Jump to content

Коммутативная диаграмма

(Перенаправлено из диаграммы поездок на работу )
Коммутативная диаграмма, использованная при доказательстве пяти лемм

В математике , и особенно в теории категорий , коммутативная диаграмма — это диаграмма , в которой все направленные пути на диаграмме с одинаковыми началом и конечными точками приводят к одному и тому же результату. [1] Говорят, что коммутативные диаграммы играют в теории категорий ту же роль, что и уравнения в алгебре . [2]

Описание

[ редактировать ]

Коммутативная диаграмма часто состоит из трех частей:

  • объекты (также известные как вершины )
  • морфизмы (также известные как стрелки или ребра )
  • пути или композиции

Символы стрелок

[ редактировать ]

В текстах по алгебре тип морфизма можно обозначать с помощью различных стрелок:

  • Мономорфизм можно обозначить знаком [3] или . [4]
  • Эпиморфизм может быть помечен знаком .
  • Изоморфизм может быть помечен знаком .
  • Пунктирная стрелка обычно представляет утверждение о том, что указанный морфизм существует (всякий раз, когда остальная часть диаграммы верна); стрелка может быть дополнительно обозначена как .
    • Если морфизм к тому же уникален, то пунктирную стрелку можно обозначить или .

Значения различных стрелок не полностью стандартизированы: стрелки, используемые для мономорфизмов, эпиморфизмов и изоморфизмов, также используются для инъекций , сюръекций и биекций , а также корасслоений, расслоений и слабых эквивалентностей в модельной категории .

Проверка коммутативности

[ редактировать ]

Коммутативность имеет смысл для многоугольника с любым конечным числом сторон (включая только 1 или 2), а диаграмма является коммутативной, если каждая многоугольная поддиаграмма коммутативна.

Обратите внимание, что диаграмма может быть некоммутативной, т. е. композиция разных путей на диаграмме может не давать одинаковый результат.

В левой диаграмме, выражающей первую теорему об изоморфизме , коммутативность треугольника означает, что . На правой диаграмме коммутативность квадрата означает .

Чтобы приведенная ниже диаграмма была коммутируемой, должны выполняться три равенства:

Здесь, поскольку первое равенство следует из двух последних, достаточно показать, что (2) и (3) верны, чтобы диаграмма была коммутируемой. Однако, поскольку равенство (3), вообще говоря, не следует из двух других, то, как правило, недостаточно иметь только равенства (1) и (2), если нужно показать, что диаграмма коммутирует.

Погоня за диаграммой

[ редактировать ]

Поиск диаграмм (также называемый диаграммным поиском ) — это метод математического доказательства, используемый особенно в гомологической алгебре , где устанавливается свойство некоторого морфизма, отслеживая элементы коммутативной диаграммы. Доказательство путем поиска диаграммы обычно включает формальное использование свойств диаграммы, таких как инъективные или сюръективные отображения или точные последовательности . [5] Строится силлогизм , для которого графическое отображение схемы является лишь наглядным пособием. Отсюда следует, что человек в конечном итоге «гоняется» за элементами по диаграмме, пока желаемый элемент или результат не будет построен или проверен.

Примеры доказательств с помощью поиска диаграмм включают те, которые обычно приводятся для леммы пяти , леммы о змее , леммы о зигзаге и леммы девяти .

В теории высших категорий

[ редактировать ]

В теории высших категорий рассматриваются не только объекты и стрелки, но и стрелки между стрелками, стрелки между стрелками между стрелками и так далее до бесконечности . Например, категория малых категорий Cat , естественно, является 2-категорией с функторами в качестве стрелок и естественными преобразованиями в качестве стрелок между функторами. В этом случае коммутативные диаграммы также могут включать эти более высокие стрелки, которые часто изображаются в следующем стиле: . Например, следующая (несколько тривиальная) диаграмма изображает две категории C и D вместе с двумя функторами F , G : C D и естественным преобразованием α : F G :

В 2-категории есть два типа композиции (называемые вертикальной композицией и горизонтальной композицией ), и их также можно отобразить с помощью вставки диаграмм ( см. в разделе 2-category#Definition примеры ).

Диаграммы как функторы

[ редактировать ]

Коммутативную диаграмму в категории C можно интерпретировать как функтор из индексной категории J в C; Функтор называют диаграммой .

Более формально, коммутативная диаграмма — это визуализация диаграммы, индексированной категорией частичного набора . Такая диаграмма обычно включает в себя:

  • узел для каждого объекта в индексной категории,
  • стрелка для порождающего набора морфизмов (без учета тождественных карт и морфизмов, которые могут быть выражены как композиции),
  • коммутативность диаграммы (равенство различных композиций отображений между двумя объектами), соответствующая уникальности отображения между двумя объектами в категории ЧУМ.

И наоборот, учитывая коммутативную диаграмму, она определяет категорию частичного множества, где:

  • объекты - это узлы,
  • между любыми двумя объектами существует морфизм тогда и только тогда, когда между узлами существует (направленный) путь,
  • с тем, что этот морфизм уникален (любая композиция отображений определяется ее областью определения и целью: это аксиома коммутативности).

Однако не каждая диаграмма коммутативна (понятие диаграммы строго обобщает коммутативную диаграмму). В качестве простого примера диаграмма одного объекта с эндоморфизмом ( ), или двумя параллельными стрелками ( , то есть, , иногда называемый свободным колчаном ), используемый в определении эквалайзера, не требует коммутации. Кроме того, диаграммы могут быть беспорядочными или их невозможно нарисовать, если количество объектов или морфизмов велико (или даже бесконечно).

См. также

[ редактировать ]
  1. ^ Вайсштейн, Эрик В. «Коммутативная диаграмма» . mathworld.wolfram.com . Проверено 25 ноября 2019 г.
  2. ^ Маццола, Гуэрино; Мильмейстер, Жерар; Вайсманн, Джоди (2005). Комплексная математика для компьютерщиков 2 . Спрингер. п. 140. дои : 10.1007/b138337 . ISBN  978-3-540-26937-3 .
  3. ^ «Математика — Теория категорий — Стрела — Мартин Бейкер» . www.euclideanspace.com . Проверено 25 ноября 2019 г.
  4. ^ Рил, Эмили (17 ноября 2016 г.). «1». Теория категорий в контексте (PDF) . Дуврские публикации. п. 11.
  5. ^ Вайсштейн, Эрик В. «Погоня за диаграммами» . mathworld.wolfram.com . Проверено 25 ноября 2019 г.

Библиография

[ редактировать ]
[ редактировать ]
Arc.Ask3.Ru: конец переведенного документа.
Arc.Ask3.Ru
Номер скриншота №: 5a19f153afefaa191d1cce9a5f69498c__1717303920
URL1:https://arc.ask3.ru/arc/aa/5a/8c/5a19f153afefaa191d1cce9a5f69498c.html
Заголовок, (Title) документа по адресу, URL1:
Commutative diagram - Wikipedia
Данный printscreen веб страницы (снимок веб страницы, скриншот веб страницы), визуально-программная копия документа расположенного по адресу URL1 и сохраненная в файл, имеет: квалифицированную, усовершенствованную (подтверждены: метки времени, валидность сертификата), открепленную ЭЦП (приложена к данному файлу), что может быть использовано для подтверждения содержания и факта существования документа в этот момент времени. Права на данный скриншот принадлежат администрации Ask3.ru, использование в качестве доказательства только с письменного разрешения правообладателя скриншота. Администрация Ask3.ru не несет ответственности за информацию размещенную на данном скриншоте. Права на прочие зарегистрированные элементы любого права, изображенные на снимках принадлежат их владельцам. Качество перевода предоставляется как есть. Любые претензии, иски не могут быть предъявлены. Если вы не согласны с любым пунктом перечисленным выше, вы не можете использовать данный сайт и информация размещенную на нем (сайте/странице), немедленно покиньте данный сайт. В случае нарушения любого пункта перечисленного выше, штраф 55! (Пятьдесят пять факториал, Денежную единицу (имеющую самостоятельную стоимость) можете выбрать самостоятельно, выплаичвается товарами в течение 7 дней с момента нарушения.)