Представление супералгебры Ли.

В математической области теории представлений представление супералгебры Ли — это действие L супералгебры Ли на Z 2 _{-градуированное} векторное пространство V , такое, что если A и B — любые два чистых элемента L , а X и Y — любые два чистых элемента V , то

(c_{1}A+c_{2}B)\cdot X=c_{1}A\cdot X+c_{2}B\cdot X

A\cdot (c_{1}X+c_{2}Y)=c_{1}A\cdot X+c_{2}A\cdot Y

(-1)^{A\cdot X}=(-1)^{A}(-1)^{X}

[A,B]\cdot X=A\cdot (B\cdot X)-(-1)^{AB}B\cdot (A\cdot X).

Эквивалентно, представление L — это Z ₂ -градуированное представление универсальной обертывающей алгебры L , которое удовлетворяет третьему уравнению выше.

Унитарное представление звездной супералгебры Ли

A * Супералгебра Ли — это комплексная супералгебра Ли, снабженная инволютивным антилинейным отображением * таким, что * соблюдается градуировка и

[a,b]*=[b*,a*].

Унитарным представлением такой алгебры Ли является Z ₂ градуированное гильбертово пространство , которое является представлением супералгебры Ли, как указано выше, вместе с требованием, чтобы самосопряженные элементы супералгебры Ли были представлены эрмитовыми преобразованиями.

Это основная концепция в изучении суперсимметрии вместе с представлением супералгебры Ли на алгебре. Скажем, A является *-алгебраическим представлением супералгебры Ли (вместе с дополнительным требованием, чтобы * соблюдала градуировку и L[a]*=-(-1) ^LaL*[a*]) и H — унитарное представление, а также H — унитарное представление A.

Все эти три представителя совместимы, если для чистых элементов a в A, |ψ> в H и L в супералгебре Ли

L[a|ψ>)]=(L[a])|ψ>+(-1) ^Laа(L[|ψ>]).

Иногда супералгебра Ли вложена в A в том смысле, что существует гомоморфизм универсальной обертывающей алгебры супералгебры Ли в A. В этом случае приведенное выше уравнение сводится к

L[а]=La-(-1) ^LaаЛ.

Этот подход позволяет избежать непосредственной работы с супергруппой Ли и, следовательно, позволяет избежать использования вспомогательных чисел Грассмана .

См. также

Эта алгеброй статья, связанная с , незавершена . Вы можете помочь Википедии, расширив ее .

Эта квантовой механике статья, посвященная , незавершена . Вы можете помочь Википедии, расширив ее .