Колчан (математика)
В математике , особенно в теории представлений , колчан — другое название мультидиграфа ; то есть ориентированный граф , в котором петли и несколько стрелок между двумя вершинами разрешены . Колчаны обычно используются в теории представлений: представление V колчана присваивает векторное пространство V ( x ) каждой вершине x колчана и линейную карту V ( a ) каждой стрелке a .
В теории категорий под колчаном можно понимать основную структуру категории , но без композиции или обозначения тождественных морфизмов. То есть существует забывчивый функтор от Cat (категория категорий) до Quiv (категория мультидиграфов). Его левым сопряженным является свободный функтор , который из колчана образует соответствующую свободную категорию .
Определение [ править ]
Колчан Γ состоит из:
- Множество V вершин графа Γ
- Множество E ребер Γ
- Две функции: давая начало или источник края и другую функцию, давая цели края.
Это определение идентично определению мультиорграфа .
Морфизм . колчанов — это отображение вершин в вершины, которое переводит направленные ребра в направленные ребра Формально, если и два колчана, то морфизм колчанов состоит из двух функций и такие, что следующие диаграммы коммутируют :
То есть,
и
Теоретико-категорное определение [ править ]
Приведенное выше определение основано на теории множеств ; теоретико-категорное определение обобщает это в функтор от свободного колчана до категории множеств .
( Свободный колчан также называемый ходячим колчаном , Кронекера , колчаном 2-Кронекера или категорией Кронекера ) Q — это категория с двумя объектами и четырьмя морфизмами: объектами являются V и E. колчаном Четыре морфизма и тождественные морфизмы и То есть свободный колчан
Колчан тогда является функтором
В более общем смысле, колчан категории C — это функтор. Категория Quiv ( C ) колчанов в C является категорией функтора , где:
- объекты являются функторами
- морфизмы — это естественные преобразования между функторами.
Обратите внимание, что Quiv — это категория предпучков противоположной категории Q. на .
Алгебра путей [ править ]
Если Г — колчан, то путь в Г — это последовательность стрелок
такой, что начало a i +1 является хвостом a i для i = 1, …, n −1 , используя соглашение об объединении путей справа налево.
Если K — поле , то алгебра колчана или алгебра путей K Γ определяется как векторное пространство, имеющее все пути (длины ≥ 0) в колчане в качестве основы (включая для каждой вершины i колчана Γ тривиальный путь e i длины 0; эти пути не считаются равными для разных i ), а умножение задается конкатенацией путей. Если два пути не могут быть объединены, поскольку конечная вершина первого не равна начальной вершине второго, их произведение определяется как ноль. Это определяет ассоциативную алгебру над K . Эта алгебра имеет единичный элемент тогда и только тогда, когда колчан имеет лишь конечное число вершин. В этом случае модули над K Γ естественным образом отождествляются с представлениями Γ . Если колчан имеет бесконечное число вершин, то K Γ имеет приближенное тождество , определяемое формулой где F пробегает конечные подмножества множества вершин графа Γ .
Если колчан имеет конечное число вершин и стрелок, а конечная и начальная вершины любого пути всегда различны (т. е. Q не имеет ориентированных циклов), то K Γ является конечномерной наследственной алгеброй над K . И наоборот, если K алгебраически замкнуто, то любая конечномерная наследственная ассоциативная алгебра над K является Морита-эквивалентной алгебре путей ее колчана Ext (т. е. они имеют эквивалентные категории модулей).
Изображения колчанов [ править ]
Представление колчана Q — это ассоциация R -модуля с каждой вершиной Q и морфизм между каждым модулем для каждой стрелы.
Представление V колчана Q называется тривиальным , если для всех вершин x в Q .
Морфизм , между представлениями колчана Q представляет собой набор линейных отображений такой, что для каждой стрелки a в Q от x до y , т.е. квадраты, которые f образует со стрелками V и V', все коммутируют. Морфизм f является изоморфизмом , если f ( x ) обратим для всех вершин x в колчане. С помощью этих определений представления колчана образуют категорию .
Если V и W — представления колчана Q , то прямая сумма этих представлений определяется для всех вершин x в Q и является прямой суммой линейных отображений V ( a ) и W ( a ) .
Представление называется разложимым, если оно изоморфно прямой сумме ненулевых представлений.
Также можно дать категорическое определение представления колчана. Сам колчан можно рассматривать как категорию, где вершины — это объекты, а пути — это морфизмы. Тогда представление Q — это просто ковариантный функтор из этой категории в категорию конечномерных векторных пространств . Морфизмы представлений Q представляют собой в точности естественные преобразования между соответствующими функторами.
Для конечного колчана Γ (колчана с конечным числом вершин и ребер) пусть K Γ — его алгебра путей. Пусть e i обозначает тривиальный путь в вершине i . можно сопоставить Тогда вершине i проективный K K Γ -модуль состоящий Γ e i , из линейных комбинаций путей, имеющих стартовую вершину i . Это соответствует представлению Γ , полученному путем помещения копии K в каждую вершину, которая лежит на пути, начинающемся с i и 0 в каждой другой вершине. Каждому ребру, соединяющему две копии K, мы сопоставляем тождественное отображение.
Эту теорию связали с кластерными алгебрами Дерксен, Вейман и Зелевинский. [1]
Колчан с отношениями [ править ]
Чтобы обеспечить коммутативность некоторых квадратов внутри колчана, обобщением является понятие колчанов с отношениями (также называемых связанными колчанами).Отношение на колчане Q — это K линейная комбинация путей Q. из Колчан со связью — это пара ( Q , I ) , где Q — колчан и аидеал алгебры путей. Фактор K Γ/ I является алгеброй путей ( Q , I ) .
Разновидность колчана [ править ]
Зная размерности векторных пространств, присвоенных каждой вершине, можно сформировать многообразие, характеризующее все представления этого колчана с указанными размерностями, и рассмотреть условия устойчивости. Они дают разновидности колчана, построенные Кингом (1994) .
Теорема Габриэля [ править ]
Колчан называется конечным типом , если он имеет лишь конечное число классов изоморфизма неразложимых представлений . Габриэль (1972) классифицировал все колчаны конечного типа, а также их неразложимые представления. Точнее, теорема Габриэля утверждает, что:
- (Связный) колчан имеет конечный тип тогда и только тогда, когда его основной граф (когда направления стрелок игнорируются) является одной из ADE Дынкина : An диаграмм , D n , E 6 , E 7 , E 8 .
- Неразложимые представления находятся во взаимно однозначном соответствии с положительными корнями системы корней диаграммы Дынкина.
Длаб и Рингель (1973) нашли обобщение теоремы Габриэля, в котором встречаются все диаграммы Дынкина конечномерных полупростых алгебр Ли. обобщил это на все колчаны и соответствующие им алгебры Каца – Муди Виктор Кац .
См. также [ править ]
- Классификация ADE
- Категория клея
- Теория сборки
- Графовая алгебра
- Групповое кольцо
- Алгебра инцидентности
- Диаграмма колчана
- Полуинвариант колчана
- Торическая разновидность
- Производная некоммутативная алгебраическая геометрия . Колчаны помогают кодировать данные производных некоммутативных схем.
Ссылки [ править ]
Книги [ править ]
Кириллов, Александр (2016), Представления колчана и разновидности колчана , Американское математическое общество, ISBN 978-1-4704-2307-0
Конспекты лекций [ править ]
- Кроули-Бови, Уильям, Лекции по представлениям колчанов (PDF) , заархивировано из оригинала 20 августа 2017 г.
{{citation}}
: CS1 maint: bot: исходный статус URL неизвестен ( ссылка ) - Представления колчана в торической геометрии
Исследования [ править ]
Источники [ править ]
- Дерксен, Харм; Вейман, Ежи (февраль 2005 г.), «Представления колчана» (PDF) , Уведомления Американского математического общества , 52 (2)
- Длаб, Властимил; Рингель, Клаус Майкл (1973), Об алгебрах конечного типа представления , Конспекты лекций по математике Карлтона, том. 2, факультет математики, Карлтонский университет, Оттава, Онтарио, MR 0347907
- Кроули-Бови, Уильям (1992), Заметки о представлениях колчана (PDF) , Оксфордский университет , заархивировано из оригинала (PDF) 24 июля 2011 г. , получено 17 февраля 2007 г.
- Габриэль, Питер (1972), «Неразложимые представления. I», Manuscripta Mathematica , 6 (1): 71–103, doi : 10.1007/BF01298413 , ISSN 0025-2611 , MR 0332887 .
- Виктор Кац, «Корневые системы, представления колчанов и теория инвариантов» . Теория инвариантов (Montecatini, 1982) , стр. 74–108, Конспекты лекций по математике. 996, Шпрингер-Верлаг, Берлин, 1983. ISBN 3-540-12319-9 [1]
- Кинг, Аластер (1994), «Модули представлений конечномерных алгебр», Quart. Дж. Математика. , 45 (180): 515–530, doi : 10.1093/qmath/45.4.515
- Сэвидж, Алистер (2006) [2005], «Конечномерные алгебры и колчаны», Франсуаза, Ж.-П.; Набер, ГЛ; Цоу, С.Т. (ред.), Энциклопедия математической физики , том. 2, Elsevier, стр. 313–320, arXiv : math/0505082 , Bibcode : 2005math......5082S
- Симсон, Дэниел; Сковронский, Анджей; Асем, Ибрагим (2007), Элементы теории представлений ассоциативных алгебр , Cambridge University Press , ISBN 978-0-521-88218-7
- Бернштейн, Индиана; Гельфанд, И.М.; Пономарев В.А., "Функторы Кокстера и теорема Габриэля", Успехи матем. Наук 28 (1973), вып. 2 (170), 19–33. Перевод на сайте Бернштейна .
- Колчан в n Lab
- ^ Герарделли, Франческо; Международный летний математический центр, ред. (1983). Теория инвариантов: материалы 1-й сессии Международного математического центра (CIME) 1982 г., состоявшейся в Монтекатини, Италия, 10-18 июня 1982 г. Конспекты лекций по математике. Берлин Гейдельберг: Springer. ISBN 978-3-540-12319-4 .