулю или единице. Эти четырехмерные координаты можно преобразовать в трехмерные по формуле ^[5]^[6] $(a,b,c,d)\to (a+b-c-d,\ a-b+c-d,\ -a+b+c-d).$ Поскольку структура ромба образует сохраняющее расстояние подмножество четырехмерной целочисленной решетки, она представляет собой частичный куб . ^[6]

Еще одна координация ромбовидной кубики предполагает удаление некоторых ребер из трехмерного сеточного графа. В этой координатизации, которая имеет искаженную геометрию по сравнению со стандартной ромбовидной кубической структурой, но имеет ту же топологическую структуру, вершины ромбовидной кубической структуры представлены всеми возможными точками трехмерной сетки, а края ромбовидной кубической структуры представлены подмножеством Края 3D-сетки. ^[7]

Алмазную кубику иногда называют «алмазной решеткой», но с математической точки зрения это не решетка : не существует трансляционной симметрии , которая переводит точку (0,0,0) в точку (3,3,3), например. . Однако это по-прежнему очень симметричная структура: любая инцидентная пара вершины и ребра может быть преобразована в любую другую инцидентную пару путем конгруэнции евклидова пространства . Более того, кристалл алмаза как сетка в пространстве обладает сильным изотропным свойством. ^[8] А именно, для любых двух вершин $x, y$ кристаллической сети и для любого порядка ребер, смежных с $x$ , и любого порядка ребер, смежных с $y$ , существует сохраняющее сеть сравнение, переводящее $x$ в $y$ и каждое $x$ -ребро. к аналогично упорядоченному $y$ -ребру. Другим (гипотетическим) кристаллом, обладающим этим свойством, является граф Лавеса (также называемый кристаллом К ₄ , (10,3)-а, или алмазным двойником). ^[9]

Механические свойства

Прочность на сжатие и твердость алмаза и различных других материалов, таких как нитрид бора , ^[10] (который имеет близкородственную структуру цинковой обманки ) относят к кубической структуре алмаза.

Аналогичным образом, ферменные системы, имеющие ромбовидную кубическую геометрию, обладают высокой способностью выдерживать сжатие за счет минимизации длины отдельных стоек без раскосов . ^[11] Алмазно-кубическая геометрия также рассматривалась с целью обеспечения жесткости конструкции. ^[12]^[13] хотя структуры, состоящие из скелетных треугольников , такие как октетная ферма , оказались более эффективными для этой цели.

См. также

Аллотропы углерода - материалы, состоящие только из углерода.
Кристаллография - Научное исследование кристаллических структур.
Граф Лавеса - Периодический пространственный граф
Усеченные тетраэдрические соты Триакиса - мозаика, заполняющая пространство.

Ссылки

^ Кобаши, Кодзи (2005), «2.1 Структура алмаза», Алмазные пленки: химическое осаждение из паровой фазы для ориентированного и гетероэпитаксиального роста , Elsevier, стр. 9, ISBN 978-0-08-044723-0 .
^ Виберг, Эгон; Виберг, Нильс; Холлеман, Арнольд Фредерик (2001), Неорганическая химия , Academic Press, стр. 1300, ISBN. 978-0-12-352651-9 .
^ Аскеланд, Дональд Р.; Пхуле, Прадип Прабхакар (2006), «Пример 3-15: Определение коэффициента упаковки алмазно-кубического кремния», The Science and Engineering of Materials , Cengage Learning, стр. 82, ISBN 978-0-534-55396-8 .
^ Новиков, Владимир (2003), Краткий словарь материаловедения: структура и характеристика поликристаллических материалов , CRC Press, стр. 9, ISBN 978-0-8493-0970-0 .
^ Перейти обратно: ^а ^б Надь, Бенедек; Стрэнд, Робин (2009), «Последовательности окрестностей в ромбовидной сетке - алгоритмы с четырьмя соседями», Комбинаторный анализ изображений: 13-й международный семинар, IWCIA 2009, Плайя-дель-Кармен, Мексика, 24–27 ноября 2009 г., Материалы , конспекты лекций в Информатика , вып. 5852, Springer-Verlag, стр. 109–121, Bibcode : 2009LNCS.5852..109N , doi : 10.1007/978-3-642-10210-3_9 , ISBN 978-3-642-10210-3 .
^ Перейти обратно: ^а ^б Эппштейн, Дэвид (2009), «Изометрические ромбовидные подграфы», в Толлисе, Иоаннис Г.; Патриньяни, Маурицио (ред.), Рисование графиков: 16-й Международный симпозиум, GD 2008, Ираклион, Крит, Греция, 21–24 сентября 2008 г., Переработанные статьи , Конспекты лекций по информатике, том. 5417, Springer-Verlag, стр. 384–389, arXiv : 0807.2218 , doi : 10.1007/978-3-642-00219-9_37 , ISBN 978-3-642-00219-9 , S2CID 14066610 .
^ Пархами, Б.; Квай, Дин-Минг (2001), «Единая формулировка сотовых и ромбовидных сетей», Транзакции IEEE в параллельных и распределенных системах , 12 (1): 74–80, doi : 10.1109/71.899940 .
^ Сунада, Тошикадзу (2012), Топологическая кристаллография - с точки зрения дискретного геометрического анализа - , Springer, ISBN 978-4-431-54176-9
^ Сунада, Тошиказу (2008), «Кристаллы, которые природа могла упустить из виду», Уведомления AMS , 55 : 208–215.
^ Бланк, В.; Попов, М.; Пивоваров Г.; Львова Н. и др. (1998). «Сверхтвердые и сверхтвердые фазы фуллерита С60: сравнение с алмазом по твердости и износу». Алмаз и родственные материалы 7 (2–5): 427. [1]
^ Лоример, А. «Алмазная кубическая ферма», Внутренний мир: дизайн и детали, том 121, 2013, стр. 80–81.
^ Р. Крафт. Организация строительства, США, патенты США, US3139959, 1964 г. [2]
^ Гилман, Дж. Тетраэдральная ферма, США, патенты США, US4446666, 1981 [3]

Внешние ссылки

СМИ, связанные с алмазным кубом, на Викискладе?
Программное обеспечение для построения самоизбегающих случайных блужданий на кубической решетке алмаза

[1] Кобаши, Кодзи (2005), «2.1 Структура алмаза», Алмазные пленки: химическое осаждение из паровой фазы для ориентированного и гетероэпитаксиального роста , Elsevier, стр. 9, ISBN 978-0-08-044723-0 .

[2] Виберг, Эгон; Виберг, Нильс; Холлеман, Арнольд Фредерик (2001), Неорганическая химия , Academic Press, стр. 1300, ISBN. 978-0-12-352651-9 .

[3] Аскеланд, Дональд Р.; Пхуле, Прадип Прабхакар (2006), «Пример 3-15: Определение коэффициента упаковки алмазно-кубического кремния», The Science and Engineering of Materials , Cengage Learning, стр. 82, ISBN 978-0-534-55396-8 .

[4] Новиков, Владимир (2003), Краткий словарь материаловедения: структура и характеристика поликристаллических материалов , CRC Press, стр. 9, ISBN 978-0-8493-0970-0 .

[ny09-5] Перейти обратно: ^а ^б Надь, Бенедек; Стрэнд, Робин (2009), «Последовательности окрестностей в ромбовидной сетке - алгоритмы с четырьмя соседями», Комбинаторный анализ изображений: 13-й международный семинар, IWCIA 2009, Плайя-дель-Кармен, Мексика, 24–27 ноября 2009 г., Материалы , конспекты лекций в Информатика , вып. 5852, Springer-Verlag, стр. 109–121, Bibcode : 2009LNCS.5852..109N , doi : 10.1007/978-3-642-10210-3_9 , ISBN 978-3-642-10210-3 .

[e09-6] Перейти обратно: ^а ^б Эппштейн, Дэвид (2009), «Изометрические ромбовидные подграфы», в Толлисе, Иоаннис Г.; Патриньяни, Маурицио (ред.), Рисование графиков: 16-й Международный симпозиум, GD 2008, Ираклион, Крит, Греция, 21–24 сентября 2008 г., Переработанные статьи , Конспекты лекций по информатике, том. 5417, Springer-Verlag, стр. 384–389, arXiv : 0807.2218 , doi : 10.1007/978-3-642-00219-9_37 , ISBN 978-3-642-00219-9 , S2CID 14066610 .

[pk01-7] Пархами, Б.; Квай, Дин-Минг (2001), «Единая формулировка сотовых и ромбовидных сетей», Транзакции IEEE в параллельных и распределенных системах , 12 (1): 74–80, doi : 10.1109/71.899940 .

[8] Сунада, Тошикадзу (2012), Топологическая кристаллография - с точки зрения дискретного геометрического анализа - , Springer, ISBN 978-4-431-54176-9

[9] Сунада, Тошиказу (2008), «Кристаллы, которые природа могла упустить из виду», Уведомления AMS , 55 : 208–215.

[10] Бланк, В.; Попов, М.; Пивоваров Г.; Львова Н. и др. (1998). «Сверхтвердые и сверхтвердые фазы фуллерита С60: сравнение с алмазом по твердости и износу». Алмаз и родственные материалы 7 (2–5): 427. [1]

[11] Лоример, А. «Алмазная кубическая ферма», Внутренний мир: дизайн и детали, том 121, 2013, стр. 80–81.

[12] Р. Крафт. Организация строительства, США, патенты США, US3139959, 1964 г. [2]

[13] Гилман, Дж. Тетраэдральная ферма, США, патенты США, US4446666, 1981 [3]

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]

[7]

[8]

[9]

[10]

[11]

[12]

[13]