Представимый функтор

В математике , в частности в теории категорий , представимый функтор — это некоторый функтор из произвольной категории в категорию множеств . Такие функторы дают представление абстрактной категории в терминах известных структур (т.е. множеств и функций ), позволяя использовать, насколько это возможно, знания о категории множеств в других условиях.

С другой точки зрения, представимые функторы для категории C — это функторы заданные через C. , Их теория представляет собой обширное обобщение верхних множеств в частично упорядоченных множествах , а теорема о представимости Йонеды обобщает теорему Кэли в теории групп .

Определение

Пусть C — локально малая категория , а Set — категория множеств . Для каждого объекта A из C пусть Hom( A ,–) будет функтором hom , который отображает объект X в множество Hom( A , X ).

Функтор естественно F : C → Set называется представимым, если он изоморфен Hom( A ,–) для некоторого объекта A из C . Представлением где F , является пара ( A Φ),

Φ : Home( A ,–) → F

является естественным изоморфизмом.

G Контравариантный функтор из C в Set — это то же самое, что и функтор G : C. ^на → Набор и обычно называется предпучком . Предпучок представим, если он естественно изоморфен контравариантному hom-функтору Hom(–, A ) для некоторого объекта A из C .

Универсальные элементы

Согласно лемме Йонеды , естественные преобразования из Hom( A ,–) в F находятся во взаимно однозначном соответствии с элементами F ( A ). Учитывая естественное преобразование Φ : Hom( A ,–) → F, соответствующий элемент u ∈ F ( A ) задается формулой

u=\Phi _{A}(\mathrm {id} _{A}).\,

И наоборот, для любого элемента u ∈ F ( A ) мы можем определить естественное преобразование Φ : Hom( A ,–) → F через

\Phi _{X}(f)=(Ff)(u)\,

где f — элемент Hom( A , X ). Чтобы получить представление F, мы хотим знать, является ли естественное преобразование, индуцированное u , изоморфизмом. Это приводит к следующему определению:

Универсальным элементом функтора F : C → Set называется пара ( A , u ), состоящая из объекта A из C и элемента u ∈ F ( A ), такая, что для каждой пары ( X , v ), состоящей из объекта X C : и элемента v ∈ F ( X ) существует единственный морфизм f Ff A → X такой, что ( u )( ) = v .

Универсальный элемент можно рассматривать как морфизм одноточечного множества {•} в функтор F или как исходный объект в категории элементов F универсальный .

Естественное преобразование, индуцированное элементом u ∈ F ( A ), является изоморфизмом тогда и только тогда, когда ( , u ) является универсальным элементом F. A Поэтому мы заключаем, что представления F находятся во взаимно однозначном соответствии с универсальными элементами F . ) принято называть По этой причине универсальные элементы ( A , u представлениями.

Примеры

Функтор , представленный схемой А, иногда может описывать семейства геометрических объектов . Например, векторные расслоения ранга k над данным алгебраическим многообразием или схемой X соответствуют алгебраическим морфизмам. $X\to A$ где A — грассманиан -плоскостей k в многомерном пространстве. Также некоторые типы подсхем представлены схемами Гильберта .
Пусть C — категория CW-комплексов с морфизмами, заданными гомотопическими классами непрерывных функций. Для каждого натурального числа n существует контравариантный функтор H ^н : C → Ab , который присваивает каждому CW-комплексу свое n ^й группа когомологий (с целыми коэффициентами). Объединив это с функтором забывчивости, мы имеем контравариантный функтор от C до Set . Теорема Брауна о представимости в алгебраической топологии говорит, что этот функтор представлен CW-комплексом K ( Z , n ), называемым пространством Эйленберга – Маклейна .
Рассмотрим контравариантный функтор P : Set → Set , который отображает каждое множество в его набор степеней , а каждую функцию в ее прообраз . Чтобы представить этот функтор, нам нужна пара ( A , u ), где A — множество, а u — подмножество A , т. е. элемент P ( A ), такая, что для всех множеств X hom-множество Hom( X , A ) изоморфен P ( X ) через Φ _X ( f ) = ( Pf ) u = f ⁻¹( ты ). Возьмем A = {0,1} и u = {1}. Для подмножества S ⊆ X функция от X до A является характеристической функцией S соответствующая .
Забывчивые функторы очень Set часто представимы. В частности, забывчивый функтор представляется ( A , u ), когда A является свободным объектом над одноэлементным множеством с генератором u .
- Функтор забвения Grp → Set в категории групп представлен ( Z , 1).
- Функтор забывчивости Ring → Set в категории колец представлен ( Z [ x ], x ), кольцом полиномов от одной переменной с целыми коэффициентами .
- Функтор забвения Vect → Set в категории вещественных векторных пространств представлен ( R , 1).
- Функтор забывания Top → Set на категории топологических пространств представлен любым одноэлементным топологическим пространством со своим уникальным элементом.
Группу G ) можно рассматривать как категорию (даже группоид с одним объектом, который мы обозначаем символом •. Функтор из G в Set тогда соответствует G -множеству . Единственный hom-функтор Hom(•,–) из G в Set соответствует каноническому G -множеству G с действием левого умножения. Стандартные аргументы теории групп показывают, что функтор из G в Set представим тогда и только тогда, когда соответствующее G -множество просто транзитивно (т.е. G -торсор или куча ). Выбор представления равнозначен выбору идентификатора для кучи.
Пусть R — коммутативное кольцо с единицей и R — Mod — категория R -модулей. Если M и N — унитарные модули над R , существует ковариантный функтор B : R - Mod → Set , который ставит в соответствие каждому R -модулю P множество R -билинейных отображений M × N → P и каждому R гомоморфизму -модуля f. : P → Q функция B ( f ): B ( P ) → ( Q ) , которая переводит каждое билинейное отображение g : M × N → P в билинейное отображение f ∘ g : M × N → Q. B Функтор B представляется R -модулем M ⊗ _RN . ^[1]

Аналогия: представимые функционалы.

Рассмотрим линейный функционал в комплексном гильбертовом пространстве H , т. е. линейную функцию $F:H\to \mathbb {C}$ . Теорема о представлении Рисса утверждает, что если F непрерывен, то существует единственный элемент $a\in H$ который представляет F в том смысле, что F равен функциональному скалярному продукту $\langle a,-\rangle$ , то есть $F(v)=\langle a,v\rangle$ для $v\in H$ .

Например, непрерывные линейные функционалы в интегрируемом с квадратом функциональном пространстве $H=L^{2}(\mathbb {R} )$ все представимы в виде $\textstyle F(v)=\langle a,v\rangle =\int _{\mathbb {R} }a(x)v(x)\,dx$ за уникальную функцию $a(x)\in H$ . Теория распределений рассматривает более общие непрерывные функционалы на пространстве основных функций. $C=C_{c}^{\infty }(\mathbb {R} )$ . Такой функционал распределения не обязательно может быть представлен функцией, но интуитивно его можно рассматривать как обобщенную функцию. Например, дельта-функция Дирака — это распределение, определяемое формулой $F(v)=v(0)$ для каждой тестовой функции $v(x)\in C$ , и его можно рассматривать как «представленное» бесконечно высокой и тонкой функцией выступа вблизи $x=0$ .

Таким образом, функция $a(x)$ может определяться не его значениями, а его влиянием на другие функции через внутренний продукт. Аналогично, объект A в категории может характеризоваться не своими внутренними свойствами, а своим функтором точек , т.е. его отношением к другим объектам через морфизмы. Подобно тому, как непредставимые функционалы описываются распределениями, непредставимые функторы могут быть описаны более сложными структурами, такими как стеки .

Характеристики

Уникальность

Представления функторов единственны с точностью до единственного изоморфизма. То есть, если ( A ₁ , Φ ₁ ) и ( A ₂ , Φ ₂ ) представляют один и тот же функтор, то существует единственный изоморфизм φ : A ₁ → A ₂ такой, что

\Phi _{1}^{-1}\circ \Phi _{2}=\mathrm {Hom} (\varphi ,-)

как естественные изоморфизмы Hom( A ₂ ,–) в Hom( A ₁ ,–). Этот факт легко следует из леммы Йонеды .

Сформулировано в терминах универсальных элементов: если ( A ₁ , u ₁ ) и ( A ₂ , u ₂ ) представляют один и тот же функтор, то существует единственный изоморфизм φ : A ₁ → A ₂ такой, что

(F\varphi )u_{1}=u_{2}.

Сохранение ограничений

Представимые функторы естественно изоморфны функторам Hom и, следовательно, разделяют их свойства. В частности, (ковариантные) представимые функторы сохраняют все пределы . Отсюда следует, что любой функтор, не сохраняющий некоторого предела, не представим.

Контравариантные представимые функторы переводят копределы в пределы.

Левый примыкающий

Любой функтор K : C → Set с левым сопряженным F : Set → C представляется как ( FX , η _X (•)) где X = {•} — одноэлементное множество , а η — единица присоединения.

И наоборот, если K представлен парой ( A , u ) и все малые костепни A A существуют в C , то K имеет левое сопряженное F , которое отправляет каждое множество I в I ю костепень - .

Следовательно, если C — категория со всеми малыми костепнями, функтор K : C → Set представим тогда и только тогда, когда он имеет левый сопряженный.

Связь с универсальными морфизмами и сопряженными.

Категорические понятия универсальных морфизмов и присоединенных функторов могут быть выражены с помощью представимых функторов.

Пусть G : D → C — функтор и X объект C. — Тогда ( A ,φ) является универсальным морфизмом из X в G тогда и только тогда, когда ( A ,φ) является представлением функтора Hom _C ( X , G – ) из D в Set . Отсюда следует, что G имеет левосопряженный F тогда и только тогда, когда Hom _C ( X , G –) представима для всех X в C . Естественный изоморфизм Φ _X : Hom _D ( FX ,–) → Hom _C ( X , G –) дает сопряженность; то есть

\Phi _{X,Y}\colon \mathrm {Hom} _{\mathcal {D}}(FX,Y)\to \mathrm {Hom} _{\mathcal {C}}(X,GY)

является биекцией для всех X и Y .

Двойные утверждения также верны. Пусть F : C → D — функтор и пусть — объект D. Y Тогда ( A ,φ) является универсальным морфизмом из F в Y тогда и только тогда, когда ( A ,φ) является представлением функтора Hom _D ( F –, Y ) из C в Set . Отсюда следует, что F имеет правосопряженный G тогда и только тогда, когда Hom _D ( F –, Y ) представим для всех Y в D . ^[2]

См. также

Ссылки

^ Хангерфорд, Томас. Алгебра . Издательство Спрингер. п. 470. ИСБН 3-540-90518-9 .
^ Нурани, Сайрус. Теория функториальных моделей: новые приложения к алгебраической топологии, описательным наборам и вычислительным категориям топос . ЦРК Пресс. п. 28. ISBN 1482231506 .

Мак Лейн, Сондерс (1998). Категории для работающего математика . Тексты для аспирантов по математике 5 (2-е изд.). Спрингер. ISBN 0-387-98403-8 .

[1] Хангерфорд, Томас. Алгебра . Издательство Спрингер. п. 470. ИСБН 3-540-90518-9 .

[2] Нурани, Сайрус. Теория функториальных моделей: новые приложения к алгебраической топологии, описательным наборам и вычислительным категориям топос . ЦРК Пресс. п. 28. ISBN 1482231506 .

[1]

[2]