Колчан (математика)

В математике , особенно в теории представлений , колчан — другое название мультидиграфа ; то есть ориентированный граф , в котором петли и несколько стрелок между двумя вершинами разрешены . Колчаны обычно используются в теории представлений: представление $V$ колчана присваивает векторное пространство $V (x)$ каждой вершине $x$ колчана и линейную карту $V (a)$ каждой стрелке $a$ .

В теории категорий под колчаном можно понимать основную структуру категории , но без композиции или обозначения тождественных морфизмов. То есть существует забывчивый функтор от $Cat$ (категория категорий) до $Quiv$ (категория мультидиграфов). Его левым сопряженным является свободный функтор , который из колчана образует соответствующую свободную категорию .

Определение

Колчан $Γ$ состоит из:

Множество $V$ вершин графа $Γ$
Множество $E$ ребер $Γ$
Две функции: ⁠ $s:E\to V$ ⁠ задающая начало или источник края и другую функцию, ⁠ $t:E\to V$ ⁠ давая цели край.

Это определение идентично определению мультиорграфа .

Морфизм . колчанов — это отображение вершин в вершины, которое переводит направленные ребра в направленные ребра Формально, если $\Gamma =(V,E,s,t)$ и $\Gamma '=(V',E',s',t')$ два колчана, то морфизм $m=(m_{v},m_{e})$ колчанов состоит из двух функций $m_{v}:V\to V'$ и $m_{e}:E\to E'$ такие, что следующие диаграммы коммутируют :

То есть,

m_{v}\circ s=s'\circ m_{e}

и

m_{v}\circ t=t'\circ m_{e}

Теоретико-категорное определение

Приведенное выше определение основано на теории множеств ; теоретико-категорное определение обобщает это в функтор от свободного колчана до категории множеств .

( Свободный колчан также называемый ходячим колчаном , Кронекера , колчаном 2-Кронекера или категорией Кронекера ) $Q$ — это категория с двумя объектами и четырьмя морфизмами: объектами являются $V$ и $E.$ колчаном Четыре морфизма: ⁠ $s:E\to V,$ ⁠ ⁠ $t:E\to V,$ ⁠ и тождественные морфизмы ⁠ $\mathrm {id} _{V}:V\to V$ ⁠ и ⁠ $\mathrm {id} _{E}:E\to E.$ ⁠ То есть вольный колчан — это категория

E\;{\begin{matrix}s\\[-6pt]\rightrightarrows \\[-4pt]t\end{matrix}}\;V

Колчан тогда является функтором ⁠ $\Gamma :Q\to \mathbf {Set}$ ⁠ . (То есть, $\Gamma$ указывает два набора $\Gamma (V)$ и $\Gamma (E)$ и две функции $\Gamma (s),\Gamma (t)\colon \Gamma (E)\longrightarrow \Gamma (V)$ ; это в полной мере то, что значит быть функтором от $Q$ к $\mathbf {Set}$ .)

В более общем смысле, колчан категории $C$ — это функтор ⁠ $\Gamma :Q\to C.$ ⁠ Категория $Quiv (C)$ колчанов в $C$ — это категория функтора , где:

объекты — это функторы ⁠ $\Gamma :Q\to C,$ ⁠
морфизмы — это естественные преобразования между функторами.

Обратите внимание, что $Quiv$ — это категория предпучков противоположной категории $Q. на$ .

Алгебра путей

Если $Г$ — колчан, то путь в $Г$ — это последовательность стрелок

a_{n}a_{n-1}\dots a_{3}a_{2}a_{1}

такой, что начало $a i +1$ является хвостом $a i$ для $i = 1, \dots, n -1$ , используя соглашение об объединении путей справа налево. Обратите внимание, что путь в теории графов имеет более строгое определение и что вместо этого это понятие совпадает с тем, что в теории графов называется обходом .

Если $K$ — поле , то алгебра колчана или алгебра путей $K Γ$ определяется как векторное пространство, имеющее все пути (длины ≥ 0) в колчане в качестве основы (включая для каждой вершины $i$ колчана $Γ$ тривиальный путь $e i$ длины 0; эти пути не считаются равными для разных $i$ ), а умножение задается конкатенацией путей. Если два пути не могут быть объединены, поскольку конечная вершина первого не равна начальной вершине второго, их произведение определяется как ноль. Это определяет ассоциативную алгебру над $K$ . Эта алгебра имеет единичный элемент тогда и только тогда, когда колчан имеет лишь конечное число вершин. В этом случае модули над $K Γ$ естественным образом отождествляются с представлениями $Γ$ . Если колчан имеет бесконечное число вершин, то $K Γ$ имеет приближенное тождество , определяемое формулой ${\textstyle e_{F}:=\sum _{v\in F}1_{v}}$ где $F$ пробегает конечные подмножества множества вершин графа $Γ$ .

Если колчан имеет конечное число вершин и стрелок, а конечная и начальная вершины любого пути всегда различны (т. е. $Q$ не имеет ориентированных циклов), то $K Γ$ является конечномерной наследственной алгеброй над $K$ . И наоборот, если $K$ алгебраически замкнуто, то любая конечномерная наследственная ассоциативная алгебра над $K$ является Морита-эквивалентной алгебре путей ее колчана Ext (т. е. они имеют эквивалентные категории модулей).

Изображения колчанов

Представление колчана $Q$ — это ассоциация $R$ -модуля с каждой вершиной $Q$ и морфизм между каждым модулем для каждой стрелы.

Представление $V$ колчана $Q$ называется тривиальным , если $V(x)=0$ для всех вершин $x$ в $Q$ .

Морфизм , ⁠ $f:V\to V',$ ⁠ между представлениями колчана $Q$ , представляет собой набор линейных отображений ⁠ $f(x):V(x)\to V'(x)$ ⁠ такой, что для каждой стрелки $a$ в $Q$ от $x$ до $y$ , $V'(a)f(x)=f(y)V(a),$ т.е. квадраты, которые $f$ образует со стрелками $V$ и $V',$ все коммутируют. Морфизм $f$ является изоморфизмом , если $f (x)$ обратим для всех вершин $x$ в колчане. С помощью этих определений представления колчана образуют категорию .

Если $V$ и $W$ — представления колчана $Q$ , то прямая сумма этих представлений $V\oplus W,$ определяется $(V\oplus W)(x)=V(x)\oplus W(x)$ для всех вершин $x$ в $Q$ и $(V\oplus W)(a)$ является прямой суммой линейных отображений $V (a)$ и $W (a)$ .

Представление называется разложимым, если оно изоморфно прямой сумме ненулевых представлений.

Также можно дать категорическое определение представления колчана. Сам колчан можно рассматривать как категорию, где вершины — это объекты, а пути — это морфизмы. Тогда представление $Q$ — это просто ковариантный функтор из этой категории в категорию конечномерных векторных пространств . Морфизмы представлений $Q$ представляют собой в точности естественные преобразования между соответствующими функторами.

Для конечного колчана $Γ$ (колчана с конечным числом вершин и ребер) пусть $K Γ$ — его алгебра путей. Пусть $e i$ обозначает тривиальный путь в вершине $i$ . можно сопоставить $Тогда вершине i$ проективный K $K Γ$ -модуль $состоящий Γ e i ,$ из линейных комбинаций путей, имеющих стартовую вершину $i$ . Это соответствует представлению $Γ$ , полученному путем помещения копии $K$ в каждую вершину, которая лежит на пути, начинающемся с $i$ и 0 в каждой другой вершине. Каждому ребру, соединяющему две копии $K,$ мы сопоставляем тождественное отображение.

Эту теорию связали с кластерными алгебрами Дерксен, Вейман и Зелевинский. ^[1]

Колчан с отношениями

Чтобы обеспечить коммутативность некоторых квадратов внутри колчана, обобщением является понятие колчанов с отношениями (также называемых связанными колчанами).Отношение на колчане $Q$ — это $K$ линейная комбинация путей $Q.$ из Колчан со связью — это пара $(Q, I)$ , где $Q$ — колчан и $I\subseteq K\Gamma$ аидеал алгебры путей. Фактор $K Γ/ I$ является алгеброй путей $(Q, I)$ .

Колчан Разнообразие

Зная размерности векторных пространств, присвоенных каждой вершине, можно сформировать многообразие, характеризующее все представления этого колчана с указанными размерностями, и рассмотреть условия устойчивости. Они дают разновидности колчана, построенные Кингом (1994) .

Теорема Габриэля

Колчан называется конечным типом , если он имеет лишь конечное число классов изоморфизма неразложимых представлений . Габриэль (1972) классифицировал все колчаны конечного типа, а также их неразложимые представления. Точнее, теорема Габриэля утверждает, что:

(Связный) колчан имеет конечный тип тогда и только тогда, когда его основной граф (когда направления стрелок игнорируются) является одной из ADE Дынкина : $An диаграмм, D n, E 6, E 7, E 8$ .
Неразложимые представления находятся во взаимно однозначном соответствии с положительными корнями системы корней диаграммы Дынкина.

Длаб и Рингель (1973) нашли обобщение теоремы Габриэля, в котором встречаются все диаграммы Дынкина конечномерных полупростых алгебр Ли. обобщил это на все колчаны и соответствующие им алгебры Каца – Муди Виктор Кац .

См. также

Классификация ADE
Категория клея
Теория сборки
Графовая алгебра
Групповое кольцо
Алгебра инцидентности
Диаграмма колчана
Полуинвариант колчана
Торическая разновидность
Производная некоммутативная алгебраическая геометрия . Колчаны помогают кодировать данные производных некоммутативных схем.

Ссылки

^ Дерксен, Харм; Вейман, Ежи; Зелевинский, Андрей (21 апреля 2008 г.), Колчаны с потенциалами и их представления I: Мутации , arXiv : 0704.0649 . Опубликовано в журнале J. Amer. Математика. Соц. 23 (2010), с. 749-790.

Книги

Кириллов, Александр (2016), Представления колчана и разновидности колчана , Американское математическое общество, ISBN 978-1-4704-2307-0

Конспекты лекций

Кроули-Бови, Уильям, Лекции по представлениям колчанов (PDF) , заархивировано из оригинала 20 августа 2017 г. {{citation}}: CS1 maint: bot: исходный статус URL неизвестен ( ссылка )
Представления колчана в торической геометрии

Исследовать

Проективные торические многообразия как тонкие пространства модулей колчанных представлений

Источники

Дерксен, Харм; Вейман, Ежи (февраль 2005 г.), «Представления колчана» (PDF) , Уведомления Американского математического общества , 52 (2)
Длаб, Властимил; Рингель, Клаус Майкл (1973), Об алгебрах конечного типа представления , Конспекты лекций по математике Карлтона, том. 2, факультет математики, Карлтонский университет, Оттава, Онтарио, MR 0347907
Кроули-Бови, Уильям (1992), Заметки о представлениях колчана (PDF) , Оксфордский университет , заархивировано из оригинала (PDF) 24 июля 2011 г. , получено 17 февраля 2007 г.
Габриэль, Питер (1972), «Неразложимые представления. I», Manuscripta Mathematica , 6 (1): 71–103, doi : 10.1007/BF01298413 , ISSN 0025-2611 , MR 0332887 .
Виктор Кац, «Корневые системы, представления колчанов и теория инвариантов» . Теория инвариантов (Montecatini, 1982) , стр. 74–108, Конспекты лекций по математике. 996, Шпрингер-Верлаг, Берлин, 1983. ISBN 3-540-12319-9 ^[1]
Кинг, Аластер (1994), «Модули представлений конечномерных алгебр», Quart. Дж. Математика. , 45 (180): 515–530, doi : 10.1093/qmath/45.4.515
Сэвидж, Алистер (2006) [2005], «Конечномерные алгебры и колчаны», Франсуаза, Ж.-П.; Набер, ГЛ; Цоу, С.Т. (ред.), Энциклопедия математической физики , том. 2, Elsevier, стр. 313–320, arXiv : math/0505082 , Bibcode : 2005math......5082S
Симсон, Дэниел; Сковронский, Анджей; Асем, Ибрагим (2007), Элементы теории представлений ассоциативных алгебр , Cambridge University Press , ISBN 978-0-521-88218-7
Бернштейн, Индиана; Гельфанд, И.М.; Пономарев В.А., "Функторы Кокстера и теорема Габриэля", Успехи матем. Наук 28 (1973), вып. 2 (170), 19–33. Перевод на сайте Бернштейна .
Колчан в n Lab

^ Герарделли, Франческо; Международный летний математический центр, ред. (1983). Теория инвариантов: материалы 1-й сессии Международного математического центра (CIME) 1982 г., состоявшейся в Монтекатини, Италия, 10-18 июня 1982 г. Конспекты лекций по математике. Берлин Гейдельберг: Springer. ISBN 978-3-540-12319-4 .

[1] Дерксен, Харм; Вейман, Ежи; Зелевинский, Андрей (21 апреля 2008 г.), Колчаны с потенциалами и их представления I: Мутации , arXiv : 0704.0649 . Опубликовано в журнале J. Amer. Математика. Соц. 23 (2010), с. 749-790.

[2] Герарделли, Франческо; Международный летний математический центр, ред. (1983). Теория инвариантов: материалы 1-й сессии Международного математического центра (CIME) 1982 г., состоявшейся в Монтекатини, Италия, 10-18 июня 1982 г. Конспекты лекций по математике. Берлин Гейдельберг: Springer. ISBN 978-3-540-12319-4 .

[1]

[1]