Коммутативная диаграмма
В математике , и особенно в теории категорий , коммутативная диаграмма — это диаграмма , в которой все направленные пути на диаграмме с одинаковыми началом и конечными точками приводят к одному и тому же результату. [1] Говорят, что коммутативные диаграммы играют в теории категорий ту же роль, что и уравнения в алгебре . [2]
Описание
[ редактировать ]Коммутативная диаграмма часто состоит из трех частей:
- объекты (также известные как вершины )
- морфизмы (также известные как стрелки или ребра )
- пути или композиции
Символы стрелок
[ редактировать ]В текстах по алгебре тип морфизма можно обозначать с помощью различных стрелок:
- Мономорфизм можно обозначить знаком [3] или . [4]
- Эпиморфизм может быть помечен знаком .
- Изоморфизм может быть помечен знаком .
- Пунктирная стрелка обычно представляет утверждение о том, что указанный морфизм существует (всякий раз, когда остальная часть диаграммы верна); стрелка может быть дополнительно обозначена как .
- Если морфизм к тому же уникален, то пунктирную стрелку можно обозначить или .
Значения различных стрелок не полностью стандартизированы: стрелки, используемые для мономорфизмов, эпиморфизмов и изоморфизмов, также используются для инъекций , сюръекций и биекций , а также корасслоений, расслоений и слабых эквивалентностей в модельной категории .
Проверка коммутативности
[ редактировать ]Коммутативность имеет смысл для многоугольника с любым конечным числом сторон (включая только 1 или 2), а диаграмма является коммутативной, если каждая многоугольная поддиаграмма коммутативна.
Обратите внимание, что диаграмма может быть некоммутативной, т. е. композиция разных путей на диаграмме может не давать одинаковый результат.
Примеры
[ редактировать ]Пример 1
[ редактировать ]В левой диаграмме, выражающей первую теорему об изоморфизме , коммутативность треугольника означает, что . На правой диаграмме коммутативность квадрата означает .
Пример 2
[ редактировать ]Чтобы приведенная ниже диаграмма была коммутируемой, должны выполняться три равенства:
Здесь, поскольку первое равенство следует из двух последних, достаточно показать, что (2) и (3) верны, чтобы диаграмма была коммутируемой. Однако, поскольку равенство (3), вообще говоря, не следует из двух других, то, как правило, недостаточно иметь только равенства (1) и (2), если нужно показать, что диаграмма коммутирует.
Погоня за диаграммой
[ редактировать ]Поиск диаграмм (также называемый диаграммным поиском ) — это метод математического доказательства, используемый особенно в гомологической алгебре , где устанавливается свойство некоторого морфизма, отслеживая элементы коммутативной диаграммы. Доказательство путем поиска диаграммы обычно включает формальное использование свойств диаграммы, таких как инъективные или сюръективные отображения или точные последовательности . [5] Строится силлогизм , для которого графическое отображение схемы является лишь наглядным пособием. Отсюда следует, что человек в конечном итоге «гоняется» за элементами по диаграмме, пока желаемый элемент или результат не будет построен или проверен.
Примеры доказательств с помощью поиска диаграмм включают те, которые обычно приводятся для леммы пяти , леммы о змее , леммы о зигзаге и леммы девяти .
В теории высших категорий
[ редактировать ]В теории высших категорий рассматриваются не только объекты и стрелки, но и стрелки между стрелками, стрелки между стрелками между стрелками и так далее до бесконечности . Например, категория малых категорий Cat , естественно, является 2-категорией с функторами в качестве стрелок и естественными преобразованиями в качестве стрелок между функторами. В этом случае коммутативные диаграммы также могут включать эти более высокие стрелки, которые часто изображаются в следующем стиле: . Например, следующая (несколько тривиальная) диаграмма изображает две категории C и D вместе с двумя функторами F , G : C → D и естественным преобразованием α : F ⇒ G :
В 2-категории есть два типа композиции (называемые вертикальной композицией и горизонтальной композицией ), и их также можно отобразить с помощью вставки диаграмм ( см. в разделе 2-category#Definition примеры ).
Диаграммы как функторы
[ редактировать ]Коммутативную диаграмму в категории C можно интерпретировать как функтор из индексной категории J в C; Функтор называют диаграммой .
Более формально, коммутативная диаграмма — это визуализация диаграммы, индексированной категорией частичного набора . Такая диаграмма обычно включает в себя:
- узел для каждого объекта в индексной категории,
- стрелка для порождающего набора морфизмов (без учета тождественных карт и морфизмов, которые могут быть выражены как композиции),
- коммутативность диаграммы (равенство различных композиций отображений между двумя объектами), соответствующая уникальности отображения между двумя объектами в категории ЧУМ.
И наоборот, учитывая коммутативную диаграмму, она определяет категорию частичного множества, где:
- объекты - это узлы,
- между любыми двумя объектами существует морфизм тогда и только тогда, когда между узлами существует (направленный) путь,
- с тем, что этот морфизм уникален (любая композиция отображений определяется ее областью определения и целью: это аксиома коммутативности).
Однако не каждая диаграмма коммутативна (понятие диаграммы строго обобщает коммутативную диаграмму). В качестве простого примера диаграмма одного объекта с эндоморфизмом ( ), или двумя параллельными стрелками ( , то есть, , иногда называемый свободным колчаном ), используемый в определении эквалайзера, не требует коммутации. Кроме того, диаграммы могут быть беспорядочными или их невозможно нарисовать, если количество объектов или морфизмов велико (или даже бесконечно).
См. также
[ редактировать ]Ссылки
[ редактировать ]- ^ Вайсштейн, Эрик В. «Коммутативная диаграмма» . mathworld.wolfram.com . Проверено 25 ноября 2019 г.
- ^ Маццола, Гуэрино; Мильмейстер, Жерар; Вайсманн, Джоди (2005). Комплексная математика для компьютерщиков 2 . Спрингер. п. 140. дои : 10.1007/b138337 . ISBN 978-3-540-26937-3 .
- ^ «Математика — Теория категорий — Стрела — Мартин Бейкер» . www.euclideanspace.com . Проверено 25 ноября 2019 г.
- ^ Рил, Эмили (17 ноября 2016 г.). «1». Теория категорий в контексте (PDF) . Дуврские публикации. п. 11.
- ^ Вайсштейн, Эрик В. «Погоня за диаграммами» . mathworld.wolfram.com . Проверено 25 ноября 2019 г.
Библиография
[ редактировать ]- Адамек, Иржи; Хорст Херрлих; Джордж Э. Шлитцер (1990). Абстрактные и конкретные категории (PDF) . Джон Уайли и сыновья. ISBN 0-471-60922-6 . Теперь доступно в виде бесплатного онлайн-издания (PDF, 4,2 МБ).
- Барр, Майкл ; Уэллс, Чарльз (2002). Топосы, тройки и теории (PDF) . Спрингер. ISBN 0-387-96115-1 . Пересмотренная и исправленная бесплатная онлайн-версия Basic Teachings of the Mathematical Sciences (278) Springer-Verlag, 1983).
Внешние ссылки
[ редактировать ]- Погоня за диаграммой в MathWorld
- WildCats — это пакет теории категорий для Mathematica . Манипулирование и визуализация объектов, морфизмов , категорий, функторов , естественных преобразований .