Эллиптический гипергеометрический ряд

В математике эллиптическая гипергеометрическая серия — это серия Σ c _n такая, что отношение c _n / c _{n −1} — эллиптическая функция от n , аналогичная обобщенному гипергеометрическому ряду , где отношение является рациональной функцией от n , и базовому гипергеометрическому ряду , где отношение является периодической функцией комплексного числа n . Они были введены Дате-Джимбо-Куниба-Мива-Окадо (1987) и Френкелем и Тураевым (1997) при исследовании эллиптических символов 6-j .

Обзоры эллиптических гипергеометрических рядов см. в Gasper & Rahman (2004) , Spiridonov (2008) или Rosengren (2016) .

Определения

Символ q-Похгаммера определяется формулой

$\displaystyle (a;q)_{n}=\prod _{k=0}^{n-1}(1-aq^{k})=(1-a)(1-aq)(1-aq^{2})\cdots (1-aq^{n-1}).$

$\displaystyle (a_{1},a_{2},\ldots ,a_{m};q)_{n}=(a_{1};q)_{n}(a_{2};q)_{n}\ldots (a_{m};q)_{n}.$

Модифицированная тета-функция Якоби с аргументом x и именем p определяется формулой

$\displaystyle \theta (x;p)=(x,p/x;p)_{\infty }$

$\displaystyle \theta (x_{1},...,x_{m};p)=\theta (x_{1};p)...\theta (x_{m};p)$

Эллиптический сдвинутый факториал определяется формулой

$\displaystyle (a;q,p)_{n}=\theta (a;p)\theta (aq;p)...\theta (aq^{n-1};p)$

$\displaystyle (a_{1},...,a_{m};q,p)_{n}=(a_{1};q,p)_{n}\cdots (a_{m};q,p)_{n}$

Тета-гипергеометрический ряд _{r +1} E _r определяется формулой

$\displaystyle {}_{r+1}E_{r}(a_{1},...a_{r+1};b_{1},...,b_{r};q,p;z)=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(a_{1},...,a_{r+1};q;p)_{n}}{(q,b_{1},...,b_{r};q,p)_{n}}}z^{n}$

Очень хорошо сбалансированный тэта-гипергеометрический ряд _{r +1} V _r определяется формулой

$\displaystyle {}_{r+1}V_{r}(a_{1};a_{6},a_{7},...a_{r+1};q,p;z)=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {\theta (a_{1}q^{2n};p)}{\theta (a_{1};p)}}{\frac {(a_{1},a_{6},a_{7},...,a_{r+1};q;p)_{n}}{(q,a_{1}q/a_{6},a_{1}q/a_{7},...,a_{1}q/a_{r+1};q,p)_{n}}}(qz)^{n}$

Двусторонняя тета-гипергеометрическая серия _r G _r определяется формулой

$\displaystyle {}_{r}G_{r}(a_{1},...a_{r};b_{1},...,b_{r};q,p;z)=\sum _{n=-\infty }^{\infty }{\frac {(a_{1},...,a_{r};q;p)_{n}}{(b_{1},...,b_{r};q,p)_{n}}}z^{n}$

Определения аддитивных эллиптических гипергеометрических рядов

Эллиптические числа определяются формулой

$[a;\sigma ,\tau ]={\frac {\theta _{1}(\pi \sigma a,e^{\pi i\tau })}{\theta _{1}(\pi \sigma ,e^{\pi i\tau })}}$

где тэта-функция Якоби определяется выражением

$\theta _{1}(x,q)=\sum _{n=-\infty }^{\infty }(-1)^{n}q^{(n+1/2)^{2}}e^{(2n+1)ix}$

Аддитивные эллиптические сдвинутые факториалы определяются формулой

• $[a;\sigma ,\tau ]_{n}=[a;\sigma ,\tau ][a+1;\sigma ,\tau ]...[a+n-1;\sigma ,\tau ]$
• $[a_{1},...,a_{m};\sigma ,\tau ]=[a_{1};\sigma ,\tau ]...[a_{m};\sigma ,\tau ]$

Аддитивный тэта-гипергеометрический ряд _{r +1} e _r определяется формулой

$\displaystyle {}_{r+1}e_{r}(a_{1},...a_{r+1};b_{1},...,b_{r};\sigma ,\tau ;z)=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {[a_{1},...,a_{r+1};\sigma ;\tau ]_{n}}{[1,b_{1},...,b_{r};\sigma ,\tau ]_{n}}}z^{n}$

Аддитивный очень хорошо сбалансированный тэта-гипергеометрический ряд _{r +1} v _r определяется формулой

$\displaystyle {}_{r+1}v_{r}(a_{1};a_{6},...a_{r+1};\sigma ,\tau ;z)=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {[a_{1}+2n;\sigma ,\tau ]}{[a_{1};\sigma ,\tau ]}}{\frac {[a_{1},a_{6},...,a_{r+1};\sigma ,\tau ]_{n}}{[1,1+a_{1}-a_{6},...,1+a_{1}-a_{r+1};\sigma ,\tau ]_{n}}}z^{n}$

Дальнейшее чтение

• Спиридонов, ВП (2013). «Аспекты эллиптических гипергеометрических функций». В Берндте, Брюс К. (ред.). Наследие Шриниваса Рамануджана Материалы международной конференции, посвященной 125-летию со дня рождения Рамануджана; Университет Дели, 17-22 декабря 2012 г. Серия конспектов лекций Математического общества Рамануджана. Том. 20. Математическое общество Рамануджана. стр. 347–361. arXiv : 1307.2876 . Бибкод : 2013arXiv1307.2876S . ISBN  9789380416137 .
• Розенгрен, Ялмар (2016). «Эллиптические гипергеометрические функции». arXiv : 1608.06161 [ math.CA ].

Ссылки

• Френкель, Игорь Б.; Тураев, Владимир Г. (1997), «Эллиптические решения уравнения Янга-Бакстера и модулярные гипергеометрические функции» , Математические семинары Арнольда-Гельфанда , Бостон, Массачусетс: Birkhäuser Boston, стр. 171–204, ISBN  978-0-8176-3883-2 , МР   1429892
• Гаспер, Джордж; Рахман, Мизан (2004), Основные гипергеометрические серии , Энциклопедия математики и ее приложений, том. 96 (2-е изд.), Издательство Кембриджского университета , ISBN  978-0-521-83357-8 , МР   2128719
• Спиридонов, В.П. (2002), "Тета-гипергеометрический ряд", Асимптотическая комбинаторика с приложением к математической физике (Санкт-Петербург, 2001) , NATO Sci. Сер. II Матем. Физ. хим., вып. 77, Дордрехт: Клювер Акад. Publ., стр. 307–327, arXiv : math/0303204 , Bibcode : 2003math......3204S , MR   2000728
• Spiridonov, V. P. (2003), "Theta hypergeometric integrals", Rossiĭskaya Akademiya Nauk. Algebra i Analiz , 15 (6): 161–215, arXiv : math/0303205 , Bibcode : 2003math......3205S , doi : 10.1090/S1061-0022-04-00839-8 , MR  2044635 , S2CID  14471695
• Spiridonov, V. P. (2008), "Essays on the theory of elliptic hypergeometric functions", Rossiĭskaya Akademiya Nauk. Moskovskoe Matematicheskoe Obshchestvo. Uspekhi Matematicheskikh Nauk , 63 (3): 3–72, arXiv : 0805.3135 , Bibcode : 2008RuMaS..63..405S , doi : 10.1070/RM2008v063n03ABEH004533 , MR  2479997 , S2CID  16996893
• Варнаар, С. Оле (2002), «Формулы суммирования и преобразования для эллиптических гипергеометрических рядов», Constructive Approximation , 18 (4): 479–502, arXiv : math/0001006 , doi : 10.1007/s00365-002-0501-6 , МР   1920282 , S2CID   18102177