Предпучок (теория категорий)
В теории категорий , разделе математики , предпучок категории . является функтором . Если является частично упорядоченным множеством открытых множеств в топологическом пространстве , интерпретируемом как категория, то восстанавливается обычное понятие предпучка в топологическом пространстве.
Морфизм предпучков определяется как естественное преобразование функторов. Это делает сбор всех предшкивов на в категорию и является примером категории функтора . Часто пишут как . Функтор в иногда называют профунктором .
Предпучок, естественно изоморфный контравариантному hom-функтору Hom(–, A ) для некоторого объекта A из C, называется представимым предпучком .
Некоторые авторы ссылаются на функтор как -значный предпучок . [1]
Примеры
[ редактировать ]- — Симплициальное множество это предпучок со значением Set в симплексной категории. .
Характеристики
[ редактировать ]- Когда — небольшая категория , категория функтора является декартово замкнутым .
- Помножество подобъектов образуют алгебру Гейтинга всякий раз, когда является объектом для маленьких .
- Для любого морфизма из , функтор обратного движения подобъектов имеет правый сопряженный , обозначаемый , и левый сопряженный, . Это универсальные и экзистенциальные кванторы.
- Локально небольшая категория вписывается полностью и достоверно в категорию предпучков с множеством значений через вложение Йонеды , которое для каждого объекта из связывает функтор hom .
- Категория допускает малые пределы и малые копределы . [2] См. предел и копредел предпучков для дальнейшего обсуждения.
- Теорема плотности утверждает, что каждый предпучок является копределом представимых предпучков; фактически, является копредельным завершением (см. свойство #Universal ниже.)
Универсальная собственность
[ редактировать ]Строительство называется копредельным пополнением C : за следующего универсального свойства из -
Предложение [3] — Пусть C , D — категории, и предположим, что D допускает малые копределы. Тогда каждый функтор факторизуется как
где y — вложение Йонеды и - это единственный с точностью до изоморфизма функтор, сохраняющий копредел, называемый Йонеды расширением .
Доказательство : Учитывая предпучок F , по теореме о плотности мы можем написать где в C. являются объектами Тогда пусть который существует по предположению. С является функтором, это определяет функтор . Кратко, является левым кановским расширением вдоль y ; отсюда и название «расширение Йонеда». Чтобы увидеть коммутирует с малыми копределами, мы покажем является левосопряженным (к некоторому функтору). Определять быть функтором, заданным следующим образом: для каждого объекта M в D и каждого объекта U в C ,
Тогда для каждого объекта M в D , поскольку по лемме Йонеды имеем:
то есть является левосопряженным к .
Это предложение приводит к нескольким следствиям. Например, из предложения следует, что конструкция является функториальным: т. е. каждый функтор определяет функтор .
Варианты
[ редактировать ]Предпучок пространств на ∞-категории C — контравариантный функтор из C в ∞-категорию пространств (например, нерв категории CW-комплексов ). [4] Это ∞-категории версия предпучка множеств для , поскольку «набор» заменяется «пробелом». Это понятие используется, среди прочего, в формулировке ∞-категории леммы Йонеды , которая гласит: полностью точен (здесь C может быть просто симплициальным множеством ). [5]
См. также
[ редактировать ]- Топос
- Категория элементов
- Симплициальный предпучок (это понятие получается заменой «множества» на «симплициальное множество»)
- Предварительный пучок с передачами
Примечания
[ редактировать ]- ^ лемма Ко-Йонеды в n Lab
- ^ Кашивара и Шапира 2005 , Следствие 2.4.3.
- ^ Кашивара и Шапира 2005 , Предложение 2.7.1.
- ^ Лурье , Определение 1.2.16.1.
- ^ Лурье , Предложение 5.1.3.1.
Ссылки
[ редактировать ]- Касивара, Масаки ; Шапира, Пьер (2005). Категории и пучки . Основные принципы математических наук. Том 332. Спрингер. ISBN 978-3-540-27950-1 .
- Лурье, Дж. Теория высшего топоса .
- Мак Лейн, Сондерс ; Мурдейк, Ике (1992). Пучки в геометрии и логике . Спрингер. ISBN 0-387-97710-4 .
Дальнейшее чтение
[ редактировать ]- Предварительный пучок в n Lab
- Бесплатное дозавершение в n Lab
- Дэниел Даггер, Пучки и гомотопическая теория , файл в формате PDF , предоставленный nlab.