серия Гумберт

В математике ряды Гумберта представляют собой набор из семи гипергеометрических рядов Φ ₁ , Φ ₂ , Φ ₃ , Ψ ₁ , Ψ ₂ , Ξ ₁ , Ξ ₂ двух переменных , которые обобщают конфлюэнтный гипергеометрический ряд Куммера ₁ F ₁ одной переменной и конфлюэнтную гипергеометрическая предельная функция ₀ F ₁ одной переменной. Первую из этих двойных серий представил Пьер Юмбер ( 1920 ).

Определения

Ряд Гумберта Φ ₁ определен для | х | < 1 двойным рядом:

$\Phi _{1}(a,b,c;x,y)=F_{1}(a,b,-,c;x,y)=\sum _{m,n=0}^{\infty }{\frac {(a)_{m+n}(b)_{m}}{(c)_{m+n}\,m!\,n!}}\,x^{m}y^{n}~,$

где символ Поххаммера ( q ) _n представляет собой возрастающий факториал:

$(q)_{n}=q\,(q+1)\cdots (q+n-1)={\frac {\Gamma (q+n)}{\Gamma (q)}}~,$

где второе равенство верно для всех комплексных $q$ кроме $q=0,-1,-2,\ldots$.

Для других значений x функцию Φ ₁ можно определить аналитическим продолжением .

Ряд Гумберта Φ ₁ также можно записать в виде одномерного Эйлера типа интеграла :

$\Phi _{1}(a,b,c;x,y)={\frac {\Gamma (c)}{\Gamma (a)\Gamma (c-a)}}\int _{0}^{1}t^{a-1}(1-t)^{c-a-1}(1-xt)^{-b}e^{yt}\,\mathrm {d} t,\quad \Re \,c>\Re \,a>0~.$

Это представление можно проверить с помощью разложения Тейлора подынтегральной функции с последующим почленным интегрированием.

Аналогично функция Ф2 _{определяется} для всех х , у рядом:

$\Phi _{2}(b_{1},b_{2},c;x,y)=F_{1}(-,b_{1},b_{2},c;x,y)=\sum _{m,n=0}^{\infty }{\frac {(b_{1})_{m}(b_{2})_{n}}{(c)_{m+n}\,m!\,n!}}\,x^{m}y^{n}~,$

функцию Ф ₃ для всех x , y рядом:

$\Phi _{3}(b,c;x,y)=\Phi _{2}(b,-,c;x,y)=F_{1}(-,b,-,c;x,y)=\sum _{m,n=0}^{\infty }{\frac {(b)_{m}}{(c)_{m+n}\,m!\,n!}}\,x^{m}y^{n}~,$

функция Ψ ₁ для | х | < 1 по ряду:

$\Psi _{1}(a,b,c_{1},c_{2};x,y)=F_{2}(a,b,-,c_{1},c_{2};x,y)=\sum _{m,n=0}^{\infty }{\frac {(a)_{m+n}(b)_{m}}{(c_{1})_{m}(c_{2})_{n}\,m!\,n!}}\,x^{m}y^{n}~,$

функцию Ψ ₂ для всех x , y рядом:

$\Psi _{2}(a,c_{1},c_{2};x,y)=\Psi _{1}(a,-,c_{1},c_{2};x,y)=F_{2}(a,-,-,c_{1},c_{2};x,y)=F_{4}(a,-,c_{1},c_{2};x,y)=\sum _{m,n=0}^{\infty }{\frac {(a)_{m+n}}{(c_{1})_{m}(c_{2})_{n}\,m!\,n!}}\,x^{m}y^{n}~,$

функция Ξ ₁ для | х | < 1 по ряду:

$\Xi _{1}(a_{1},a_{2},b,c;x,y)=F_{3}(a_{1},a_{2},b,-,c;x,y)=\sum _{m,n=0}^{\infty }{\frac {(a_{1})_{m}(a_{2})_{n}(b)_{m}}{(c)_{m+n}\,m!\,n!}}\,x^{m}y^{n}~,$

и функция Ξ ₂ при | х | < 1 по ряду:

$\Xi _{2}(a,b,c;x,y)=\Xi _{1}(a,-,b,c;x,y)=F_{3}(a,-,b,-,c;x,y)=\sum _{m,n=0}^{\infty }{\frac {(a)_{m}(b)_{m}}{(c)_{m+n}\,m!\,n!}}\,x^{m}y^{n}~.$

Похожие серии

• Основная статья: Серия Appell

Есть четыре связанных ряда двух переменных, F ₁ , F ₂ , F ₃ и F ₄ , которые обобщают гипергеометрический ряд Гаусса ₂ F ₁ аналогичным образом одной переменной и которые были введены Полем Эмилем Аппеллом в 1880 году.

Ссылки

• Аппелл, Пол ; Кампе де Ферье, Жозеф (1926). Гипергеометрические и гиперсферические функции; Полиномы Эрмита (на французском языке). Париж: Готье-Виллар. ЖФМ   52.0361.13 . (см. стр. 126)
• Бейтман, Х .; Эрдели, А. (1953). Высшие трансцендентные функции, Vol. Я (PDF) . Нью-Йорк: МакГроу-Хилл. (см. стр. 225)
• Градштейн Израиль Соломонович ; Рыжик Иосиф Моисеевич ; Героним Юрий Вениаминович ; Цейтлин Михаил Юльевич ; Джеффри, Алан (2015) [октябрь 2014 г.]. «9.26.». В Цвиллингере, Дэниел; Молл, Виктор Гюго (ред.). Таблица интегралов, рядов и произведений . Перевод Scripta Technica, Inc. (8-е изд.). Academic Press, Inc. ISBN  978-0-12-384933-5 . LCCN   2014010276 .
• Гумберт, Пьер (1920). «О гиперцилиндрических функциях». Еженедельные отчеты сессий Академии наук (на французском языке). 171 : 490–492. ЯФМ   47.0348.01 .