Топологическая алгебра

В математике алгебра топологическая $A$ является алгеброй и в то же время топологическим пространством , где алгебраическая и топологическая структуры когерентны в определенном смысле.

Определение

алгебра Топологическая $A$ над топологическим полем $K$ представляет собой топологическое векторное пространство вместе с билинейным умножением

$\cdot :A\times A\to A$,

$(a,b)\mapsto a\cdot b$

это превращается $A$ в алгебру над $K$ и непрерывен в некотором определенном смысле. Обычно непрерывность умножения выражается одним из следующих (неэквивалентных) требований:

• совместная непрерывность : для каждой окрестности нуля $U\subseteq A$ есть окрестности нуля $V\subseteq A$ и $W\subseteq A$ такой, что $V\cdot W\subseteq U$ (другими словами, это условие означает, что умножение непрерывно как отображение между топологическими пространствами $A\times A\to A$), или
• преемственность стереотипов : для каждого вполне ограниченного множества $S\subseteq A$ и для каждой окрестности нуля $U\subseteq A$ существует окрестность нуля $V\subseteq A$ такой, что $S\cdot V\subseteq U$ и $V\cdot S\subseteq U$, или
• отдельная непрерывность : для каждого элемента $a\in A$ и для каждой окрестности нуля $U\subseteq A$ существует окрестность нуля $V\subseteq A$ такой, что $a\cdot V\subseteq U$ и $V\cdot a\subseteq U$.

(Разумеется, совместная непрерывность подразумевает стереотипную непрерывность, а стереотипная непрерывность предполагает раздельную непрерывность.) В первом случае $A$ называется « топологической алгеброй с совместно непрерывным умножением », а в последней — « с раздельно непрерывным умножением ».

топологическая алгебра с единицей Ассоциативная (иногда) называется топологическим кольцом .

История

Этот термин был придуман Дэвидом ван Данцигом ; оно фигурирует в названии его докторской диссертации (1931 г.).

Примеры

1. Алгебры Фреше являются примерами ассоциативных топологических алгебр с совместно непрерывным умножением.

2. Банаховы алгебры являются частными случаями алгебр Фреше .

3. Стереотипные алгебры являются примерами ассоциативных топологических алгебр со стереотипным непрерывным умножением.

Внешние ссылки

• Топологическая алгебра в n Lab

Ссылки

• Бекенштейн, Э.; Наричи, Л.; Саффел, К. (1977). Топологические алгебры . Амстердам: Северная Голландия. ISBN  9780080871356 .
• Акбаров, С.С. (2003). «Двойственность Понтрягина в теории топологических векторных пространств и в топологической алгебре» . Журнал математических наук . 113 (2): 179–349. дои : 10.1023/А:1020929201133 . S2CID   115297067 .
• Маллиос, А. (1986). Топологические алгебры . Амстердам: Северная Голландия. ISBN  9780080872353 .
• Балачандран, В.К. (2000). Топологические алгебры . Амстердам: Северная Голландия. ISBN  9780080543086 .
• Фрагулопулу, М. (2005). Топологические алгебры с инволюцией . Амстердам: Северная Голландия. ISBN  9780444520258 .