Jump to content

Предпучок (теория категорий)

(Перенаправлено из категории предшкивов )

В теории категорий , разделе математики , предпучок категории . является функтором . Если является частично упорядоченным множеством открытых множеств в топологическом пространстве , интерпретируемом как категория, то восстанавливается обычное понятие предпучка в топологическом пространстве.

Морфизм предпучков определяется как естественное преобразование функторов. Это делает сбор всех предшкивов на в категорию и является примером категории функтора . Часто пишут как . Функтор в иногда называют профунктором .

Предпучок, естественно изоморфный контравариантному hom-функтору Hom(–, A ) для некоторого объекта A из C, называется представимым предпучком .

Некоторые авторы ссылаются на функтор как -значный предпучок . [1]

Характеристики

[ редактировать ]

Универсальная собственность

[ редактировать ]

Строительство называется копредельным пополнением C : за следующего универсального свойства из -

Предложение [3] Пусть C , D — категории, и предположим, что D допускает малые копределы. Тогда каждый функтор факторизуется как

где y — вложение Йонеды и - это единственный с точностью до изоморфизма функтор, сохраняющий копредел, называемый Йонеды расширением .

Доказательство : Учитывая предпучок F , по теореме о плотности мы можем написать где в C. являются объектами Тогда пусть который существует по предположению. С является функтором, это определяет функтор . Кратко, является левым кановским расширением вдоль y ; отсюда и название «расширение Йонеда». Чтобы увидеть коммутирует с малыми копределами, мы покажем является левосопряженным (к некоторому функтору). Определять быть функтором, заданным следующим образом: для каждого объекта M в D и каждого объекта U в C ,

Тогда для каждого объекта M в D , поскольку по лемме Йонеды имеем:

то есть является левосопряженным к .

Это предложение приводит к нескольким следствиям. Например, из предложения следует, что конструкция является функториальным: т. е. каждый функтор определяет функтор .

Варианты

[ редактировать ]

Предпучок пространств на ∞-категории C — контравариантный функтор из C в ∞-категорию пространств (например, нерв категории CW-комплексов ). [4] Это ∞-категории версия предпучка множеств для , поскольку «набор» заменяется «пробелом». Это понятие используется, среди прочего, в формулировке ∞-категории леммы Йонеды , которая гласит: полностью точен (здесь C может быть просто симплициальным множеством ). [5]

См. также

[ редактировать ]

Примечания

[ редактировать ]
  1. ^ лемма Ко-Йонеды в n Lab
  2. ^ Кашивара и Шапира 2005 , Следствие 2.4.3.
  3. ^ Кашивара и Шапира 2005 , Предложение 2.7.1.
  4. ^ Лурье , Определение 1.2.16.1.
  5. ^ Лурье , Предложение 5.1.3.1.
  • Касивара, Масаки ; Шапира, Пьер (2005). Категории и пучки . Основные принципы математических наук. Том 332. Спрингер. ISBN  978-3-540-27950-1 .
  • Лурье, Дж. Теория высшего топоса .
  • Мак Лейн, Сондерс ; Мурдейк, Ике (1992). Пучки в геометрии и логике . Спрингер. ISBN  0-387-97710-4 .

Дальнейшее чтение

[ редактировать ]
Arc.Ask3.Ru: конец переведенного документа.
Arc.Ask3.Ru
Номер скриншота №: f1e15ad7aacdc43084d2cfcf0c68d2c4__1709568600
URL1:https://arc.ask3.ru/arc/aa/f1/c4/f1e15ad7aacdc43084d2cfcf0c68d2c4.html
Заголовок, (Title) документа по адресу, URL1:
Presheaf (category theory) - Wikipedia
Данный printscreen веб страницы (снимок веб страницы, скриншот веб страницы), визуально-программная копия документа расположенного по адресу URL1 и сохраненная в файл, имеет: квалифицированную, усовершенствованную (подтверждены: метки времени, валидность сертификата), открепленную ЭЦП (приложена к данному файлу), что может быть использовано для подтверждения содержания и факта существования документа в этот момент времени. Права на данный скриншот принадлежат администрации Ask3.ru, использование в качестве доказательства только с письменного разрешения правообладателя скриншота. Администрация Ask3.ru не несет ответственности за информацию размещенную на данном скриншоте. Права на прочие зарегистрированные элементы любого права, изображенные на снимках принадлежат их владельцам. Качество перевода предоставляется как есть. Любые претензии, иски не могут быть предъявлены. Если вы не согласны с любым пунктом перечисленным выше, вы не можете использовать данный сайт и информация размещенную на нем (сайте/странице), немедленно покиньте данный сайт. В случае нарушения любого пункта перечисленного выше, штраф 55! (Пятьдесят пять факториал, Денежную единицу (имеющую самостоятельную стоимость) можете выбрать самостоятельно, выплаичвается товарами в течение 7 дней с момента нарушения.)