Категория модулей
В алгебре для данного кольца R категория левых модулей над R — это категория которой , объектами являются все левые модули над R и чьи морфизмы являются всеми гомоморфизмами модулей между левыми R -модулями. Например, когда R — кольцо целых чисел Z , это то же самое, что и категория абелевых групп . категория правых модулей Аналогично определяется .
Можно также определить категорию бимодулей над кольцом R, но эта категория эквивалентна категории левых (или правых) модулей над обертывающей алгеброй R ( или над противоположной ей).
Примечание. Некоторые авторы используют термин «категория модуля» для обозначения категории модулей. Этот термин может быть неоднозначным, поскольку он также может относиться к категории с действием моноидальной категории . [1]
Характеристики
[ редактировать ]Категории левого и правого модулей являются абелевыми категориями . Эти категории имеют достаточно проективов [2] и достаточно инъекций . [3] Теорема вложения Митчелла утверждает, что каждая абелева категория возникает как полная подкатегория категории модулей над некоторым кольцом.
Проективные пределы и индуктивные пределы существуют в категориях левых и правых модулей. [4]
Над коммутативным кольцом вместе с тензорным произведением модулей ⊗ категория модулей является симметричной моноидальной категорией .
Объекты
[ редактировать ]![[икона]](http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/1/1c/Wiki_letter_w_cropped.svg/20px-Wiki_letter_w_cropped.svg.png){kind=small} | Этот раздел нуждается в расширении . Вы можете помочь, добавив к нему . ( март 2023 г. ) |
Моноидный объект категории модулей над коммутативным кольцом R является в точности ассоциативной алгеброй над R .
См. также: компактный объект (компактный объект в R -моде — это в точности конечно-представленный модуль).
Категория векторных пространств
[ редактировать ]Категория как K - Vect (некоторые авторы используют Vect K ) имеет все векторные пространства над полем K объекты, а K -линейные отображения как морфизмы. Поскольку векторные пространства над K (как поле) — это то же самое, что модули над кольцом K , K - Vect является частным случаем R - Mod (некоторые авторы используют Mod R ), категории левых R -модулей.
Большая часть линейной алгебры касается описания K - Vect . Например, размерности векторных пространств гласит, что изоморфизма в K - Vect точно соответствуют кардинальным числам и что K - Vect эквивалентна теорема о подкатегории , K Vect - классы объектами которой являются векторные пространства K н , где n — любое кардинальное число.
Обобщения
[ редактировать ]Категория пучков модулей над окольцованным пространством также имеет достаточное количество инъектив (хотя и не всегда достаточное количество проективных).
См. также
[ редактировать ]- Алгебраическая К-теория (важный инвариант категории модулей.)
- Категория колец
- Производная категория
- Спектр модулей
- Категория градуированных векторных пространств
- Категория абелевых групп
- Категория представительств
- Смена колец
- Эквивалентность Морита
Ссылки
[ редактировать ]- ^ «Категория модуля в nLab» . ncatlab.org .
- ^ тривиально, поскольку любой модуль является фактором свободного модуля.
- ^ Даммит и Фут , Гл. 10, теорема 38.
- ^ Бурбаки , § 6.
Библиография
[ редактировать ]- Бурбаки. «Линейная алгебра». Алгебра .
- Черт возьми, Дэвид; Фут, Ричард. Абстрактная алгебра .
- Мак Лейн, Сондерс (сентябрь 1998 г.). Категории для работающего математика . Тексты для аспирантов по математике . Том. 5 (второе изд.). Спрингер. ISBN 0-387-98403-8 . Збл 0906.18001 .
Внешние ссылки
[ редактировать ] | Эта линейной алгебре, статья, посвященная незавершена . Вы можете помочь Википедии, расширив ее . |