Двусторонний гипергеометрический ряд

В математике двусторонний гипергеометрический ряд — это ряд Σ a _n, суммированный по всем целым числам n и такой, что соотношение

а _н / д _{н +1}

двух слагаемых является рациональной функцией от n . Определение обобщенного гипергеометрического ряда аналогично, за исключением того, что члены с отрицательным n должны обращаться в нуль; двусторонний ряд, как правило, будет иметь бесконечное количество ненулевых членов как для положительных, так и для отрицательных n .

Двусторонний гипергеометрический ряд не сходится для большинства рациональных функций, хотя его можно аналитически продолжить до функции, определенной для большинства рациональных функций. Существует несколько формул суммирования, дающих его значения для особых значений, где оно сходится.

Определение

Двусторонний гипергеометрический ряд _p H _p определяется формулой

${}_{p}H_{p}(a_{1},\ldots ,a_{p};b_{1},\ldots ,b_{p};z)={}_{p}H_{p}\left({\begin{matrix}a_{1}&\ldots &a_{p}\\b_{1}&\ldots &b_{p}\\\end{matrix}};z\right)=\sum _{n=-\infty }^{\infty }{\frac {(a_{1})_{n}(a_{2})_{n}\ldots (a_{p})_{n}}{(b_{1})_{n}(b_{2})_{n}\ldots (b_{p})_{n}}}z^{n}$

где

$(a)_{n}=a(a+1)(a+2)\cdots (a+n-1)\,$

— это восходящий факториал или символ Поххаммера .

Обычно переменная z принимается равной 1, и в этом случае ее исключают из обозначений. можно определить ряд _p H _q с разными p и q Аналогично , но он либо не сходится, либо путем замены переменных может быть сведен к обычному гипергеометрическому ряду.

Сходимость и аналитическое продолжение

Предположим, что ни одна из переменных a или b не является целым числом, так что все члены ряда конечны и отличны от нуля. Тогда члены с n <0 расходятся, если | г | <1, а члены с n >0 расходятся, если | г | >1, поэтому ряд не может сходиться, если | г |=1. Когда | z |=1, ряд сходится, если

$\Re (b_{1}+\cdots b_{n}-a_{1}-\cdots -a_{n})>1.$

Двусторонний гипергеометрический ряд можно аналитически продолжить до многозначной мероморфной функции нескольких переменных, особенности которойточки ветвления в точках z = 0 и z =1 и простые полюса в точках a _i = −1, −2,... и b _i = 0, 1, 2, ...Это можно сделать следующим образом. Предположим, что ни одна из переменных a или b не является целым числом. Члены с положительным n сходятся при | г | <1 до функции, удовлетворяющей неоднородному линейному уравнению с особенностями в точках z = 0 и z = 1, поэтому ее можно продолжить до многозначной функции с этими точками в качестве точек ветвления. Аналогично члены с отрицательным n сходятся для | г | >1 до функции, удовлетворяющей неоднородному линейному уравнению с особенностями при z = 0 и z = 1, поэтому его также можно продолжить до многозначной функции с этими точками в качестве точек ветвления. Сумма этих функций дает аналитическое продолжение двустороннего гипергеометрического ряда для всех значений z, кроме 0 и 1, и удовлетворяет линейному дифференциальному уравнению по z, аналогичному гипергеометрическому дифференциальному уравнению.

Формулы суммирования

Двусторонняя сумма Дугалла

${}_{2}H_{2}(a,b;c,d;1)=\sum _{n=-\infty }^{\infty }{\frac {(a)_{n}(b)_{n}}{(c)_{n}(d)_{n}}}={\frac {\Gamma (d)\Gamma (c)\Gamma (1-a)\Gamma (1-b)\Gamma (c+d-a-b-1)}{\Gamma (c-a)\Gamma (c-b)\Gamma (d-a)\Gamma (d-b)}}$

( Дугалл 1907 )

Иногда это пишут в эквивалентной форме

$\sum _{n=-\infty }^{\infty }{\frac {\Gamma (a+n)\Gamma (b+n)}{\Gamma (c+n)\Gamma (d+n)}}={\frac {\pi ^{2}}{\sin(\pi a)\sin(\pi b)}}{\frac {\Gamma (c+d-a-b-1)}{\Gamma (c-a)\Gamma (d-a)\Gamma (c-b)\Gamma (d-b)}}.$

Формула Бейли

( Bailey 1959 ) дал следующее обобщение формулы Дугалла:

${}_{3}H_{3}(a,b,f+1;d,e,f;1)=\sum _{n=-\infty }^{\infty }{\frac {(a)_{n}(b)_{n}(f+1)_{n}}{(d)_{n}(e)_{n}(f)_{n}}}=\lambda {\frac {\Gamma (d)\Gamma (e)\Gamma (1-a)\Gamma (1-b)\Gamma (d+e-a-b-2)}{\Gamma (d-a)\Gamma (d-b)\Gamma (e-a)\Gamma (e-b)}}$

где

$\lambda =f^{-1}\left[(f-a)(f-b)-(1+f-d)(1+f-e)\right].$

См. также

• Основные двусторонние гипергеометрические серии

Ссылки

• Бейли, WN (1959), «О сумме определенного двустороннего гипергеометрического ряда ₃ H ₃ », Ежеквартальный журнал математики , вторая серия, 10 : 92–94, doi : 10.1093/qmath/10.1.92 , ISSN   0033- 5606 , МР   0107727
• Дугалл, Дж. (1907), «О теореме Вандермонда и некоторых более общих расширениях», Proc. Эдинбургская математика. Соц. , 25 : 114–132, doi : 10.1017/S0013091500033642
• Слейтер, Люси Джоан (1966), Обобщенные гипергеометрические функции , Кембридж, Великобритания: Издательство Кембриджского университета, ISBN  0-521-06483-Х , MR   0201688 (есть мягкая обложка 2008 года с ISBN   978-0-521-09061-2 )