Функция МакРоберта E

В математике E-функция была введена Томасом Мюрреем МакРобертом ( 1937–1938 ) для расширения обобщенного гипергеометрического ряда _p F _q (·) на случай p > q + 1. Основная цель заключалась в определении очень общей функции, которая включает в себя как частные случаи большинство известных до сих пор специальных функций . Однако эта функция не оказала большого влияния на литературу, так как ее всегда можно выразить через G-функцию Мейера , тогда как обратное неверно, так что G-функция имеет еще более общий характер. Он определяется как:

$${\begin{aligned}E(p;\alpha _{r};\rho _{s};z)\equiv {}&{\frac {\Gamma (\alpha _{q+1})}{\prod _{k=1}^{q}\Gamma (\rho _{k}-\alpha _{k})}}\prod _{\mu =1}^{q}\int _{0}^{\infty }\lambda _{\mu }^{\rho _{\mu }-\alpha _{\mu }-a}(\lambda _{\mu }+1)^{-\rho _{\mu }}\,d\lambda _{\mu }\\&\times \prod _{\nu =2}^{p-q-1}\int _{0}^{\infty }\lambda _{q+\nu }^{\alpha _{q+\nu }-1}\exp(-\lambda _{q+\nu })\,d\lambda _{q+\nu }\\&\times \int _{0}^{\infty }\lambda _{p}^{\alpha _{p}-1}\exp(-\lambda _{p})\left[{\frac {\prod _{k=q+2}^{p}\lambda _{k}}{z\prod _{k=1}^{q}\lambda _{k}+1}}+1\right]\,d\lambda _{p}\end{aligned}}$$

Определение

Есть несколько способов определить E-функцию МакРоберта; следующее определение дано в терминах обобщенной гипергеометрической функции :

• когда p ≤ q и x ≠ 0 или p = q + 1 и | х | > 1:

$E\!\left(\left.{\begin{matrix}\mathbf {a_{p}} \\\mathbf {b_{q}} \end{matrix}}\;\right|\,x\right)={\frac {\prod _{j=1}^{p}\Gamma (a_{j})}{\prod _{j=1}^{q}\Gamma (b_{j})}}\;_{p}F_{q}\!\left(\left.{\begin{matrix}\mathbf {a_{p}} \\\mathbf {b_{q}} \end{matrix}}\;\right|\,-x^{-1}\right)$

• когда p ≥ q + 2 или p = q + 1 и | х | < 1:

$E\!\left(\left.{\begin{matrix}\mathbf {a_{p}} \\\mathbf {b_{q}} \end{matrix}}\;\right|\,x\right)=\sum _{h=1}^{p}{\frac {\prod _{j=1}^{p}\Gamma (a_{j}-a_{h})^{*}}{\prod _{j=1}^{q}\Gamma (b_{j}-a_{h})}}\Gamma (a_{h})\;x^{a_{h}}\;_{q+1}F_{p-1}\!\left(\left.{\begin{matrix}a_{h},1+a_{h}-b_{1},\dots ,1+a_{h}-b_{q}\\1+a_{h}-a_{1},\dots ,*,\dots ,1+a_{h}-a_{p}\end{matrix}}\;\right|\,(-1)^{p-q}\;x\right).$

Звездочки здесь напоминают нам о необходимости игнорировать вклад с индексом j = h следующим образом: в произведении это означает замену Γ(0) на 1, а в аргументе гипергеометрической функции это означает сокращение длины вектора от p до p − 1. Очевидно, это определение охватывает все значения p и q .

Связь с G-функцией Мейера

E-функцию МакРоберта всегда можно выразить через G-функцию Мейера :

$E\!\left(\left.{\begin{matrix}\mathbf {a_{p}} \\\mathbf {b_{q}} \end{matrix}}\;\right|\,x\right)=G_{q+1,\,p}^{\,p,\,1}\!\left(\left.{\begin{matrix}1,\mathbf {b_{q}} \\\mathbf {a_{p}} \end{matrix}}\;\right|\,x\right)$

где значения параметров не ограничены, т.е. это соотношение выполняется без исключений.

Ссылки

• Эндрюс, LC (1985). Специальные функции для инженеров и прикладных математиков . Нью-Йорк: Макмиллан. ISBN  0-02-948650-5 .
• Эрдели, А. ; Магнус, В.; Оберхеттингер Ф. и Трикоми Ф.Г. (1953). Высшие трансцендентные функции (PDF) . Том. 1. Нью-Йорк: МакГроу-Хилл. (см. § 5.2, «Определение Е-функции», стр. 203)
• Градштейн Израиль Соломонович ; Рыжик Иосиф Моисеевич ; Героним Юрий Вениаминович ; Цейтлин Михаил Юльевич ; Джеффри, Алан (2015) [октябрь 2014 г.]. «9.4.». В Цвиллингере, Дэниел; Молл, Виктор Гюго (ред.). Таблица интегралов, рядов и произведений . Перевод Scripta Technica, Inc. (8-е изд.). Academic Press, Inc. ISBN  978-0-12-384933-5 . LCCN   2014010276 .
• МакРоберт, ТМ (1937–38). «Индукционные доказательства связей между некоторыми асимптотическими разложениями и соответствующими обобщенными гипергеометрическими рядами». Учеб. Р. Сок. Эдинбург . 58 : 1–13. ЖФМ   64.0337.01 .
• МакРоберт, ТМ (1962). «Интегралы Барнса как сумма E-функций» . Математические Аннален . 147 (3): 240–243. дои : 10.1007/bf01470741 . S2CID   121048026 . Збл   0100.28601 .

Внешние ссылки

• Вайсштейн, Эрик В. «Электронная функция МакРоберта» . Математический мир .