Групповая алгебра локально компактной группы

В функциональном анализе и смежных областях математики групповая алгебра — это любая из различных конструкций, позволяющих назначить локально компактной группе операторную алгебру (или, в более общем плане, банахову алгебру ), так что представления алгебры связаны с представлениями группы. По сути, они подобны групповому кольцу , связанному с дискретной группой.

Алгебра Cc ₎ ( G непрерывных функций с компактным носителем

Если G — локально компактная хаусдорфова группа , G несет существенно единственную левоинвариантную счетно-аддитивную борелевскую меру µ, называемую мерой Хаара . Используя меру Хаара, можно определить операцию свертки в пространстве C _c ( G ) комплекснозначных непрерывных функций на G с компактным носителем ; Тогда C _c ( G ) может быть задана любая из различных норм , и пополнение будет групповой алгеброй.

Чтобы определить операцию свертки, пусть f и g — две функции из C _c ( G ). Для t в G определите

[f*g](t)=\int _{G}f(s)g\left(s^{-1}t\right)\,d\mu (s).

Тот факт, что $f*g$ является непрерывным, следует непосредственно из теоремы о доминируемой сходимости . Также

\operatorname {Support} (f*g)\subseteq \operatorname {Support} (f)\cdot \operatorname {Support} (g)

точка обозначает произведение в G. где C _c ( G ) также имеет естественную инволюцию, определяемую следующим образом:

f^{*}(s)={\overline {f(s^{-1})}}\,\Delta (s^{-1})

где ∆ — функция на G. модулярная С этой инволюцией это *-алгебра .

Теорема. С нормой:
$\|f\|_{1}:=\int _{G}|f(s)|\,d\mu (s),$
Cc _G ( нормированной ) становится инволютивной алгеброй с приближенным тождеством .

Приблизительное тождество может быть проиндексировано на основе окрестностей тождества, состоящего из компактных множеств. Действительно, если V — компактная окрестность единицы, пусть f _V — неотрицательная непрерывная функция с носителем в V такая, что

\int _{V}f_{V}(g)\,d\mu (g)=1.

Тогда { f _V } _V — приближенное тождество. Групповая алгебра имеет тождество, а не просто приближенное тождество, тогда и только тогда, когда топология группы является дискретной топологией .

Обратите внимание, что для дискретных групп Cc _{) — это то же самое ,} ( G что и комплексное групповое кольцо C [ G ].

Важность групповой алгебры заключается в том, что она отражает представления унитарную теорию G, как показано в следующем:

Теорема. Пусть G — локально компактная группа. Если U — сильно непрерывное унитарное представление группы G в гильбертовом пространстве H , то
$\pi _{U}(f)=\int _{G}f(g)U(g)\,d\mu (g)$
есть невырожденное ограниченное *-представление нормированной алгебры Cc _G ( ) . Карта
$U\mapsto \pi _{U}$
является биекцией между множеством сильно непрерывных унитарных представлений группы G и невырожденных ограниченных *-представлений группы ( _Cc G ) . Эта биекция соблюдает унитарную эквивалентность и сильную вложенность . В частности, $π$ _U неприводим тогда и только тогда, когда U неприводим.

Невырожденность представления $π$ группы Cc _, ( G ) в гильбертовом пространстве Hπ _{$означает$} что

\left\{\pi (f)\xi :f\in \operatorname {C} _{c}(G),\xi \in H_{\pi }\right\}

плотно в H _$π$ .

Алгебра свертки L ¹( Г )

Стандартная теорема теории меры гласит , что пополнение C _c ( G ) в L ¹( G ) норма изоморфна пространству L ¹( G ) классов эквивалентности функций, интегрируемых относительно меры Хаара , где, как обычно, две функции считаются эквивалентными тогда и только тогда, когда они различаются только на множестве нулевой меры Хаара.

Теорема л ¹( G ) — банахова *-алгебра с произведением свертки и инволюцией, определенными выше, и с L ¹ норма. л ¹( G ) также имеет ограниченное приближенное тождество.

Групповая C-алгебра C ( G )

Пусть C [ G ] — кольцо группы дискретной G. групповое

Для локально компактной группы G групповая C*-алгебра C* ( G ) группы G определяется как C*-обертывающая алгебра группы L. ¹( G ), т. е. пополнение C _c ( G ) по наибольшей C*-норме:

\|f\|_{C^{*}}:=\sup _{\pi }\|\pi (f)\|,

где $π$ пробегает все невырожденные *-представления Cc _{) в} ( G гильбертовых пространствах. Когда G дискретна, из неравенства треугольника следует, что для любого такого $π$ имеем:

\|\pi (f)\|\leq \|f\|_{1},

следовательно, норма четко определена.

Из определения следует, что, когда G — дискретная группа, C* ( G ) обладает следующим универсальным свойством : любой *-гомоморфизм из C [ G ] в некоторый B ( H ) (C*-алгебра ограниченных операторов на некоторое гильбертово пространство H ) факторизуется через карту включения :

\mathbf {C} [G]\hookrightarrow C_{\max }^{*}(G).

Приведенная групповая C-алгебра C _r ( G )

Приведенная групповая C*-алгебра * ₍ ) G является пополнением Cc _Cr ( G ) по норме

\|f\|_{C_{r}^{*}}:=\sup \left\{\|f*g\|_{2}:\|g\|_{2}=1\right\},

где

\|f\|_{2}={\sqrt {\int _{G}|f|^{2}\,d\mu }}

это Л ² норма. Поскольку завершение C _c ( G ) относительно L ² норма — гильбертово пространство, норма C _r * — это норма ограниченного оператора, действующего на L ²( G ) путем свертки с f и, следовательно, C*-нормой.

Эквивалентно, C _r * ( G ) — это C*-алгебра, порожденная образом левого регулярного представления на ℓ ²( Г ).

В общем, C _r * ( G ) является фактором C* ( G ). Приведенная групповая C*-алгебра изоморфна нередуцированной групповой C*-алгебре, определенной выше, тогда и только тогда, G аменабельна когда .

Алгебры фон Неймана, ассоциированные с группами

Групповая алгебра фон Неймана W* ( G ) группы G является обертывающей алгеброй фон Неймана группы C* ( G ).

Для дискретной группы G мы можем рассмотреть гильбертово пространство ℓ ²( G ), для которого G является ортонормированным базисом . Поскольку G действует на ℓ ²( G ) путем перестановки базисных векторов мы можем отождествить комплексное групповое кольцо C [ G ] с подалгеброй алгебры ограниченных операторов на ℓ ²( Г ). Слабое замыкание этой подалгебры NG является алгеброй фон Неймана .

Центр NG можно описать в терминах тех элементов из G, которых класс сопряженности конечен. В частности, если единичный элемент группы G является единственным элементом группы, обладающим этим свойством (то есть G обладает свойством класса бесконечной сопряженности ), центр NG состоит только из комплексных кратных единицы.

NG изоморфен гиперконечному типа II ₁ фактору тогда и только тогда, когда аменабельна и обладает G счетна, свойством бесконечного класса сопряженности.

См. также

Примечания

Ссылки

Ланг, С. (2002). Алгебра . Тексты для аспирантов по математике. Спрингер. ISBN 978-1-4613-0041-0 .
Винберг, Э. (10 апреля 2003 г.). Курс алгебры . Американское математическое общество. дои : 10.1090/gsm/056 . ISBN 978-0-8218-3413-8 .
Диксмье, Жак (1982). С*-алгебры . Северная Голландия. ISBN 978-0-444-86391-1 .
Кириллов, Александр А. (1976). Элементы теории представлений . Спрингер-Верлаг. ISBN 978-3-642-66245-4 .
Лумис, Линн Х. (19 июля 2011 г.). Введение в абстрактный гармонический анализ (Дуврские книги по математике) Линн Х. Лумис (2011), мягкая обложка . Дуврские публикации. ISBN 978-0-486-48123-4 .
А. И. Штерн (2001) [1994], «Групповая алгебра локально компактной группы» , Энциклопедия математики , EMS Press. Эта статья включает в себя материал из групповой $C^*$-алгебры на PlanetMath , который доступен по лицензии Creative Commons Attribution/ Совместная лицензия .

Алгебра Cc ) ( G непрерывных функций с компактным носителем

Алгебра свертки L 1 ( Г )

Групповая C*-алгебра C* ( G )

Приведенная групповая C*-алгебра C r * ( G )