Генрих Август Роте

Не следует путать с Эрихом Роте .

Генрих Август Роте (1773–1842) — немецкий математик, профессор математики в Эрлангене . Он был учеником Карла Гинденбурга и членом комбинаторной школы Гинденбурга .

Биография

Роте родился в 1773 в Дрездене , в 1793 стал доцентом Лейпцигского университета . Он стал экстраординарным профессором в Лейпциге в 1796 году, а в 1804 году переехал в Эрланген в качестве профессора, заняв кафедру, ранее принадлежавшую Карлу Кристиану фон Лангсдорфу . Он умер в 1842 году, и его должность в Эрлангене, в свою очередь, занял Иоганн Вильгельм Пфафф, брат более известного математика Иоганна Фридриха Пфаффа .

Исследовать

Тождество Роте-Хагена , суммирования формула биномиальных коэффициентов , появилась в диссертации Роте 1793 года. Он назван в честь него и более поздней работы Иоганна Георга Хагена . В ту же диссертацию также включена формула для вычисления ряда Тейлора из обратной функции ряда Тейлора для самой функции, связанная с теоремой обращения Лагранжа .

При изучении перестановок Роте был первым, кто определил обратную перестановку, в 1800 году. Он разработал технику визуализации перестановок, теперь известную как диаграмма Роте , квадратная таблица, в каждой ячейке которой есть точка ( i , j ). для которого перестановка сопоставляет позицию i с позицией j и крестиком в каждой ячейке ( i , j ), для которой есть точка позже в строке i и еще одна точка позже в столбце j . Используя диаграммы Роте, он показал, что число инверсий в перестановке такое же, как и в обратной, поскольку обратная перестановка имеет в качестве диаграммы транспонирование исходной диаграммы, а инверсии обеих перестановок отмечены крестиками. Роте использовал этот факт, чтобы показать, что определитель матрицы многочлен такой же, как и определитель транспонирования: если разложить определитель как , каждый член соответствует перестановке, а знак члена четностью определяется количество его инверсий. Поскольку каждый член определителя транспонирования соответствует члену исходной матрицы с обратной перестановкой и тем же количеством инверсий, он имеет одинаковый знак, и поэтому два определителя также одинаковы.

В своей работе 1800 года о перестановках Роте также был первым, кто рассмотрел перестановки, которые являются инволюциями ; то есть они являются сами себе обратными или, что то же самое, имеют симметричные диаграммы Роте. Он нашел рекуррентное соотношение

$T(n)=T(n-1)+(n-1)T(n-2)$

для подсчета этих перестановок, который также подсчитывает количество таблиц Юнга и имеет в качестве решения телефонные номера

1, 2, 4, 10, 26, 76, 232, 764, 2620, 9496, ... (последовательность A000085 в OEIS ).

Роте был также первым, кто сформулировал q -биномиальную теорему , q -аналог биномиальной теоремы , в публикации 1811 года.

Избранные публикации

• Формулы обращения рядов, демонстрирующие универсальные локальные знаки. Комбинаторно-аналитические замещающие экспонаты: Dissertatio Academica , Лейпциг, 1793.
• « О перестановках в зависимости от положений их элементов. Применение выведенных из них теорем к задаче исключения ». В Гинденбурге, Карл , изд., Сборник комбинаторно-аналитических трактатов , стр. 263–305, Бей Г. Флейшер Младший, 1800.
• Систематический учебник арифметики , Лейпциг, 1811 г.