Полуинвариант колчана

учитывая колчан Q с набором вершин Q ₀ и набором стрел Q ₁ , представление Q сопоставляет векторное пространство Vi _{В математике ,} каждой вершине и линейное отображение V ( α ): V ( s ( α )) → V ( t ( α )) каждой стрелке α , где s ( α ), t ( α ) — соответственно начальная и конечная вершины α. Учитывая элемент d ∈ $\mathbb {N}$ ^{Вопрос ₀}, множество представлений Q с dim V _i = d (i) для каждого i имеет структуру векторного пространства.

Естественным образом она наделяется действием алгебраической группы Π _{iεQ ₀} GL( d ( i )) путем одновременной замены базы. Такое действие индуцирует на кольце функций. Те, которые являются инвариантами с точностью до характера группы, называются полуинвариантами . Они образуют кольцо, структура которого отражает теоретико-представительные свойства колчана .

Определения

Пусть Q = (Q ₀ ,Q ₁ , s , t ) — колчан . Рассмотрим размерный вектор d , который является элементом в $\mathbb {N}$ ^{Вопрос ₀}. Набор d -мерных представлений имеет вид

\operatorname {Rep} (Q,\mathbf {d} ):=\{V\in \operatorname {Rep} (Q):V_{i}=\mathbf {d} (i)\}

После фиксирования базисов для каждого векторного пространства V _i его можно идентифицировать с векторным пространством

\bigoplus _{\alpha \in Q_{1}}\operatorname {Hom} _{k}(k^{\mathbf {d} (s(\alpha ))},k^{\mathbf {d} (t(\alpha ))})

Такое аффинное многообразие наделяется действием алгебраической группы GL( d ) := Π _{i ∈ Q ₀} GL( d ( i )) путем одновременной замены базы на каждой вершине:

{\begin{array}{ccc}GL(\mathbf {d} )\times \operatorname {Rep} (Q,\mathbf {d} )&\longrightarrow &\operatorname {Rep} (Q,\mathbf {d} )\\{\Big (}(g_{i}),(V_{i},V(\alpha )){\Big )}&\longmapsto &(V_{i},g_{t(\alpha )}\cdot V(\alpha )\cdot g_{s(\alpha )}^{-1})\end{array}}

По определению два модуля M , N ∈ Rep(Q, d ) изоморфны тогда и только тогда, когда их GL( d )-орбиты совпадают.

У нас есть индуцированное действие на координатное кольцо k [Rep(Q, d )], определив:

{\begin{array}{ccc}GL(\mathbf {d} )\times k[\operatorname {Rep} (Q,\mathbf {d} )]&\longrightarrow &k[\operatorname {Rep} (Q,\mathbf {d} )]\\(g,f)&\longmapsto &g\cdot f(-):=f(g^{-1}.-)\end{array}}

Полиномиальные инварианты

Элемент f ∈ k [Rep(Q, d )] называется инвариантом (относительно GL( d )), если g ⋅ f = f для любого g ∈ GL( d ). Набор инвариантов

I(Q,\mathbf {d} ):=k[\operatorname {Rep} (Q,\mathbf {d} )]^{GL(\mathbf {d} )}

вообще говоря, является подалгеброй в k [Rep(Q, d )].

Пример

Рассмотрим однопетлевой колчан Q:

Для d = ( n ) пространством представления является End( k ^н) и действие GL( n ) задается обычным сопряжением. Инвариантное кольцо

I(Q,\mathbf {d} )=k[c_{1},\ldots ,c_{n}]

где c _i s определены, для любого A ∈ End( k ^н), как коэффициенты характеристического многочлена

\det(A-t\mathbb {I} )=t^{n}-c_{1}(A)t^{n-1}+\cdots +(-1)^{n}c_{n}(A)

Полуинварианты

В случае, когда Q не имеет ни петель, ни циклов, многообразие k [Rep(Q, d )] имеет единственную замкнутую орбиту, соответствующую единственному d -мерному полупростому представлению, поэтому любая инвариантная функция постоянна.

Элементы, инварианты относительно подгруппы SL( d ) := Π _{{ i ∈ Q ₀ }} SL( d ( i )) образуют кольцо SI(Q, d ) с более богатой структурой, называемой кольцом полуинвариантов. . Он разлагается как

SI(Q,\mathbf {d} )=\bigoplus _{\sigma \in \mathbb {Z} ^{Q_{0}}}SI(Q,\mathbf {d} )_{\sigma }

где

SI(Q,\mathbf {d} )_{\sigma }:=\{f\in k[\operatorname {Rep} (Q,\mathbf {d} )]:g\cdot f=\prod _{i\in Q_{0}}\det(g_{i})^{\sigma _{i}}f,\forall g\in GL(\mathbf {d} )\}.

Функция, принадлежащая SI(Q, d ) _σ, называется полуинвариантом веса σ .

Пример

Рассмотрим колчан Q:

1{\xrightarrow {\ \ \alpha \ }}2

Зафиксировать d = ( n , n ). В этом случае k [Rep( Q ,( n , n ))] конгруэнтно множеству квадратных матриц размера n : M ( n ). Функция, определенная для любого B ∈ M ( n ), как det ^в( B ( α )) является полуинвариантом веса ( u ,− u ) фактически

(g_{1},g_{2})\cdot {\det }^{u}(B)={\det }^{u}(g_{2}^{-1}Bg_{1})={\det }^{u}(g_{1}){\det }^{-u}(g_{2}){\det }^{u}(B)

Кольцо полуинвариантов равно кольцу полиномов, порожденному det, т.е.

{\mathsf {SI}}(Q,\mathbf {d} )=k[\det ]

Характеристика типа представления с помощью теории полуинвариантов

Для колчанов конечного типа представления, то есть колчанов Дынкина , векторное пространство k [Rep(Q, d )] допускает открытую плотную орбиту. Другими словами, это предоднородное векторное пространство . Сато и Кимура в таком случае описали кольцо полуинвариантов.

Теорема Сато – Кимуры

Пусть Q — колчан Дынкина , d — размерный вектор. Пусть Σ — набор весов σ такой, что существует f _σ ∈ SI(Q, d ) _σ, ненулевой и неприводимый. Тогда справедливы следующие свойства.

i) Для каждого веса σ имеем dim _k SI(Q, d ) _σ ≤ 1.

ii) Все веса в Σ линейно независимы над $\mathbb {Q}$ .

iii) SI(Q, d ) — кольцо полиномов, порожденное f _σ 's, σ ∈ Σ.

Более того, у нас есть интерпретация генераторов этой полиномиальной алгебры. Пусть O — открытая орбита, тогда k [Rep(Q, d )] \ O = Z ₁ ∪ ... ∪ Z _t , где каждый Z _i замкнут и неприводим. Можно предположить, что Z _i расположены в порядке возрастания коразмерности так, что первые l имеют коразмерность единица, а Z _i является множеством нулей неприводимого многочлена f ₁ , тогда SI(Q, d ) = k [ ж ₁ , ..., ж _л ].

Пример

В приведенном выше примере действие GL( n , n ) имеет открытую орбиту на M ( n ), состоящую из обратимых матриц. Тогда мы сразу восстанавливаем SI(Q,( n , n )) = k [det].

Сковронский-Вейман дал геометрическую характеристику класса ручных колчанов (т. е. колчанов Дынкина и Евклида ) в терминах полуинвариантов.

Теорема Сковронского – Веймана.

Пусть Q — конечный связный колчан. Следующие действия эквивалентны:

и) Q — либо колчан Дынкина , либо колчан Евклида .

ii) Для каждого размерного вектора d алгебра SI(Q, d ) является полным пересечением.

iii) Для каждого размерного вектора d алгебра SI(Q, d ) является либо алгеброй полиномов, либо гиперповерхностью.

Пример

Рассмотрим евклидов колчан Q:

Выберите вектор размерности d = (1,1,1,1,2). Элемент V ∈ k [Rep(Q, d )] можно отождествить с четверкой ( A ₁ , A ₂ , A ₃ , A ₄ ) матриц из M (1,2). Назовите D _{i , j} функцию, определенную для каждого V как det( A _i , A _j ). Такие функции порождают кольцо полуинвариантов:

SI(Q,\mathbf {d} )={\frac {k[D_{1,2},D_{3,4},D_{1,4},D_{2,3},D_{1,3},D_{2,4}]}{D_{1,2}D_{3,4}+D_{1,4}D_{2,3}-D_{1,3}D_{2,4}}}

См. также

Дикая проблема

Ссылки

Дерксен, Х.; Вейман, Дж. (2000), «Полуинварианты колчанов и насыщения для коэффициентов Литтлвуда – Ричардсона». , Дж. Амер. Математика. Соц. , 3 (13): 467–479, doi : 10.1090/S0894-0347-00-00331-3 , MR 1758750
Сато, М.; Кимура, Т. (1977), «Классификация неприводимых предоднородных векторных пространств и их относительных инвариантов». , Нагоя Матем. Ж. , 65 : 1–155, doi : 10.1017/S0027763000017633 , MR 0430336
Сковронский, А.; Вейман, Дж. (2000), «Алгебры полуинвариантов колчанов», Transform. Группы , 5 (4): 361–402, doi : 10.1007/bf01234798 , MR 1800533 , S2CID 120708005