Полюсная фигура

Полюсная фигура — это графическое изображение ориентации объектов в пространстве. Например, полюсные фигуры в виде стереографических проекций используются для представления распределения ориентации плоскостей кристаллографической решетки в кристаллографии и текстурном анализе в материаловедении .

Определение

Рассмотрим объект с прикрепленной к нему основой . Ориентацию объекта в пространстве можно определить тремя вращениями для преобразования эталонной основы пространства в основу, прикрепленную к объекту; это углы Эйлера .

Если мы рассматриваем плоскость объекта, ориентацию плоскости можно задать по ее нормали . Если мы нарисуем сферу с центром на плоскости, то

пересечение ; сферы и плоскости представляет собой круг, называемый «следом»
пересечение нормальной линии и сферы является полюсом .

Одного полюса недостаточно, чтобы полностью определить ориентацию объекта: полюс останется прежним, если мы применим вращение вокруг нормальной линии. Ориентация объекта полностью определяется использованием полюсов двух плоскостей, не параллельных.

Стереографическая проекция

Верхняя сфера проецируется на плоскость с помощью стереографической проекции .

Рассмотрим плоскость ( x , y ) эталонного базиса; его след на сфере — это экватор сферы. соединяющую Южный полюс с полюсом интереса P. Проводим линию ,

Можно выбрать любую плоскость проекции, параллельную экватору (кроме Южного полюса): фигуры будут пропорциональны (свойство подобных треугольников ). Обычно плоскость проекции располагают на Северном полюсе.

Определение: Полюсная фигура — это стереографическая проекция полюсов, используемая для представления ориентации объекта в пространстве.

Геометрия в полюсной фигуре

Полюсная фигура ромбовидной решетки в направлении 111 .

Сеть Вульфа используется для считывания полюсной фигуры.

Стереографическая проекция следа представляет собой дугу. Сеть Вульфа представляет собой дуги, соответствующие плоскостям, которые имеют общую ось в плоскости ( x , y ).

Если полюс и след плоскости изображены на одной схеме, то

поворачиваем сеть Вульфа так, чтобы след соответствовал дуге сети;
полюс расположен на дуге, а угловое расстояние между этой дугой и следом равно 90°.

Рассмотрим ось Δ и плоскости, принадлежащие зоне этой оси, т. е. Δ находится во всех этих плоскостях, пересечение всех плоскостей есть Δ. Если мы назовем P плоскостью, перпендикулярной Δ, то все нормали к плоскостям принадлежат P . Таким образом, полюса плоскостей, принадлежащих одной зоне, лежат на следе плоскости Р, перпендикулярной оси.

Приложение

Плоскости кристалла

Структуру кристалла часто изображают полюсной фигурой его кристаллографических плоскостей.

В качестве экватора выбирается плоскость, обычно плоскость (001) или (011); ее полюс — центр фигуры. Затем на рисунке размещаются полюса других плоскостей с индексами Миллера для каждого полюса. Полюсы, принадлежащие зоне, иногда связываются с соответствующей трассой.

Текстура

Полюсные фигуры, демонстрирующие кристаллографическую текстуру гамма-TiAl в альфа2-гамма-сплаве, измеренную с помощью рентгеновских лучей высокой энергии. ^[1]

« Текстура » в контексте материаловедения означает «кристаллографическую предпочтительную ориентацию». Если поликристаллический материал (то есть материал, состоящий из множества различных кристаллов или зерен, как большинство металлов, керамики или минералов) имеет «текстуру», то это означает, что оси кристаллов распределены не случайным образом (или, точнее, равномерно).

Чтобы нарисовать полюсную фигуру , нужно выбрать конкретное направление кристалла (например, нормаль к плоскости (100)) и затем построить это направление, называемое полюсом, для каждого кристалла относительно набора направлений в материале. Например, в прокатанном металле направлениями в материале являются направление прокатки, поперечное направление и нормаль к плоскости прокатки.

Если задействовано большое количество кристаллов, то обычно строят контурный график , а не строят отдельные полюса.

Для полного определения текстуры требуется построить график двух полюсных фигур, соответствующих плоскостям, которые не параллельны и не имеют одинакового угла дифракции (следовательно, разных межплоскостных расстояний).

Дифракционная картина

Рассмотрим дифракционную картину, полученную на монокристалле в плоскости, перпендикулярной лучу, например дифракцию рентгеновских лучей методом Лауэ или дифракцию электронов в просвечивающем электронном микроскопе . На дифракционной фигуре видны пятна.

Положение пятен определяется законом Брэгга . Это дает ориентацию самолета.

Если известны параметры оптики (особенно расстояние между кристаллом и фотопленкой), то по дифракционной диаграмме можно построить стереографическую диаграмму, т. е. преобразовать дифракционную картину в полюсную фигуру. ^{[ нужна ссылка ]}

Ссылки

^ Лисс К.Д., Бартельс А., Шрейер А., Клеменс Х. (2003). «Рентгеновские лучи высокой энергии: инструмент для передовых объемных исследований в области материаловедения и физики» . Текстуры Микроструктура . 35 (3/4): 219–52. дои : 10.1080/07303300310001634952 .

Кокс, У. Ф., К. Томе и Х.-Р. Венк, Эдс. (1998). Текстура и анизотропия, Издательство Кембриджского университета, Кембридж, Великобритания, ISBN 0-521-79420-X .
Вэл Рэндл и Олаф Энглер (2000), Макротекстура, микротекстура и отображение ориентации, Gordon & Breach, Амстердам, Голландия, ISBN 90-5699-224-4 .
Адам Моравец, Ориентации и вращения (2003), Springer, ISBN 3-540-40734-0 .
Петр Озга, Полюсные фигуры: правила регистрации и построения графиков, http://www.labosoft.com.pl/pf_convention.pdf

Внешние ссылки

Сеть Вульфа с шагом 2° ( PDF файл, 1р, 272КБ)
http://www.texture.de
http://mimp.materials.cmu.edu
MTEX — набор инструментов MATLAB для анализа текстур
Пошаговая анимированная конструкция Полюсной фигуры от aluMATTER
StereoPol — построение графиков и индексирование

[Liss-1] Лисс К.Д., Бартельс А., Шрейер А., Клеменс Х. (2003). «Рентгеновские лучи высокой энергии: инструмент для передовых объемных исследований в области материаловедения и физики» . Текстуры Микроструктура . 35 (3/4): 219–52. дои : 10.1080/07303300310001634952 .

[1]