Предел и копредел предпучков

В теории категорий , разделе математики, предел или копредел предпучков . в категории C является пределом или копределом в категории функтора ${\widehat {C}}=\mathbf {Fct} (C^{\text{op}},\mathbf {Set} )$ . ^[1]

Категория ${\widehat {C}}$ допускает малые пределы и малые копределы . ^[2] Явно, если $f:I\to {\widehat {C}}$ — функтор из небольшой категории I , а U — объект в C , то $\varinjlim _{i\in I}f(i)$ вычисляется точечно:

(\varinjlim f(i))(U)=\varinjlim f(i)(U).

То же самое справедливо и для небольших лимитов. Конкретно это означает, что, например, произведение расслоений существует и вычисляется поточечно.

Когда C мало, по лемме Йонеды можно рассматривать C как полную подкатегорию ${\widehat {C}}$ . Если $\eta :C\to D$ является функтором, если $f:I\to C$ является функтором малой категории I , и если копредел $\varinjlim f$ в ${\widehat {C}}$ является представительным; т. е. изоморфен объекту в C , тогда ^[3] в Д ,

\eta (\varinjlim f)\simeq \varinjlim \eta \circ f,

(в частности, копредел справа существует в D .)

Теорема плотности утверждает, что каждый предпучок является копределом представимых предпучков.

Примечания [ править ]

^ Примечания к основе : обозначение Set неявно предполагает, что существует понятие малого множества; т.е. мы сделали выбор в пользу вселенной Гротендика .
^ Кашивара и Шапира 2006 , Следствие 2.4.3.
^ Кашивара и Шапира 2006 , Предложение 2.6.4.

Ссылки [ править ]

Касивара, Масаки ; Шапира, Пьер (2006). Категории и пучки .

Эта теории категорий статья, посвященная , незавершена . Вы можете помочь Википедии, расширив ее .

[1] Примечания к основе : обозначение Set неявно предполагает, что существует понятие малого множества; т.е. мы сделали выбор в пользу вселенной Гротендика .

[2] Кашивара и Шапира 2006 , Следствие 2.4.3.

[3] Кашивара и Шапира 2006 , Предложение 2.6.4.

[1]

[2]

[3]