Теорема Абеля – Руффини

Не путать с теоремой Абеля .

В математике теорема Абеля-Руффини (также известная как теорема невозможности Абеля ) утверждает, что не существует решения в радикалах общих полиномиальных уравнений или пятой степени выше с произвольными коэффициентами . Здесь общее означает, что коэффициенты уравнения рассматриваются и обрабатываются как неопределенные .

Теорема названа в честь Паоло Руффини , который сделал неполное доказательство в 1799 году. (который был доработан и завершен в 1813 г. и принят Коши) и Нильсом Хенриком Абелем , представившим доказательство в 1824 году.

Теорема Абеля-Руффини также относится к несколько более сильному результату: существуют уравнения пятой степени и выше, которые не могут быть решены с помощью радикалов. Это не следует из формулировки теоремы Абеля, но является следствием его доказательства, поскольку его доказательство основано на том факте, что некоторые многочлены в коэффициентах уравнения не являются нулевым многочленом. Это улучшенное утверждение следует непосредственно из теории Галуа § Неразрешимый пример пятой степени . Теория Галуа также предполагает, что

$x^{5}-x-1=0$

— это простейшее уравнение, которое невозможно решить в радикалах, и что почти все многочлены пятой степени и выше не могут быть решены в радикалах.

Невозможность решения в пятой степени и выше контрастирует со случаем более низкой степени: имеются квадратичная формула , кубическая формула и формула четвёртой степени для второй, третьей и четвертой степени соответственно.

Контекст

Полиномиальные уравнения второй степени можно решать с помощью квадратной формулы , известной с древности . Точно так же кубическая формула для третьей степени и формула четвертой степени для четвертой степени были найдены в 16 веке. В то время фундаментальной проблемой было, можно ли подобным образом решить уравнения более высокой степени.

Тот факт, что всякое полиномиальное уравнение положительной степени имеет решения, возможно, невещественные , был утвержден в течение 17 века, но полностью доказан лишь в начале 19 века. Это фундаментальная теорема алгебры , которая не дает никакого инструмента для точного вычисления решений, хотя метод Ньютона позволяет аппроксимировать решения с любой желаемой точностью.

С 16 по начало 19 века основной проблемой алгебры был поиск формулы решения полиномиальных уравнений пятой степени и выше, отсюда и название «основная теорема алгебры». Это означало решение в радикалах , то есть выражение , включающее только коэффициенты уравнения, а также операции сложения , вычитания , умножения , деления и n- извлечения корня й степени .

Теорема Абеля–Руффини доказывает, что это невозможно. Однако эта невозможность не означает, что конкретное уравнение любой степени не может быть решено в радикалах. Напротив, существуют уравнения любой степени, которые можно решить в радикалах. Это случай уравнения $x^{n}-1=0$ для любого n и уравнений, определяемых круговыми полиномами , все решения которых могут быть выражены в радикалах.

Доказательство теоремы Абеля не содержит в явном виде утверждения о том, что существуют конкретные уравнения, которые не могут быть решены радикалами. Такое утверждение не является следствием формулировки теоремы Абелем, поскольку это утверждение не исключает возможности того, что «каждое конкретное уравнение пятой степени может быть разрешимо со специальной формулой для каждого уравнения». Однако существование конкретных уравнений, которые не могут быть решены в радикалах, по-видимому, является следствием доказательства Абеля, поскольку в доказательстве используется тот факт, что некоторые многочлены в коэффициентах не являются нулевым многочленом, и, учитывая конечное число многочленов, существует — значения переменных, при которых ни один из полиномов не принимает нулевое значение.

Вскоре после публикации Абелем своего доказательства Эварист Галуа представил теорию, которая теперь называется теорией Галуа , которая позволяет решить для любого данного уравнения, разрешимо ли оно в радикалах. До появления электронных компьютеров это было чисто теоретически . С помощью современных компьютеров и программ решить, разрешим ли многочлен в радикалах, можно для многочленов степени больше 100. Вычисление решений в радикалах разрешимых многочленов требует огромных вычислений. Даже для пятой степени выражение решений настолько велико, что не представляет практического интереса.

Доказательство

Доказательство теоремы Абеля-Руффини предшествует теории Галуа . Однако теория Галуа позволяет лучше понять предмет, и современные доказательства обычно основаны на ней, в то время как оригинальные доказательства теоремы Абеля-Руффини по-прежнему представлены для исторических целей.

Доказательства, основанные на теории Галуа, включают четыре основных этапа: характеризацию разрешимых уравнений в терминах теории поля ; использование соответствия Галуа между подполями данного поля и подгруппами его группы Галуа для выражения этой характеристики в терминах разрешимых групп ; доказательство того, что симметрическая группа неразрешима, если ее степень равна пяти и выше; и существование полиномов с симметричной группой Галуа.

решения и

Алгебраическое решение полиномиального уравнения — это выражение, включающее четыре основных арифметических действия (сложение, вычитание, умножение и деление) и извлечение корня . Такое выражение можно рассматривать как описание вычислений, которые начинаются с коэффициентов решаемого уравнения и продолжаются путем вычисления нескольких чисел, одного за другим.

На каждом этапе вычислений можно рассматривать наименьшее поле , содержащее все числа, которые были вычислены на данный момент. Это поле изменяется только для шагов, связанных с вычислением корня n- й степени .

Итак, алгебраическое решение дает последовательность

$F_{0}\subseteq F_{1}\subseteq \cdots \subseteq F_{k}$

полей и элементов $x_{i}\in F_{i}$ такой, что $F_{i}=F_{i-1}(x_{i})$ для $i=1,\ldots ,k,$ с $x_{i}^{n_{i}}\in F_{i-1}$ для некоторого целого числа $n_{i}>1.$ Алгебраическое решение исходного полиномиального уравнения существует тогда и только тогда, когда существует такая последовательность полей, что $F_{k}$ содержит решение.

Для того чтобы иметь нормальные расширения , которые являются фундаментальными для теории, необходимо уточнить последовательность полей следующим образом. Если $F_{i-1}$ не содержит всех $n_{i}$-th корни из единицы , вводят поле $K_{i}$ который простирается $F_{i-1}$ примитивным корнем из единицы , и можно переопределить $F_{i}$ как $K_{i}(x_{i}).$

причем последнее содержит решение, и каждое из них является нормальным расширением предыдущего с группой Галуа циклической Итак, если начать с решения в терминах радикалов, можно получить возрастающую последовательность полей , .

И наоборот, если имеется такая последовательность полей, уравнение разрешимо в терминах радикалов. Для доказательства этого достаточно доказать, что нормальное расширение с циклической группой Галуа можно построить из последовательности радикальных расширений .

Переписка Галуа

Соответствие Галуа устанавливает взаимно однозначное соответствие между подрасширениями нормального расширения поля. $F/E$ и подгруппы группы Галуа расширения. Это соответствие отображает поле K такое, что $E\subseteq K\subseteq F$ в группу Галуа $\operatorname {Gal} (F/K)$ автоморфизмов , F фиксированным и которые оставляют K , наоборот, отображают подгруппу H группы $\operatorname {Gal} (F/E)$ к полю элементов F , фиксированных H .

Предыдущий раздел показывает, что уравнение разрешимо в терминах радикалов тогда и только тогда, когда группа Галуа его поля разложения (наименьшее поле, содержащее все корни) разрешима , то есть оно содержит последовательность подгрупп, каждая из которых нормальный в предыдущем, факторгруппой циклической . с (Разрешимые группы обычно определяются с помощью абелевых, а не циклических факторгрупп, но фундаментальная теорема о конечных абелевых группах показывает, что эти два определения эквивалентны).

Итак, для доказательства теоремы Абеля–Руффини осталось доказать, что симметрическая группа $S_{5}$ неразрешима и что существуют многочлены с симметричной группой Галуа.

группы

Для n > 4 симметрическая группа ${\mathcal {S}}_{n}$ степени n имеет только знакопеременную группу ${\mathcal {A}}_{n}$ как нетривиальная нормальная подгруппа (см. Симметричная группа § Нормальные подгруппы ). Для n > 4 знакопеременная группа ${\mathcal {A}}_{n}$ является простой (т. е. не имеет ни одной нетривиальной нормальной подгруппы) и не абелевой . Это означает, что оба ${\mathcal {A}}_{n}$ и ${\mathcal {S}}_{n}$ не разрешимы при n > 4 . Таким образом, теорема Абеля–Руффини вытекает из существования многочленов с симметричной группой Галуа; это будет показано в следующем разделе.

С другой стороны, при n ≤ 4 симметрическая группа и все ее подгруппы разрешимы. Это объясняет существование квадратичных , кубических и четвертых формул , поскольку основной результат теории Галуа состоит в том, что полиномиальное уравнение имеет решение в радикалах тогда и только тогда, когда его группа Галуа разрешима (термин «разрешимая группа» берет свое начало из этой теоремы).

с симметричными

Общее уравнение

Общим является или родовым полиномиальным уравнением степени n уравнение

$x^{n}+a_{1}x^{n-1}+\cdots +a_{n-1}x+a_{n}=0,$

где $a_{1},\ldots ,a_{n}$ являются различными неопределенными . Это уравнение, определенное над полем $F=\mathbb {Q} (a_{1},\ldots ,a_{n})$ рациональных дробей в $a_{1},\ldots ,a_{n}$ с рациональными числовыми коэффициентами. Исходная теорема Абеля-Руффини утверждает, что при n > 4 это уравнение не разрешимо в радикалах. С учетом предыдущих разделов это следует из того факта, что группа Галуа над F уравнения является симметрической группой ${\mathcal {S}}_{n}$ (эта группа Галуа представляет собой группу полевых автоморфизмов поля расщепления уравнения, фиксирующих элементы F , где поле расщепления — наименьшее поле, содержащее все корни уравнения).

За доказательство того, что группа Галуа ${\mathcal {S}}_{n},$ проще начать с корней. Позволять $x_{1},\ldots ,x_{n}$ быть новыми неопределенными, нацеленными на то, чтобы быть корнями, и рассмотреть многочлен

$P(x)=x^{n}+b_{1}x^{n-1}+\cdots +b_{n-1}x+b_{n}=(x-x_{1})\cdots (x-x_{n}).$

Позволять $H=\mathbb {Q} (x_{1},\ldots ,x_{n})$ быть полем рациональных дробей в $x_{1},\ldots ,x_{n},$ и $K=\mathbb {Q} (b_{1},\ldots ,b_{n})$ — его подполе, порожденное коэффициентами $P(x).$ Перестановки ​ ​ $x_{i}$ индуцировать автоморфизмы H . Формулы Виеты подразумевают, что каждый элемент K является симметричной функцией $x_{i},$ и, таким образом, фиксируется всеми этими автоморфизмами. Отсюда следует, что группа Галуа $\operatorname {Gal} (H/K)$ симметричная группа ${\mathcal {S}}_{n}.$

Основная теорема о симметричных многочленах означает, что $b_{i}$ являются алгебраически независимыми , и, таким образом, карта, которая отправляет каждый $a_{i}$ соответствующему $b_{i}$ является изоморфизмом полей из F в K . Это означает, что можно рассматривать $P(x)=0$ как общее уравнение. Это завершает доказательство того, что группа Галуа общего уравнения является симметричной группой, и, таким образом, доказывает исходную теорему Абеля-Руффини, которая утверждает, что общее полиномиальное уравнение степени n не может быть решено в радикалах при n > 4 .

Явный пример

Смотрите также: Теория Галуа § Неразрешимый пример пятой степени

Уравнение $x^{5}-x-1=0$ не растворяется в радикалах, как будет объяснено ниже.

Пусть q будет $x^{5}-x-1$.Пусть G — его группа Галуа, действующая точно на множестве комплексных корней q .Нумерация корней позволяет отождествить G с подгруппой симметрической группы. ${\mathcal {S}}_{5}$.С $q{\bmod {2}}$ факторы как $(x^{2}+x+1)(x^{3}+x^{2}+1)$ в $\mathbb {F} _{2}[x]$, группа G содержит перестановку $g$ это произведение непересекающихся циклов длин 2 и 3 (вообще, когда монический целочисленный многочлен сводится по простому модулю к произведению различных монических неприводимых многочленов, степени множителей дают длины непересекающихся циклов в некоторой перестановке, принадлежащей группе Галуа); то G также содержит $g^{3}$, что является транспозицией . С $q{\bmod {3}}$ является неприводимым в $\mathbb {F} _{3}[x]$, тот же принцип показывает, что G содержит 5-цикл . Поскольку 5 — простое число, любая транспозиция и 5-цикл в ${\mathcal {S}}_{5}$ сгенерировать всю группу; см. Симметричную группу § Генераторы и отношения . Таким образом $G={\mathcal {S}}_{5}$. Поскольку группа ${\mathcal {S}}_{5}$ неразрешимо, уравнение $x^{5}-x-1=0$ не растворяется в радикалах.

Резольвента Кэли

Проверить, разрешима ли конкретная квинтика в радикалах, можно с помощью резольвенты Кэли . Это одномерный многочлен шестой степени, коэффициенты которого являются полиномами от коэффициентов общей квинтики. Конкретная неприводимая квинтика разрешима в радикалах тогда и только тогда, когда ее коэффициенты подставляются в резольвенту Кэли, полученный секстический многочлен имеет рациональный корень.

История

Около 1770 года Жозеф Луи Лагранж начал закладывать основу, которая объединила множество различных методов, использовавшихся до этого момента для решения уравнений, связав их с теорией групп подстановок в форме резольвент Лагранжа . Эта новаторская работа Лагранжа была предшественником теории Галуа, и ее неспособность найти решения для уравнений пятой и более высоких степеней намекала на то, что такие решения могут быть невозможны, но она не предоставила убедительных доказательств. Первым человеком, который предположил, что проблема решения квинтик радикалами может быть невозможна, был Карл Фридрих Гаусс , который написал в 1798 году в разделе 359 своей книги Disquisitiones Arithmeticae (которая будет опубликована только в 1801 году), что «нет никаких сомнений в том, что что эта проблема не столько бросает вызов современным методам анализа, сколько предполагает невозможное». В следующем году в своей диссертации он написал: «После того, как труды многих геометров оставили мало надежды когда-либо прийти к решению общего уравнения алгебраическим путем, становится все более вероятным, что это решение невозможно и противоречиво». И он добавил: «Возможно, будет не так уж трудно доказать со всей строгостью невозможность пятой степени. Я изложу свои исследования по этому поводу более подробно в другом месте». Собственно, Гаусс больше ничего по этому поводу не опубликовал.

Паоло Руффини , Общая теория уравнений , 1799 г.

Теорему впервые почти доказал Паоло Руффини в 1799 году. Он разослал свое доказательство нескольким математикам, чтобы добиться его признания, в том числе Лагранжу (который не ответил) и Огюстену-Луи Коши , которые прислали ему письмо, в котором говорилось: «Ваши мемуары об общем решении уравнений — это работа, которую я всегда любил». которое, по моему мнению, окончательно доказывает алгебраическую неразрешимость общих уравнений выше четвертой степени». Однако в целом доказательство Руффини не было признано убедительным. Абель писал: «Первый и, если я не ошибаюсь, единственный, кто до меня пытался доказать невозможность алгебраического решения общих уравнений, — это математик Руффини. Но его мемуары настолько сложны, что очень трудно определить обоснованность его аргументов. Мне кажется, что его аргументы не вполне удовлетворительны».

Доказательство также, как выяснилось позднее, было неполным. Руффини предполагал, что все радикалы, с которыми он имел дело, можно выразить из корней многочлена, используя только полевые операции; говоря современным языком, он предположил, что радикалы принадлежат полю расщепления многочлена. Чтобы понять, почему это на самом деле дополнительное предположение, рассмотрим, например, полином $P(x)=x^{3}-15x-20$. Согласно формуле Кардано , один из его корней (фактически все они) может быть выражен как сумма кубического корня из $10+5i$ с кубическим корнем $10-5i$. С другой стороны, поскольку $P(-3)<0$, $P(-2)>0$, $P(-1)<0$, и $P(5)>0$, корни $r_{1}$, $r_{2}$, и $r_{3}$ из $P(x)$ все реальны и, следовательно, поле $\mathbf {Q} (r_{1},r_{2},r_{3})$ является подполем $\mathbf {R}$. Но тогда цифры $10\pm 5i$ не может принадлежать $\mathbf {Q} (r_{1},r_{2},r_{3})$. Хотя Коши либо не заметил предположения Руффини, либо считал его второстепенным, большинство историков считают, что доказательство не было полным, пока Абель не доказал теорему о естественных иррациональностях, которая утверждает, что это предположение справедливо в случае общих полиномов. Таким образом, теорему Абеля-Руффини обычно приписывают Абелю, который опубликовал доказательство, сжатое всего на шесть страниц, в 1824 году. (Абель избрал очень лаконичный стиль, чтобы сэкономить бумагу и деньги: корректура была напечатана за его счет. ) Более детальная версия доказательства будет опубликована в 1826 году.

Доказательство того, что общие уравнения пятой (и более высокой) степени неразрешимы в радикалах, не решило полностью вопрос, поскольку теорема Абеля – Руффини не дает необходимых и достаточных условий для того, чтобы точно сказать, какие уравнения пятой (и более высокой) степени неразрешимы в радикалах. Абель работал над полной характеристикой, когда умер в 1829 году.

По словам Натана Джейкобсона , «доказательства Руффини и Абеля [...] вскоре были заменены высшим достижением этого направления исследований: открытиями Галуа в теории уравнений». В 1830 году Галуа (в возрасте 18 лет) представил в Парижскую академию наук мемуары о своей теории разрешимости в радикалах, которые в конечном итоге были отвергнуты в 1831 году как слишком схематичные и дающие условие с точки зрения корней теории. уравнение вместо его коэффициентов. Галуа знал о вкладе Руффини и Абеля, поскольку он писал: «Сегодня общеизвестной истиной является то, что общее уравнение степени больше 4 не может быть решено радикалами... эта истина стала общепринятой (по слухам), несмотря на тот факт, что геометры проигнорировали доказательства Абеля и Руффини...» Затем Галуа умер в 1832 году, и его статья «Мемуары» об условиях разрешимости уравнений в радикалах оставалась неопубликованной до 1846 года, когда она была опубликована Жозефом Лиувиллем вместе с некоторыми его собственными пояснениями. Перед этой публикацией Лиувилль объявил о результатах Галуа академии в речи, которую он произнес 4 июля 1843 года. Упрощенное доказательство Абеля было опубликовано Пьером Ванцелем в 1845 году. Когда Ванцель опубликовал его, он уже знал о вкладе Галуа и упомянул, что, хотя доказательство Абеля справедливо только для общих многочленов, подход Галуа можно использовать для получения конкретного многочлена степени 5, корни которого не могут быть выражены в радикалах. из его коэффициентов.

В 1963 году Владимир Арнольд открыл топологическое доказательство теоремы Абеля – Руффини. которое послужило отправной точкой для топологической теории Галуа .