Дробные координаты

В кристаллографии дробная система координат (кристаллическая система координат) — это система координат , в которой базисные векторы, используемые для описания пространства, представляют собой векторы решетки кристаллической (периодической) структуры. Выбор начала координат и базиса определяет элементарную ячейку, параллелоэдр (т. е. обобщение параллелограмма (2D) или параллелепипеда (3D) в более высоких измерениях), определяемый базисными векторами решетки. $\mathbf {a} _{1},\mathbf {a} _{2},\dots ,\mathbf {a} _{d}$ где $d$ это размерность пространства. Эти базисные векторы описываются параметрами решетки (константами решетки), состоящими из длин базисных векторов решетки. $a_{1},a_{2},\dots ,a_{d}$ и углы между ними $\alpha _{1},\alpha _{2},\dots ,\alpha _{\frac {d(d-1)}{2}}$ .

В большинстве случаев кристаллографии речь идет о двух- или трехмерном пространстве. В трехмерном случае базисные векторы $\mathbf {a} _{1},\mathbf {a} _{2},\mathbf {a} _{3}$ обычно отображаются как $\mathbf {a} ,\mathbf {b} ,\mathbf {c}$ их длины обозначаются $a,b,c$ соответственно, а углы, обозначаемые $\alpha ,\beta ,\gamma$ , где условно, $\alpha$ это угол между $\mathbf {b}$ и $\mathbf {c}$ , $\beta$ это угол между $\mathbf {c}$ и $\mathbf {a}$ , и $\gamma$ это угол между $\mathbf {a}$ и $\mathbf {b}$ .

Кристаллическая структура

Кристаллическая структура определяется как пространственное распределение атомов внутри кристалла, обычно моделируемое идеей бесконечной кристаллической структуры . Бесконечный кристаллический узор относится к бесконечному трехмерному периодическому массиву, который соответствует кристаллу, в котором длины периодичностей массива не могут быть сделаны сколь угодно малыми. Геометрический сдвиг, при котором кристаллическая структура совпадает сама с собой, называется трансляцией (трансляцией) симметрии кристаллической структуры. Вектор, связанный с этим сдвигом, называется вектором трансляции. $\mathbf {t}$ . Поскольку кристаллическая структура является периодической, все целочисленные линейные комбинации векторов трансляции также сами являются векторами трансляции. ^[1]

$\mathbf {t} =c_{1}\mathbf {t} _{1}+c_{2}\mathbf {t} _{2}{\text{ where }}c_{1},c_{2}\in \mathbb {Z}$

Решетка

Векторная ) решетка (решетка $\mathbf {T}$ определяется как бесконечное множество, состоящее из всех векторов трансляции кристаллического узора. Каждый из векторов векторной решетки называется векторами решетки . Из векторной решетки можно построить точечную решетку . Это делается путем выбора источника $X_{0}$ с вектором положения $\mathbf {x} _{0}$ . Конечные точки $X_{i}$ каждого из векторов $\mathbf {x} _{i}=\mathbf {x} _{0}+\mathbf {t} _{i}$ составить точечную решетку $X_{0}$ и $\mathbf {T}$ . Каждая точка в решетке точек имеет периодичность, т. е. каждая точка идентична и имеет одинаковое окружение. Для данной векторной решетки существует бесконечное число точечных решеток в любом произвольном начале координат. $X_{0}$ можно выбрать и соединить с векторами решетки векторной решетки. Точки или частицы, совпадающие друг с другом посредством перевода, называются трансляционным эквивалентом . ^[1]

Системы координат

Общие системы координат

Обычно при геометрическом описании пространства используется система координат , состоящая из выбора начала и основы координат $d$ линейно независимые некомпланарные базисные векторы $\mathbf {a} _{1},\mathbf {a} _{2},\dots ,\mathbf {a} _{d}$ , где $d$ – это размерность описываемого пространства. Применительно к этой системе координат каждая точка пространства может быть задана формулой $d$ координаты (координата $d$ -кортеж). Начало координат имеет координаты $(0,0,\dots ,0)$ и произвольная точка имеет координаты $(x_{1},x_{2},...,x_{d})$ . Вектор положения ${\vec {OP}}$ тогда,

${\vec {OP}}=\mathbf {x} =\sum _{i=1}^{d}x_{i}\mathbf {a} _{i}$

В $d$ -размерности, длины базисных векторов обозначаются $a_{1},a_{2},\dots ,a_{d}$ и углы между ними $\alpha _{1},\alpha _{2},\dots ,\alpha _{\frac {d(d-1)}{2}}$ . Однако в большинстве случаев кристаллографии используется двух- или трехмерное пространство, в котором базисные векторы $\mathbf {a} _{1},\mathbf {a} _{2},\mathbf {a} _{3}$ обычно отображаются как $\mathbf {a} ,\mathbf {b} ,\mathbf {c}$ их длины и углы обозначаются $a,b,c$ и $\alpha ,\beta ,\gamma$ соответственно.

Декартова система координат

Широко используемой системой координат является декартова система координат , состоящая из ортонормированных базисных векторов. Это означает, что

$a_{1}=|\mathbf {a} _{1}|=a_{2}=|\mathbf {a} _{2}|=\dots =a_{d}=|\mathbf {a} _{d}|=1$ и $\alpha _{1}=\alpha _{2}=\dots =\alpha _{\frac {d(d-1)}{2}}=90^{\circ }$

Однако при описании объектов с кристаллической или периодической структурой декартова система координат часто не самая полезная, поскольку она не часто отражает симметрию решетки самым простым способом. ^[1]

Дробная (кристаллическая) система координат

В кристаллографии дробная система координат используется для того, чтобы лучше отразить симметрию основной решетки кристаллического узора (или любого другого периодического узора в пространстве). В дробной системе координат базисные векторы системы координат выбираются в качестве векторов решетки, и тогда базис называется кристаллографическим базисом (или базисом решетки ).

В базисе решетки любой вектор решетки $\mathbf {t}$ может быть представлено как,

$\mathbf {t} =\sum _{i=1}^{d}c_{i}\mathbf {a} _{i}{\text{ where }}c_{i}\in \mathbb {Q}$

Существует бесконечное количество решетчатых оснований кристаллического узора. Однако их можно выбрать таким образом, чтобы получить простейшее описание узора. Эти основания используются в Международных таблицах кристаллографии, том А, и называются обычными основаниями . Решётчатая основа $\mathbf {a} _{1},\mathbf {a} _{2},...,\mathbf {a} _{d}$ называется примитивным , если базисные векторы являются векторами решетки, а все векторы решетки $\mathbf {t}$ может быть выражено как,

$\mathbf {t} =\sum _{i=1}^{d}c_{i}\mathbf {a} _{i}{\text{ where }}c_{i}\in \mathbb {Z}$

Однако традиционная основа кристаллического узора не всегда выбирается примитивной. Вместо этого он выбирается таким образом, чтобы количество ортогональных базисных векторов было максимальным. Это приводит к тому, что некоторые коэффициенты приведенных выше уравнений являются дробными. Решетка, в которой условный базис примитивен, называется примитивной решеткой , а решетка с непримитивным условным базисом называется центрированной решеткой .

Выбор начала координат и базиса подразумевает выбор элементарной ячейки , которую в дальнейшем можно использовать для описания кристаллической структуры. Элементарная ячейка определяется как параллелоэдр (т. е. обобщение параллелограмма (2D) или параллелепипеда (3D) в более высоких измерениях), в котором координаты всех точек таковы, что: $0\leq x_{1},x_{2},\dots ,x_{d}<1$ .

Кроме того, точки за пределами элементарной ячейки могут быть преобразованы внутри элементарной ячейки посредством стандартизации , добавления или вычитания целых чисел к координатам точек, чтобы обеспечить $0\leq x_{1},x_{2},\dots ,x_{d}<1$ . В дробной системе координат длины базисных векторов $\mathbf {a} _{1},\mathbf {a} _{2},...,\mathbf {a} _{d}$ и углы между ними $\alpha _{1},\alpha _{2},\dots ,\alpha _{\frac {d(d-1)}{2}}$ называются параметрами решетки (постоянными решетки). В двух- и трехмерном измерениях они соответствуют длинам и углам между краями элементарной ячейки. ^[1]

Дробные координаты точки в пространстве $\rho =(\rho _{x_{1}},\rho _{x_{2}},\dots ,\rho _{x_{d}})$ в терминах базисных векторов решетки определяется как:

$\rho =\rho _{x_{1}}\mathbf {a} _{1}+\rho _{x_{2}}\mathbf {a} _{2}+\dots +\rho _{x_{d}}\mathbf {a} _{d}{\text{ where }}\rho \in [0,1)$

Расчеты с использованием элементарной ячейки

Общие преобразования между дробными и декартовыми координатами

Три измерения

Связь между дробными и декартовыми координатами можно описать матричным преобразованием $\mathbf {r} =\mathbf {A} {\boldsymbol {\rho }}$ : ^[2]

${\begin{pmatrix}r_{x_{1}}\\r_{x_{2}}\\r_{x_{3}}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}a_{1}\sin(\alpha _{2}){\sqrt {1-(\cot(\alpha _{1})\cot(\alpha _{2})-\csc(\alpha _{1})\csc(\alpha _{2})\cos(\alpha _{3}))^{2}}}&0&0\\a_{1}\csc(\alpha _{1})\cos(\alpha _{3})-a_{1}\cot(\alpha _{1})\cos(\alpha _{2})&a_{2}\sin(\alpha _{1})&0\\a_{1}\cos(\alpha _{2})&a_{2}\cos(\alpha _{1})&a_{3}\\\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}\rho _{x_{1}}\\\rho _{x_{2}}\\\rho _{x_{3}}\end{pmatrix}}$

Аналогичным образом, декартовы координаты можно преобразовать обратно в дробные координаты с помощью матричного преобразования. ${\boldsymbol {\rho }}=\mathbf {A} ^{-1}\mathbf {r}$ : ^[2]

${\begin{pmatrix}\rho _{x_{1}}\\\rho _{x_{2}}\\\rho _{x_{3}}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}{\frac {\csc(\alpha _{2})}{a_{1}{\sqrt {1-(\cot(\alpha _{1})\cot(\alpha _{2})-\csc(\alpha _{1})\csc(\alpha _{2})\cos(\alpha _{3}))^{2}}}}}&0&0\\{\frac {\csc ^{2}(\alpha _{1})\csc(\alpha _{2})(\cos(\alpha _{1})\cos(\alpha _{2})-\cos(\alpha _{3}))}{a_{2}{\sqrt {1-(\cot(\alpha _{1})\cot(\alpha _{2})-\csc(\alpha _{1})\csc(\alpha _{2})\cos(\alpha _{3}))^{2}}}}}&{\frac {\csc(\alpha _{1})}{a_{2}}}&0\\{\frac {\csc(\alpha )(\cot(\alpha _{1})\csc(\alpha _{2})\cos(\alpha _{3})-\csc(\alpha _{1})\cot(\alpha _{2}))}{a_{3}{\sqrt {1-(\cot(\alpha _{1})\cot(\alpha _{2})-\csc(\alpha _{1})\csc(\alpha _{2})\cos(\alpha _{3}))^{2}}}}}&-{\frac {\cot(\alpha _{1})}{a_{3}}}&{\frac {1}{a_{3}}}\\\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}r_{x_{1}}\\r_{x_{2}}\\r_{x_{3}}\end{pmatrix}}$

Преобразования с использованием тензора ячеек

Другой распространенный метод преобразования дробных и декартовых координат включает использование тензора ячеек. $\mathbf {h}$ который содержит каждый из базисных векторов пространства, выраженный в декартовых координатах .

Два измерения

Тензор ячейки

В декартовых координатах два базисных вектора представлены $2\times 2$ тензор ячеек $\mathbf {h}$ : ^[3]

$\mathbf {h} ={\begin{pmatrix}\mathbf {a} _{1}&\mathbf {a} _{2}\end{pmatrix}}^{\operatorname {T} }={\begin{pmatrix}a_{1,x_{1}}&a_{1,x_{2}}\\a_{2,x_{1}}&a_{2,x_{2}}\end{pmatrix}}$

Площадь элементарной ячейки , $A$ , определяется определителем матрицы ячейки :

$A=\det(\mathbf {h} )=a_{1,x_{1}}a_{2,x_{2}}-a_{1,x_{2}}a_{2,x_{2}}$

В частном случае квадратной или прямоугольной элементарной ячейки матрица является диагональной, и мы имеем следующее:

$A=\det(\mathbf {h} )=a_{1,x_{1}}a_{2,x_{2}}$

Связь между дробными и декартовыми координатами

Связь между дробными и декартовыми координатами можно описать матричным преобразованием $\mathbf {r} =\mathbf {h} {\boldsymbol {\rho }}$ : ^[3]

${\begin{pmatrix}r_{x_{1}}\\r_{x_{2}}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}a_{1,x_{1}}&a_{1,x_{2}}\\a_{2,x_{1}}&a_{2,x_{2}}\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}\rho _{x_{1}}\\\rho _{x_{2}}\end{pmatrix}}$

Аналогичным образом, декартовы координаты можно преобразовать обратно в дробные координаты с помощью матричного преобразования. ${\boldsymbol {\rho }}=\mathbf {h} ^{-1}\mathbf {r}$ : ^[3]

${\begin{pmatrix}\rho _{x_{1}}\\\rho _{x_{2}}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}a_{1,x_{1}}&a_{1,x_{2}}\\a_{2,x_{1}}&a_{2,x_{2}}\end{pmatrix}}^{-1}{\begin{pmatrix}r_{x_{1}}\\r_{x_{2}}\end{pmatrix}}$

Три измерения

Тензор ячейки

В декартовых координатах три базисных вектора представлены $3\times 3$ тензор ячеек $\mathbf {h}$ : ^[3]

$\mathbf {h} ={\begin{pmatrix}\mathbf {a} _{1}&\mathbf {a} _{2}&\mathbf {a} _{3}\end{pmatrix}}^{\operatorname {T} }={\begin{pmatrix}a_{1,x_{1}}&a_{1,x_{2}}&a_{1,x_{3}}\\a_{2,x_{1}}&a_{2,x_{2}}&a_{2,x_{3}}\\a_{3,x_{1}}&a_{3,x_{2}}&a_{3,x_{3}}\end{pmatrix}}$

Объем элементарной ячейки , $V$ , определяется определителем тензора ячейки :

$V=\det(\mathbf {h} )=a_{1,x_{1}}(a_{2,x_{2}}a_{3,x_{3}}-a_{2,x_{3}}a_{3,x_{2}})-a_{1,x_{2}}(a_{2,x_{1}}a_{3,x_{3}}-a_{2,x_{3}}a_{3,x_{1}})-a_{1,x_{3}}(a_{2,x_{1}}a_{3,x_{2}}-a_{2,x_{2}}a_{3,x_{1}})$

В частном случае кубической, тетрагональной или ромбической ячейки матрица является диагональной, и мы имеем следующее:

$V=\det(\mathbf {h} )=a_{1,x_{1}}a_{2,x_{2}}a_{3,x_{3}}$

Связь между дробными и декартовыми координатами

Связь между дробными и декартовыми координатами можно описать матричным преобразованием $\mathbf {r} =\mathbf {h} {\boldsymbol {\rho }}$ : ^[3]

${\begin{pmatrix}r_{x_{1}}\\r_{x_{2}}\\r_{x_{3}}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}a_{1,x_{1}}&a_{1,x_{2}}&a_{1,x_{3}}\\a_{2,x_{1}}&a_{2,x_{2}}&a_{2,x_{3}}\\a_{d,x_{1}}&a_{d,x_{2}}&a_{d,x_{d}}\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}\rho _{x_{1}}\\\rho _{x_{2}}\\\rho _{x_{3}}\end{pmatrix}}$

Аналогичным образом, декартовы координаты можно преобразовать обратно в дробные координаты с помощью матричного преобразования. ${\boldsymbol {\rho }}=\mathbf {h} ^{-1}\mathbf {r}$ : ^[3]

${\begin{pmatrix}\rho _{x_{1}}\\\rho _{x_{2}}\\\rho _{x_{3}}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}a_{1,x_{1}}&a_{1,x_{2}}&a_{1,x_{3}}\\a_{2,x_{1}}&a_{2,x_{2}}&a_{2,x_{3}}\\a_{d,x_{1}}&a_{d,x_{2}}&a_{d,x_{d}}\end{pmatrix}}^{-1}{\begin{pmatrix}r_{x_{1}}\\r_{x_{2}}\\r_{x_{3}}\end{pmatrix}}$

Произвольное количество измерений

Тензор ячейки

В координатах декартовых $d$ базисные векторы представлены $d\times d$ тензор ячеек $\mathbf {h}$ : ^[3]

$\mathbf {h} ={\begin{pmatrix}\mathbf {a} _{1}&\mathbf {a} _{2}&\dots &\mathbf {a} _{d}\end{pmatrix}}^{\operatorname {T} }={\begin{pmatrix}a_{1,x_{1}}&a_{1,x_{2}}&\dots &a_{1,x_{d}}\\a_{2,x_{1}}&a_{2,x_{2}}&\dots &a_{2,x_{d}}\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\a_{d,x_{1}}&a_{d,x_{2}}&\dots &a_{d,x_{d}}\end{pmatrix}}$

Гиперобъем элементарной ячейки , $V$ , определяется определителем тензора ячейки :

$V=\det(\mathbf {h} )$

Связь между дробными и декартовыми координатами

Связь между дробными и декартовыми координатами можно описать матричным преобразованием $\mathbf {r} =\mathbf {h} {\boldsymbol {\rho }}$ : ^[3]

${\begin{pmatrix}r_{x_{1}}\\r_{x_{2}}\\\vdots \\r_{x_{d}}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}a_{1,x_{1}}&a_{1,x_{2}}&\dots &a_{1,x_{d}}\\a_{2,x_{1}}&a_{2,x_{2}}&\dots &a_{2,x_{d}}\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\a_{d,x_{1}}&a_{d,x_{2}}&\dots &a_{d,x_{d}}\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}\rho _{x_{1}}\\\rho _{x_{2}}\\\vdots \\\rho _{x_{d}}\end{pmatrix}}$

Аналогичным образом, декартовы координаты можно преобразовать обратно в дробные координаты с помощью преобразования ${\boldsymbol {\rho }}=\mathbf {h} ^{-1}\mathbf {r}$ : ^[3]

${\begin{pmatrix}\rho _{x_{1}}\\\rho _{x_{2}}\\\vdots \\\rho _{x_{d}}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}a_{1,x_{1}}&a_{1,x_{2}}&\dots &a_{1,x_{d}}\\a_{2,x_{1}}&a_{2,x_{2}}&\dots &a_{2,x_{d}}\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\a_{d,x_{1}}&a_{d,x_{2}}&\dots &a_{d,x_{d}}\end{pmatrix}}^{-1}{\begin{pmatrix}r_{x_{1}}\\r_{x_{2}}\\\vdots \\r_{x_{d}}\end{pmatrix}}$

Определение свойств ячейки в двух и трех измерениях с помощью метрического тензора

Метрический тензор $\mathbf {G}$ иногда используется для расчетов с использованием элементарной ячейки и определяется (в матричной форме) как: ^[1]

В двух измерениях,

$\mathbf {G} ={\begin{pmatrix}g_{11}&g_{12}\\g_{21}&g_{22}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}\mathbf {a} _{1}\cdot \mathbf {a} _{1}&\mathbf {a} _{1}\cdot \mathbf {a} _{2}\\\mathbf {a} _{2}\cdot \mathbf {a} _{1}&\mathbf {a} _{2}\cdot \mathbf {a} _{2}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}a_{1}^{2}&a_{1}a_{2}\cos(\alpha _{1})\\a_{1}a_{2}\cos(\alpha _{1})&a_{2}^{2}\end{pmatrix}}$

В трёх измерениях,

$\mathbf {G} ={\begin{pmatrix}g_{11}&g_{12}&g_{13}\\g_{21}&g_{22}&g_{23}\\g_{31}&g_{32}&g_{33}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}\mathbf {a} _{1}\cdot \mathbf {a} _{1}&\mathbf {a} _{1}\cdot \mathbf {a} _{2}&\mathbf {a} _{1}\cdot \mathbf {a} _{3}\\\mathbf {a} _{2}\cdot \mathbf {a} _{1}&\mathbf {a} _{2}\cdot \mathbf {a} _{2}&\mathbf {a} _{2}\cdot \mathbf {a} _{3}\\\mathbf {a} _{3}\cdot \mathbf {a} _{1}&\mathbf {a} _{3}\cdot \mathbf {a} _{2}&\mathbf {a} _{3}\cdot \mathbf {a} _{3}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}a_{1}^{2}&a_{1}a_{2}\cos(\alpha _{3})&a_{1}a_{3}\cos(\alpha _{2})\\a_{1}a_{2}\cos(\alpha _{3})&a_{2}^{2}&a_{2}a_{3}\cos(\alpha _{1})\\a_{1}a_{3}\cos(\alpha _{2})&a_{2}a_{3}\cos(\alpha _{1})&a_{3}^{2}\end{pmatrix}}$

Расстояние между двумя точками $Q$ и $R$ в элементарной ячейке можно определить из соотношения: ^[1]

$d_{qr}^{2}=\sum _{i,j}g_{ij}(r_{i}-q_{i})(r_{j}-q_{j})$

Расстояние от начала элементарной ячейки до точки $Q$ внутри элементарной ячейки можно определить из соотношения: ^[1]

$OQ=r_{q};r_{q}^{2}=\sum _{i,j}g_{ij}q_{i}q_{j}$

Угол, образованный тремя точками $Q$ , $P$ (вершина) и $R$ внутри элементарной ячейки можно определить из соотношения: ^[1]

$\cos(QPR)=(r_{pq})^{-1}(r_{pr})^{-1}\sum _{i,j}g_{ij}(q_{i}-p_{i})(r_{j}-p_{j})$

Объем элементарной ячейки, $V$ можно определить из соотношения: ^[1]

$V^{2}=\det(\mathbf {G} )$

Ссылки

^ Jump up to: ^а ^б ^с ^д ^и ^ж ^г ^час ^я Мюллер, Ульрих, 6 июля (2013 г.). Соотношения симметрии между кристаллическими структурами: приложения теории кристаллографических групп в кристаллохимии . Оксфорд: Издательство Оксфордского университета. ISBN 978-0-19-164879-3 . OCLC 850179696 . {{cite book}}: CS1 maint: несколько имен: список авторов ( ссылка ) CS1 maint: числовые имена: список авторов ( ссылка )
^ Jump up to: ^а ^б Маккай, Дункан (1986). Основы кристаллографии . Кристин Маккай. Оксфорд: Блэквелл Сайентифик. ISBN 0-632-01566-7 . ОСЛК 14131056 .
^ Jump up to: ^а ^б ^с ^д ^и ^ж ^г ^час ^я Алави, Саман (2020). Основы и практика молекулярного моделирования . Wiley-VCH (1-е изд.). Вайнхайм. ISBN 978-3-527-34105-4 . OCLC 1128103696 . {{cite book}}: CS1 maint: отсутствует местоположение издателя ( ссылка )

[:1-1] Jump up to: ^а ^б ^с ^д ^и ^ж ^г ^час ^я Мюллер, Ульрих, 6 июля (2013 г.). Соотношения симметрии между кристаллическими структурами: приложения теории кристаллографических групп в кристаллохимии . Оксфорд: Издательство Оксфордского университета. ISBN 978-0-19-164879-3 . OCLC 850179696 . {{cite book}}: CS1 maint: несколько имен: список авторов ( ссылка ) CS1 maint: числовые имена: список авторов ( ссылка )

[:2-2] Jump up to: ^а ^б Маккай, Дункан (1986). Основы кристаллографии . Кристин Маккай. Оксфорд: Блэквелл Сайентифик. ISBN 0-632-01566-7 . ОСЛК 14131056 .

[:0-3] Jump up to: ^а ^б ^с ^д ^и ^ж ^г ^час ^я Алави, Саман (2020). Основы и практика молекулярного моделирования . Wiley-VCH (1-е изд.). Вайнхайм. ISBN 978-3-527-34105-4 . OCLC 1128103696 . {{cite book}}: CS1 maint: отсутствует местоположение издателя ( ссылка )

[1]

[2]

[3]