Квантовая группа

В математике и теоретической физике термин «квантовая группа» обозначает один из нескольких видов некоммутативных алгебр с дополнительной структурой. К ним относятся квантовые группы типа Дринфельда-Джимбо (которые являются квазитреугольными алгебрами Хопфа ), компактные матричные квантовые группы (которые являются структурами на сепарабельных C*-алгебрах с единицей ) и квантовые группы с двойным произведением. Несмотря на свое название, они сами по себе не имеют естественной групповой структуры, хотя в некотором смысле они «близки» к группе.

Термин «квантовая группа» впервые появился в теории квантовых интегрируемых систем , которая затем была формализована Владимиром Дринфельдом и Мичио Джимбо как особый класс алгебры Хопфа . Тот же термин также используется для других алгебр Хопфа, которые деформируют классические группы Ли или алгебры Ли или близки к ним , например, класс квантовых групп «двойного произведения», введенный Шаном Маджидом вскоре после работы Дринфельда и Джимбо.

В подходе Дринфельда квантовые группы возникают как алгебры Хопфа, зависящие от вспомогательного параметра q или h , которые становятся универсальными обертывающими алгебрами некоторой алгебры Ли, часто полупростой или аффинной , когда q = 1 или h = 0. Тесно связаны некоторые двойственные объекты. , также алгебры Хопфа и также называемые квантовыми группами, деформирующие алгебру функций на соответствующей полупростой алгебраической группе или компактной группе Ли .

Интуитивное значение

Открытие квантовых групп было весьма неожиданным, поскольку давно было известно, что компактные группы и полупростые алгебры Ли являются «жесткими» объектами, иными словами, они не могут быть «деформированы». Одна из идей, лежащих в основе квантовых групп, заключается в том, что если мы рассмотрим структуру, которая в некотором смысле эквивалентна, но больше, а именно групповую алгебру или универсальную обертывающую алгебру , то групповая алгебра или обертывающая алгебра могут быть «деформированы», хотя деформация будет больше не остается групповой алгеброй или обертывающей алгеброй. Точнее, деформация может быть осуществлена ​​в категории алгебр Хопфа , от которых не требуется быть ни коммутативными , ни кокоммутативными . Можно думать о деформированном объекте как об алгебре функций в «некоммутативном пространстве» в духе некоммутативной геометрии Конна Алена . Однако эта интуиция пришла после того, как определенные классы квантовых групп уже доказали свою полезность при изучении квантового уравнения Янга – Бакстера и квантового метода обратной задачи рассеяния. разработанные Ленинградской школой ( Людвиг Фаддеев , Леон Тахтаян , Евгений Склянин , Николай Решетихин и Владимир Корепин ) и связанные с ними работы Японской школы. Интуиция, лежащая в основе второго класса квантовых групп, бикросспроизведения , была иной и возникла в результате поиска самодуальных объектов как подхода к квантовой гравитации .

Квантовые группы типа Дринфельда – Джимбо

Один тип объектов, обычно называемый «квантовой группой», появился в работах Владимира Дринфельда и Мичио Джимбо как деформация универсальной обертывающей алгебры полупростой алгебры Ли или, в более общем смысле, алгебры Каца – Муди , в категории Хопфа. алгебры . Полученная алгебра имеет дополнительную структуру, превращающую ее в квазитреугольную алгебру Хопфа .

Пусть A = ( a _ij ) — матрица Картана алгебры Каца–Муди, и пусть q ≠ 0, 1 — комплексное число, тогда квантовая группа U _q ( G ), где G — алгебра Ли, матрица Картана которой является A , определяется как с единицей ассоциативная алгебра с генераторами k _λ (где λ является элементом решетки весов , т.е. 2(λ, α _i )/(α _i , α _i ) является целым числом для всех i ), и e _i и f _i (для простых корней α _i ), подчиняющихся следующим соотношениям:

${\begin{aligned}k_{0}&=1\\k_{\lambda }k_{\mu }&=k_{\lambda +\mu }\\k_{\lambda }e_{i}k_{\lambda }^{-1}&=q^{(\lambda ,\alpha _{i})}e_{i}\\k_{\lambda }f_{i}k_{\lambda }^{-1}&=q^{-(\lambda ,\alpha _{i})}f_{i}\\\left[e_{i},f_{j}\right]&=\delta _{ij}{\frac {k_{i}-k_{i}^{-1}}{q_{i}-q_{i}^{-1}}}&&k_{i}=k_{\alpha _{i}},q_{i}=q^{{\frac {1}{2}}(\alpha _{i},\alpha _{i})}\\\end{aligned}}$

А при i ≠ j мы имеем q -отношения Серра, которые являются деформациями отношений Серра :

${\begin{aligned}\sum _{n=0}^{1-a_{ij}}(-1)^{n}{\frac {[1-a_{ij}]_{q_{i}}!}{[1-a_{ij}-n]_{q_{i}}![n]_{q_{i}}!}}e_{i}^{n}e_{j}e_{i}^{1-a_{ij}-n}&=0\\[6pt]\sum _{n=0}^{1-a_{ij}}(-1)^{n}{\frac {[1-a_{ij}]_{q_{i}}!}{[1-a_{ij}-n]_{q_{i}}![n]_{q_{i}}!}}f_{i}^{n}f_{j}f_{i}^{1-a_{ij}-n}&=0\end{aligned}}$

где q-факториал , q-аналог обычного факториала , определяется рекурсивно с использованием q-числа:

${\begin{aligned}{[0]}_{q_{i}}!&=1\\{[n]}_{q_{i}}!&=\prod _{m=1}^{n}[m]_{q_{i}},&&[m]_{q_{i}}={\frac {q_{i}^{m}-q_{i}^{-m}}{q_{i}-q_{i}^{-1}}}\end{aligned}}$

В пределе при q → 1 эти соотношения приближаются к соотношениям для универсальной обертывающей алгебры U ( G ), где

$k_{\lambda }\to 1,\qquad {\frac {k_{\lambda }-k_{-\lambda }}{q-q^{-1}}}\to t_{\lambda }$

и t _λ — элемент подалгебры Картана, удовлетворяющий условию ( t _λ , h ) = λ ( h ) для всех h в подалгебре Картана.

Существуют различные коассоциативные копроизведения , при которых эти алгебры являются алгебрами Хопфа, например,

${\begin{array}{lll}\Delta _{1}(k_{\lambda })=k_{\lambda }\otimes k_{\lambda }&\Delta _{1}(e_{i})=1\otimes e_{i}+e_{i}\otimes k_{i}&\Delta _{1}(f_{i})=k_{i}^{-1}\otimes f_{i}+f_{i}\otimes 1\\\Delta _{2}(k_{\lambda })=k_{\lambda }\otimes k_{\lambda }&\Delta _{2}(e_{i})=k_{i}^{-1}\otimes e_{i}+e_{i}\otimes 1&\Delta _{2}(f_{i})=1\otimes f_{i}+f_{i}\otimes k_{i}\\\Delta _{3}(k_{\lambda })=k_{\lambda }\otimes k_{\lambda }&\Delta _{3}(e_{i})=k_{i}^{-{\frac {1}{2}}}\otimes e_{i}+e_{i}\otimes k_{i}^{\frac {1}{2}}&\Delta _{3}(f_{i})=k_{i}^{-{\frac {1}{2}}}\otimes f_{i}+f_{i}\otimes k_{i}^{\frac {1}{2}}\end{array}}$

где набор генераторов был расширен, если необходимо, чтобы включить k _λ для λ , который выражается как сумма элемента решетки весов и половины элемента корневой решетки .

Кроме того, любая алгебра Хопфа приводит к другой с обратным копроизведением T o ∆, где T задается формулой T ( x ⊗ y ) = y ⊗ x , что дает еще три возможных версии.

Единица ε на U _q ( A ) одинакова для всех этих копроизведений: ε ( k _λ ) = 1, ε ( e _i ) = ( f i ₎ = 0, а соответствующие антиподы для вышеуказанных копроизведений определяются выражением

${\begin{array}{lll}S_{1}(k_{\lambda })=k_{-\lambda }&S_{1}(e_{i})=-e_{i}k_{i}^{-1}&S_{1}(f_{i})=-k_{i}f_{i}\\S_{2}(k_{\lambda })=k_{-\lambda }&S_{2}(e_{i})=-k_{i}e_{i}&S_{2}(f_{i})=-f_{i}k_{i}^{-1}\\S_{3}(k_{\lambda })=k_{-\lambda }&S_{3}(e_{i})=-q_{i}e_{i}&S_{3}(f_{i})=-q_{i}^{-1}f_{i}\end{array}}$

Альтернативно, квантовую группу U _q ( G ) можно рассматривать как алгебру над полем C ( q ), полем всех рациональных функций неопределенного q над C .

Аналогично, квантовую группу U _q ( G ) можно рассматривать как алгебру над полем Q ( q ), полем всех рациональных функций неопределенного q над Q (см. ниже в разделе о квантовых группах при q = 0). . Центр квантовой группы можно описать квантовым определителем.

Теория представлений

Точно так же, как существует множество различных типов представлений алгебр Каца–Муди и их универсальных обертывающих алгебр, так и существует множество различных типов представлений квантовых групп.

Как и все алгебры Хопфа, U _q ( G ) имеет присоединенное к себе представление в виде модуля, причем действие задается формулой

$\mathrm {Ad} _{x}\cdot y=\sum _{(x)}x_{(1)}yS(x_{(2)}),$

где

$\Delta (x)=\sum _{(x)}x_{(1)}\otimes x_{(2)}.$

Случай 1: q не является корнем из единицы

Одним из важных типов представления является весовое представление, и соответствующий модуль называется весовым модулем. Весовой модуль — это модуль с базой из весовых векторов. Весовой вектор — это ненулевой вектор v такой, что k _λ · v = d _λ v для всех λ , где d _λ — комплексные числа для всех весов λ такие, что

$d_{0}=1,$

$d_{\lambda }d_{\mu }=d_{\lambda +\mu },$ для всех весов λ и µ .

Весовой модуль называется интегрируемым, если действия i _и fi локально _e нильпотентны (т. е. для любого вектора v в модуле существует целое положительное число k , возможно, зависящее от v , такое, что $e_{i}^{k}.v=f_{i}^{k}.v=0$ для всех я ). В случае интегрируемых модулей комплексные числа d _λ, связанные с весовым вектором, удовлетворяют $d_{\lambda }=c_{\lambda }q^{(\lambda ,\nu )}$, где ν — элемент решетки весов, а c _λ — комплексные числа такие, что

• $c_{0}=1,$
• $c_{\lambda }c_{\mu }=c_{\lambda +\mu },$ для всех весов λ и µ ,
• $c_{2\alpha _{i}}=1$ для всех я .

Особый интерес представляют представления с наивысшим весом и соответствующие им модули с наибольшим весом. Модуль с наибольшим весом — это модуль, порожденный весовым вектором v , при условии k _λ · v = d _λ v для всех весов µ и e _i · v = 0 для всех i . Аналогично, квантовая группа может иметь представление с наименьшим весом и модуль с наименьшим весом, т.е. модуль, порожденный весовым вектором v , при условии, что k _λ · v = d _λ v для всех весов λ и f _i · v = 0 для всех я .

Определим вектор v так, чтобы он имел вес ν, если $k_{\lambda }\cdot v=q^{(\lambda ,\nu )}v$ для всех λ в решетке весов.

Если G — алгебра Каца–Муди, то в любом неприводимом представлении U _q ( G ) со старшим весом ν кратности весов равны их кратностям в неприводимом представлении U ( G ) с равным старшим весом. масса. Если старший вес является доминантным и целым (вес µ является доминантным и целым, если µ удовлетворяет условию, что $2(\mu ,\alpha _{i})/(\alpha _{i},\alpha _{i})$ является неотрицательным целым числом для всех i ), то весовой спектр неприводимого представления инвариантен относительно группы Вейля для G и представление интегрируемо.

И наоборот, если модуль старшего веса интегрируем, то его вектор старшего веса v удовлетворяет условию $k_{\lambda }\cdot v=c_{\lambda }q^{(\lambda ,\nu )}v$, где c _λ · v = d _λ v — комплексные числа такие, что

• $c_{0}=1,$
• $c_{\lambda }c_{\mu }=c_{\lambda +\mu },$ для всех весов λ и µ ,
• $c_{2\alpha _{i}}=1$ для всех я ,

и ν является доминирующим и интегральным.

Как и во всех алгебрах Хопфа, тензорное произведение двух модулей является другим модулем. Для элемента x из U _q (G) и векторов v и w в соответствующих модулях x ⋅ ( v ⊗ w ) = Δ( x ) ⋅ ( v ⊗ w ), так что $k_{\lambda }\cdot (v\otimes w)=k_{\lambda }\cdot v\otimes k_{\lambda }.w$, а в случае копроизведения ∆ ₁ , $e_{i}\cdot (v\otimes w)=k_{i}\cdot v\otimes e_{i}\cdot w+e_{i}\cdot v\otimes w$ и $f_{i}\cdot (v\otimes w)=v\otimes f_{i}\cdot w+f_{i}\cdot v\otimes k_{i}^{-1}\cdot w.$

Описанный выше интегрируемый модуль старшего веса представляет собой тензорное произведение одномерного модуля (на котором k _λ = c _λ для всех λ и e _i = fi _{= 0} для всех i ) и модуля старшего веса, порожденного ненулевым вектор v ₀ при условии $k_{\lambda }\cdot v_{0}=q^{(\lambda ,\nu )}v_{0}$ для всех весов λ и $e_{i}\cdot v_{0}=0$ для всех я .

В частном случае, когда G — конечномерная алгебра Ли (как частный случай алгебры Каца–Муди), неприводимые представления с доминирующими целочисленными старшими весами также являются конечномерными.

В случае тензорного произведения модулей старшего веса его разложение на подмодули такое же, как и для тензорного произведения соответствующих модулей алгебры Каца–Муди (старшие веса одинаковы, как и их кратности).

Квазитреугольность

Случай 1: q не является корнем из единицы

Строго говоря, квантовая группа U _q ( G ) не является квазитреугольной, но ее можно рассматривать как «почти квазитреугольную», поскольку существует бесконечная формальная сумма, которая играет роль R -матрицы . бесконечная формальная сумма выражается через генераторы e _i и fi _Эта и генераторы Картана t _λ , где k _λ формально отождествляется с q ^{т _λ} . Бесконечная формальная сумма является произведением двух факторов:

$q^{\eta \sum _{j}t_{\lambda _{j}}\otimes t_{\mu _{j}}}$

и бесконечная формальная сумма, где λ _j — базис пространства, двойственного к подалгебре Картана, µ _j — двойственный базис и η = ±1.

Формальная бесконечная сумма, играющая роль R -матрицы, оказывает вполне определенное действие на тензорное произведение двух неприводимых модулей старшего веса, а также на тензорное произведение двух модулей младшего веса. В частности, если v имеет вес α , а w имеет вес β , то

$q^{\eta \sum _{j}t_{\lambda _{j}}\otimes t_{\mu _{j}}}\cdot (v\otimes w)=q^{\eta (\alpha ,\beta )}v\otimes w,$

а тот факт, что оба модуля являются модулями со старшим весом или оба модуля с наименьшим весом, сводит действие другого множителя на v ⊗ W к конечной сумме.

В частности, если V — модуль со старшим весом, то формальная бесконечная сумма R имеет четко определенное и обратимое действие на V ⊗ V , и это значение R (как элемента End( V ⊗ V )) удовлетворяет уравнению Янга–Бакстера и, следовательно, позволяет нам определить представление группы кос и определить квазиинварианты для узлов , связей и кос .

Квантовые группы при q = 0

Основная статья: Кристаллическая основа

Масаки Кашивара исследовал предельное поведение квантовых групп при q → 0 и обнаружил особенно хорошо ведущее себя основание, называемое кристаллическим основанием .

Описание и классификация по корневым системам и диаграммам Дынкина.

Был достигнут значительный прогресс в описании конечных факторов квантовых групп, таких как приведенная выше U _q ( g ) для q ^н = 1; обычно рассматривают класс точечных алгебр Хопфа , что означает, что все простые левые или правые комодулы одномерны и, таким образом, сумма всех его простых подкоалгебр образует групповую алгебру, называемую корадикалом :

• В 2002 году Х.-Ж. Шнайдер и Н. Андрускевич. завершили классификацию точечных алгебр Хопфа с абелевой корадикальной группой (исключая простые числа 2, 3, 5, 7), тем более, что указанные выше конечные факторы U _q ( g ) разлагаются на E ′ s (борелевская часть), двойственные F ′s и K ′s (алгебра Картана), как и обычные полупростые алгебры Ли :

$\left({\mathfrak {B}}(V)\otimes k[\mathbf {Z} ^{n}]\otimes {\mathfrak {B}}(V^{*})\right)^{\sigma }$

Здесь, как и в классической теории, V представляет собой плетеное векторное пространство размерности n, натянутое на E s, а σ (так называемое скручивание коцикла) создает нетривиальную связь между E s и F s. Обратите внимание, что в отличие от классической теории может появиться более двух связанных компонентов. Роль квантовой борелевской алгебры играет алгебра Николса ${\mathfrak {B}}(V)$ плетеного векторного пространства.

обобщенная диаграмма Дынкина для точечной алгебры Хопфа, связывающая четыре копии A3

• Решающим моментом была классификация И. Хекенбергером конечных алгебр Николса для абелевых групп в терминах обобщенных диаграмм Дынкина . Когда присутствуют маленькие простые числа, возникают некоторые экзотические примеры, такие как треугольник (см. Также рисунок диаграммы Данкина 3-го ранга).

Диаграмма Дынкина ранга 3, ассоциированная с конечномерной алгеброй Николса

• Тем временем Шнайдер и Хекенбергер в целом доказали существование арифметической системы корней также в неабелевом случае, порождая базис PBW , как это доказал Харчеко в абелевом случае (без предположения о конечной размерности). Это можно использовать в конкретных случаях U _q ( g ) и объясняет, например, численное совпадение между некоторыми коидеальными подалгебрами этих квантовых групп и порядком группы Вейля алгебры Ли g .

Компактные матричные квантовые группы

Основная статья: Компактная квантовая группа

С. Л. Воронович ввел компактные матричные квантовые группы. Компактные матричные квантовые группы представляют собой абстрактные структуры, «непрерывные функции» которых задаются элементами C*-алгебры . Геометрия компактной матричной квантовой группы является частным случаем некоммутативной геометрии .

Непрерывные комплекснозначные функции на компактном хаусдорфовом топологическом пространстве образуют коммутативную С*-алгебру. По теореме Гельфанда коммутативная С*-алгебра изоморфна С*-алгебре непрерывных комплекснозначных функций на компактном хаусдорфовом топологическом пространстве, причем топологическое пространство однозначно определяется С*-алгеброй с точностью до гомеоморфизма .

Для компактной топологической группы G существует гомоморфизм C*-алгебры ∆: C ( G ) → C ( G ) ⊗ C ( G ) (где C ( G ) ⊗ C ( G ) — тензор C*-алгебры произведение — пополнение алгебраического тензорного произведения C ( G ) и C ( G )), такое что ∆( f )( x , y ) = f ( xy ) для всех f ∈ C ( G ), и для всех x , y ∈ G (где ( f ⊗ g )( x , y ) знак равно f ( x ) g ( y ) для всех f , g ∈ C ( G ) и всех x , y ∈ G ). Также существует линейное мультипликативное отображение κ : C ( G ) → C ( G ), такое что κ ( f )( x ) = f ( x ⁻¹ ) для всех f ∈ C ( G ) и всех x ∈ G . Строго говоря, это не делает C ( G ) алгеброй Хопфа, если только G не конечна. С другой стороны, конечномерное представление G ) , можно использовать для создания *-подалгебры C ( G которая также является *-алгеброй Хопфа. В частности, если $g\mapsto (u_{ij}(g))_{i,j}$ является n- мерным представлением группы G , то для всех i , j u _ij ∈ C ( G ) и

$\Delta (u_{ij})=\sum _{k}u_{ik}\otimes u_{kj}.$

Отсюда следует, что *-алгебра, порожденная u _ij для всех i, j и κ ( u _ij ) для всех i, j, является *-алгеброй Хопфа: единица определяется соотношением ε( u _ij ) = δ _ij для всех i , j (где δ _ij — дельта Кронекера ), антипод — κ , а единица измерения —

$1=\sum _{k}u_{1k}\kappa (u_{k1})=\sum _{k}\kappa (u_{1k})u_{k1}.$

Общее определение

В качестве обобщения компактная матричная квантовая группа определяется как пара ( C , u ), где C — C*-алгебра и $u=(u_{ij})_{i,j=1,\dots ,n}$ - это матрица с элементами в C такая, что

• *-подалгебра C0 _в C C , порожденная матричными элементами u плотна в ; ,

• Существует гомоморфизм C*-алгебры, называемый коумножением ∆: C → C ⊗ C (где C ⊗ C — тензорное произведение C*-алгебры — пополнение алгебраического тензорного произведения C и C ), такой, что для всех i у нас есть:

$\Delta (u_{ij})=\sum _{k}u_{ik}\otimes u_{kj}$

• Существует линейное антимультипликативное отображение κ: C ₀ → C ₀ (коинверсия) такое, что κ ( κ ( v *)*) = v для всех v ∈ C ₀ и

$\sum _{k}\kappa (u_{ik})u_{kj}=\sum _{k}u_{ik}\kappa (u_{kj})=\delta _{ij}I,$

где I — единичный C. элемент Поскольку κ антимультипликативен, то κ ( vw ) = κ ( w ) κ ( v для всех v , w в C0 _. )

Вследствие непрерывности коумножение на C коассоциативно.

В общем случае C не является биалгеброй и является _C0 *-алгеброй Хопфа.

Неформально C можно рассматривать как *-алгебру непрерывных комплекснозначных функций над компактной матричной квантовой группой, а u можно рассматривать как конечномерное представление компактной матричной квантовой группы.

Представительства

Представление компактной матричной квантовой группы задается кор-представлением *-алгебры Хопфа (кор-представлением коунитальной коассоциативной коалгебры A является квадратная матрица $v=(v_{ij})_{i,j=1,\dots ,n}$ с записями в A (поэтому v принадлежит M( n , A )) такие, что

$\Delta (v_{ij})=\sum _{k=1}^{n}v_{ik}\otimes v_{kj}$

для всех i , j и ε ( v _ij ) = δ _ij для всех i, j ). Более того, представление v называется унитарным, если матрица для v унитарна (или, что то же самое, если κ( v _ij ) = v* _ij для всех i , j ).

Пример

Примером компактной матричной квантовой группы является SU _µ (2), где параметр µ является положительным действительным числом. Итак, SU _µ (2) = (C(SU _µ (2)), u ), где C(SU _µ (2)) – C*-алгебра, порожденная α и γ, с учетом

$\gamma \gamma ^{*}=\gamma ^{*}\gamma ,$

$\alpha \gamma =\mu \gamma \alpha ,$

$\alpha \gamma ^{*}=\mu \gamma ^{*}\alpha ,$

$\alpha \alpha ^{*}+\mu \gamma ^{*}\gamma =\alpha ^{*}\alpha +\mu ^{-1}\gamma ^{*}\gamma =I,$

и

$u=\left({\begin{matrix}\alpha &\gamma \\-\gamma ^{*}&\alpha ^{*}\end{matrix}}\right),$

так что коумножение определяется соотношением ∆(α) = α ⊗ α − γ ⊗ γ*, ∆(γ) = α ⊗ γ + γ ⊗ α*, а коинверсия определяется соотношением κ(α) = α*, κ (в) = −m ⁻¹ γ, κ(γ*) = −μγ*, κ(α*) = α. Обратите внимание, что u — представление, но не унитарное представление. u эквивалентно унитарному представлению

$v=\left({\begin{matrix}\alpha &{\sqrt {\mu }}\gamma \\-{\frac {1}{\sqrt {\mu }}}\gamma ^{*}&\alpha ^{*}\end{matrix}}\right).$

Эквивалентно, SU _µ (2) = (C(SU _µ (2)), w ), где C(SU _µ (2)) — C*-алгебра, порожденная α и β, с учетом

$\beta \beta ^{*}=\beta ^{*}\beta ,$

$\alpha \beta =\mu \beta \alpha ,$

$\alpha \beta ^{*}=\mu \beta ^{*}\alpha ,$

$\alpha \alpha ^{*}+\mu ^{2}\beta ^{*}\beta =\alpha ^{*}\alpha +\beta ^{*}\beta =I,$

и

$w=\left({\begin{matrix}\alpha &\mu \beta \\-\beta ^{*}&\alpha ^{*}\end{matrix}}\right),$

так что коумножение определяется соотношением ∆(α) = α ⊗ α − µβ ⊗ β*, Δ(β) = α ⊗ β + β ⊗ α*, а коинверсия определяется соотношением κ(α) = α*, κ (б) = −m ⁻¹ β, κ(β*) = −μβ*, κ(α*) = α. Обратите внимание, что w — унитарное представление. Реализации можно идентифицировать, приравнивая $\gamma ={\sqrt {\mu }}\beta$.

Когда µ = 1, то SU _µ (2) равна алгебре C (SU(2)) функций на конкретной компактной группе SU(2).

Квантовые группы бикросспроизведения

В то время как компактные матричные псевдогруппы обычно представляют собой версии квантовых групп Дринфельда-Джимбо в формулировке алгебры двойственных функций с дополнительной структурой, псевдогруппы с двойным произведением представляют собой отдельное второе семейство квантовых групп, значение которых возрастает как деформации разрешимых, а не полупростых групп Ли. Они связаны с лиевыми расщеплениями алгебр Ли или локальными факторизациями групп Ли и могут рассматриваться как векторное произведение или квантование Макки одного из факторов, действующих на другой для алгебры, и аналогичная история для копроизведения Δ со вторым множителем. действуя в ответ на первое.

Самый простой нетривиальный пример соответствует двум копиям R, локально действующим друг на друга, и приводит к квантовой группе (данной здесь в алгебраической форме) с генераторами p , K , K ⁻¹ , скажем, и копроизведение

$[p,K]=hK(K-1)$

$\Delta p=p\otimes K+1\otimes p$

$\Delta K=K\otimes K$

где h — параметр деформации.

Эта квантовая группа была связана с игрушечной моделью физики в масштабе Планка, реализующей борновскую взаимность , если рассматривать ее как деформацию алгебры Гейзенберга квантовой механики. Кроме того, начиная с любой компактной вещественной формы полупростой алгебры Ли g, ее комплексификация в качестве вещественной алгебры Ли удвоенной размерности распадается на g и некоторую разрешимую алгебру Ли ( разложение Ивасавы ), и это дает каноническую квантовую группу с двойным произведением, связанную с г . Для su (2) получается квантовая групповая деформация евклидовой группы E(3) движений в трёх измерениях.

См. также

• алгебра Хопфа
• Биалгебра лжи
• Группа Пуассона – Ли
• Что касается алгебры

Ссылки

• Гренсинг, Герхард (2013). Структурные аспекты квантовой теории поля и некоммутативной геометрии . Всемирная научная. дои : 10.1142/8771 . ISBN  978-981-4472-69-2 .
• Джаганнатан, Р. (2001). «Некоторые вводные заметки о квантовых группах, квантовых алгебрах и их приложениях». arXiv : math-ph/0105002 .
• Кассель, Кристиан (1995), Квантовые группы , Тексты для выпускников по математике, том. 155, Берлин, Нью-Йорк: Springer-Verlag, номер номера : 10.1007/978-1-4612-0783-2 , ISBN.  978-0-387-94370-1 , МР   1321145
• Люстиг, Джордж (2010) [1993]. Введение в квантовые группы . Кембридж, Массачусетс: Биркхойзер. ISBN  978-0-817-64716-2 .
• Маджид, Шан (2002), Учебник по квантовым группам , Серия лекций Лондонского математического общества, том. 292, Издательство Кембриджского университета, номер домена : 10.1017/CBO9780511549892 , ISBN.  978-0-521-01041-2 , г-н   1904789
• Маджид, Шан (январь 2006 г.), «Что такое… квантовая группа?» (PDF) , Уведомления Американского математического общества , 53 (1): 30–31 , получено 16 января 2008 г.
• Подлес, П.; Мюллер, Э. (1998), «Введение в квантовые группы», Обзоры по математической физике , 10 (4): 511–551, arXiv : q-alg/9704002 , Bibcode : 1998RvMaP..10..511P , doi : 10.1142 /S0129055X98000173 , S2CID   2596718
• Шнайдер, Стивен ; Штернберг, Шломо (1993). Квантовые группы: от коалгебры к алгебрам Дринфельда . Тексты для аспирантов по математической физике. Том. 2. Кембридж, Массачусетс: Международная пресса.
• Стрит, Росс (2007), Квантовые группы , Серия лекций Австралийского математического общества, том. 19, Издательство Кембриджского университета, номер домена : 10.1017/CBO9780511618505 , ISBN.  978-0-521-69524-4 , МР   2294803