Наследственное кольцо

В математике , особенно в области абстрактной алгебры , известной как теория модулей , кольцо R называется наследственным, если все подмодули проективных модулей над R снова проективны. Если это требуется только для конечно порожденных подмодулей, его называют полунаследственным .

Для некоммутативного кольца R термины «левый наследственный» и «левый полунаследственный» , а также их правые версии используются для различения свойства на одной стороне кольца. Чтобы быть (полу)наследственными слева, все (конечно порожденные) подмодули проективных левых R -модулей должны быть проективными, и аналогично, чтобы быть (полу)наследственными справа, все (конечно порожденные) подмодули проективных правых R -модулей должны быть проективными. . Кольцо может быть левым (полу)наследственным, но не правосторонним (полу)наследственным, и наоборот.

Эквивалентные определения

• Кольцо R является (полу)наследственным слева тогда и только тогда, когда все ( конечно порожденные ) левые идеалы кольца R являются проективными модулями.
• Кольцо R является наследственным слева тогда и только тогда, когда все левые модули имеют проективную резольвенту длины не более 1. Это эквивалентно тому, что левая глобальная размерность не превосходит 1. Следовательно, обычные производные функторы, такие как $\mathrm {Ext} _{R}^{i}$ и $\mathrm {Tor} _{i}^{R}$ тривиальны для $i>1$.

Примеры

• Полупростые кольца наследственны слева и справа посредством эквивалентных определений: все левые и правые идеалы являются слагаемыми R и, следовательно, проективны. Аналогично, в регулярном кольце фон Неймана каждый конечно порожденный левый и правый идеал является прямым слагаемым кольца R , и поэтому регулярные кольца фон Неймана полунаследственны слева и справа.
• Для любого ненулевого элемента x в области R , $R\cong xR$ через карту $r\mapsto xr$. Следовательно, в любой области главный правый идеал свободен и, следовательно, проективен. Это отражает тот факт, что домены являются правыми кольцами Рикарта . Отсюда следует, что если R — правая область Безу , так что конечно порожденные правые идеалы являются главными, то R имеет все конечно порожденные правые идеалы проективными, и, следовательно, R полунаследственно справа. Наконец, если R предполагается, что является областью главных правых идеалов , то все правые идеалы проективны, а R наследственна справа.
• Коммутативная наследственная область целостности называется областью Дедекинда . Коммутативная полунаследственная область целостности называется областью Прюфера .
• Важным примером (левого) наследственного кольца является путей колчана алгебра . Это следствие существования стандартной резольвенты (длины 1) для модулей над алгеброй путей.
• Треугольное матричное кольцо ${\begin{bmatrix}\mathbb {Z} &\mathbb {Q} \\0&\mathbb {Q} \end{bmatrix}}$ является наследственным справа и полунаследственным слева, но не наследственным слева.
• Если S — регулярное кольцо фон Неймана с идеалом I, не являющимся прямым слагаемым, то кольцо треугольных матриц ${\begin{bmatrix}S/I&S/I\\0&S\end{bmatrix}}$ является полунаследственным слева, но не полунаследственным справа.

Характеристики

• Для наследственного слева кольца R каждый подмодуль свободного левого R -модуля изоморфен прямой сумме левых идеалов кольца R и, следовательно, проективен.

Ссылки

• Кроули-Бови, Уильям , Заметки о представлении колчана (PDF) , заархивировано из оригинала (PDF) 2 мая 2003 г.
• Лам, Цит-Юэн (1999), Лекции по модулям и кольцам , Тексты для аспирантов по математике № 189, Берлин, Нью-Йорк: Springer-Verlag , ISBN  978-0-387-98428-5 , МР   1653294 , Збл   0911.16001
• Осборн, М. Скотт (2000), Основная гомологическая алгебра , Тексты для аспирантов по математике, том. 196, Шпрингер-Верлаг, ISBN  0-387-98934-Х , Збл   0948.18001
• Райнер И. (2003), Максимальные порядки , Монографии Лондонского математического общества. Новая серия, том. 28, Издательство Оксфордского университета , ISBN  0-19-852673-3 , Збл   1024.16008
• Вейбель, Чарльз А. (1994), Введение в гомологическую алгебру , Кембриджские исследования по высшей математике, том. 38, Кембридж: Издательство Кембриджского университета , ISBN  0-521-43500-5 , Збл   0797.18001