В математике определенный интеграл
∫ a b f ( x ) d x {\displaystyle \int _{a}^{b}f(x)\,dx} - это площадь области в плоскости xy , ограниченной графиком f , осью x и линиями x = a и x = b , так что площадь выше оси x добавляется к общей сумме, а площадь ниже ось X вычитает из общей суммы.
Основная теорема исчисления устанавливает связь между неопределенными и определенными интегралами и вводит технику вычисления определенных интегралов.
Если интервал бесконечен, определенный интеграл называется несобственным и определяется с помощью соответствующих предельных процедур. например:
∫ a ∞ f ( x ) d x = lim b → ∞ [ ∫ a b f ( x ) d x ] {\displaystyle \int _{a}^{\infty }f(x)\,dx=\lim _{b\to \infty }\left[\int _{a}^{b}f(x)\,dx\right]} Константа, такая как pi, которая может быть определена интегралом от алгебраической функции в алгебраической области, известна как период .
Ниже приводится список некоторых наиболее распространенных и интересных определенных интегралов. Список неопределенных интегралов см. в разделе «Список неопределенных интегралов»
Определенные интегралы, включающие рациональные или иррациональные выражения [ редактировать ] ∫ 0 ∞ d x 1 + x p = π / p sin ( π / p ) for ℜ ( p ) > 1 {\displaystyle \int _{0}^{\infty }{\frac {dx}{1+x^{p}}}={\frac {\pi /p}{\sin(\pi /p)}}\quad {\text{for }}\Re (p)>1} ∫ 0 ∞ x p − 1 d x 1 + x = π sin ( p π ) for 0 < p < 1 {\displaystyle \int _{0}^{\infty }{\frac {x^{p-1}dx}{1+x}}={\frac {\pi }{\sin(p\pi )}}\quad {\text{for }}0<p<1} ∫ 0 ∞ x m d x x n + a n = π a m − n + 1 n sin ( m + 1 n π ) for 0 < m + 1 < n {\displaystyle \int _{0}^{\infty }{\frac {x^{m}dx}{x^{n}+a^{n}}}={\frac {\pi a^{m-n+1}}{n\sin \left({\dfrac {m+1}{n}}\pi \right)}}\quad {\text{for }}0<m+1<n} ∫ 0 ∞ x m d x 1 + 2 x cos β + x 2 = π sin ( m π ) ⋅ sin ( m β ) sin ( β ) {\displaystyle \int _{0}^{\infty }{\frac {x^{m}dx}{1+2x\cos \beta +x^{2}}}={\frac {\pi }{\sin(m\pi )}}\cdot {\frac {\sin(m\beta )}{\sin(\beta )}}} ∫ 0 a d x a 2 − x 2 = π 2 {\displaystyle \int _{0}^{a}{\frac {dx}{\sqrt {a^{2}-x^{2}}}}={\frac {\pi }{2}}} ∫ 0 a a 2 − x 2 d x = π a 2 4 {\displaystyle \int _{0}^{a}{\sqrt {a^{2}-x^{2}}}dx={\frac {\pi a^{2}}{4}}} ∫ 0 a x m ( a n − x n ) p d x = a m + 1 + n p Γ ( m + 1 n ) Γ ( p + 1 ) n Γ ( m + 1 n + p + 1 ) {\displaystyle \int _{0}^{a}x^{m}(a^{n}-x^{n})^{p}\,dx={\frac {a^{m+1+np}\Gamma \left({\dfrac {m+1}{n}}\right)\Gamma (p+1)}{n\Gamma \left({\dfrac {m+1}{n}}+p+1\right)}}} ∫ 0 ∞ x m d x ( x n + a n ) r = ( − 1 ) r − 1 π a m + 1 − n r Γ ( m + 1 n ) n sin ( m + 1 n π ) ( r − 1 ) ! Γ ( m + 1 n − r + 1 ) for n ( r − 2 ) < m + 1 < n r {\displaystyle \int _{0}^{\infty }{\frac {x^{m}dx}{({x^{n}+a^{n})}^{r}}}={\frac {(-1)^{r-1}\pi a^{m+1-nr}\Gamma \left({\dfrac {m+1}{n}}\right)}{n\sin \left({\dfrac {m+1}{n}}\pi \right)(r-1)!\,\Gamma \left({\dfrac {m+1}{n}}-r+1\right)}}\quad {\text{for }}n(r-2)<m+1<nr} Определенные интегралы, включающие тригонометрические функции [ редактировать ] ∫ 0 π sin ( m x ) sin ( n x ) d x = { 0 if m ≠ n π 2 if m = n for m , n positive integers {\displaystyle \int _{0}^{\pi }\sin(mx)\sin(nx)dx={\begin{cases}0&{\text{if }}m\neq n\\\\{\dfrac {\pi }{2}}&{\text{if }}m=n\end{cases}}\quad {\text{for }}m,n{\text{ positive integers}}} ∫ 0 π cos ( m x ) cos ( n x ) d x = { 0 if m ≠ n π 2 if m = n for m , n positive integers {\displaystyle \int _{0}^{\pi }\cos(mx)\cos(nx)dx={\begin{cases}0&{\text{if }}m\neq n\\\\{\dfrac {\pi }{2}}&{\text{if }}m=n\end{cases}}\quad {\text{for }}m,n{\text{ positive integers}}} ∫ 0 π sin ( m x ) cos ( n x ) d x = { 0 if m + n even 2 m m 2 − n 2 if m + n odd for m , n integers . {\displaystyle \int _{0}^{\pi }\sin(mx)\cos(nx)dx={\begin{cases}0&{\text{if }}m+n{\text{ even}}\\\\{\dfrac {2m}{m^{2}-n^{2}}}&{\text{if }}m+n{\text{ odd}}\end{cases}}\quad {\text{for }}m,n{\text{ integers}}.} ∫ 0 π 2 sin 2 ( x ) d x = ∫ 0 π 2 cos 2 ( x ) d x = π 4 {\displaystyle \int _{0}^{\frac {\pi }{2}}\sin ^{2}(x)dx=\int _{0}^{\frac {\pi }{2}}\cos ^{2}(x)dx={\frac {\pi }{4}}} ∫ 0 π 2 sin 2 m ( x ) d x = ∫ 0 π 2 cos 2 m ( x ) d x = 1 × 3 × 5 × ⋯ × ( 2 m − 1 ) 2 × 4 × 6 × ⋯ × 2 m ⋅ π 2 for m = 1 , 2 , 3 … {\displaystyle \int _{0}^{\frac {\pi }{2}}\sin ^{2m}(x)dx=\int _{0}^{\frac {\pi }{2}}\cos ^{2m}(x)dx={\frac {1\times 3\times 5\times \cdots \times (2m-1)}{2\times 4\times 6\times \cdots \times 2m}}\cdot {\frac {\pi }{2}}\quad {\text{for }}m=1,2,3\ldots } ∫ 0 x sin 2 m ( t ) d t = ( 2 m − 1 ) ! ! ( 2 m ) ! ! ( x − sin ( x ) cos ( x ) ( 1 + ∑ k = 1 ∞ sin 2 k ( x ) ( 2 k ) ! ! ( 2 k + 1 ) ! ! ) ) for m = 1 , 2 , 3 … {\displaystyle \int _{0}^{x}\sin ^{2m}(t)dt={\frac {(2m-1)!!}{(2m)!!}}{\Biggl (}x-\sin(x)\cos(x){\Biggl (}1+\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {\sin ^{2k}(x)(2k)!!}{(2k+1)!!}}{\Biggr )}{\Biggr )}\quad {\text{for }}m=1,2,3\ldots } ∫ 0 x cos 2 m ( t ) d t = ( 2 m − 1 ) ! ! ( 2 m ) ! ! ( x − sin ( x ) cos ( x ) ( 1 + ∑ k = 1 ∞ cos 2 k ( x ) ( 2 k ) ! ! ( 2 k + 1 ) ! ! ) ) for m = 1 , 2 , 3 … {\displaystyle \int _{0}^{x}\cos ^{2m}(t)dt={\frac {(2m-1)!!}{(2m)!!}}{\Biggl (}x-\sin(x)\cos(x){\Biggl (}1+\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {\cos ^{2k}(x)(2k)!!}{(2k+1)!!}}{\Biggr )}{\Biggr )}\quad {\text{for }}m=1,2,3\ldots } ∫ 0 π 2 sin 2 m + 1 ( x ) d x = ∫ 0 π 2 cos 2 m + 1 ( x ) d x = 2 × 4 × 6 × ⋯ × 2 m 1 × 3 × 5 × ⋯ × ( 2 m + 1 ) for m = 1 , 2 , 3 … {\displaystyle \int _{0}^{\frac {\pi }{2}}\sin ^{2m+1}(x)dx=\int _{0}^{\frac {\pi }{2}}\cos ^{2m+1}(x)dx={\frac {2\times 4\times 6\times \cdots \times 2m}{1\times 3\times 5\times \cdots \times (2m+1)}}\quad {\text{for }}m=1,2,3\ldots } ∫ 0 π 2 sin 2 p − 1 ( x ) cos 2 q − 1 ( x ) d x = Γ ( p ) Γ ( q ) 2 Γ ( p + q ) = 1 2 B ( p , q ) {\displaystyle \int _{0}^{\frac {\pi }{2}}\sin ^{2p-1}(x)\cos ^{2q-1}(x)dx={\frac {\Gamma (p)\Gamma (q)}{2\Gamma (p+q)}}={\frac {1}{2}}{\text{B}}(p,q)} ∫ 0 ∞ sin ( p x ) x d x = { π 2 if p > 0 0 if p = 0 − π 2 if p < 0 {\displaystyle \int _{0}^{\infty }{\frac {\sin(px)}{x}}dx={\begin{cases}{\dfrac {\pi }{2}}&{\text{if }}p>0\\\\0&{\text{if }}p=0\\\\-{\dfrac {\pi }{2}}&{\text{if }}p<0\end{cases}}} интеграл Дирихле ) ∫ 0 ∞ sin p x cos q x x d x = { 0 if q > p > 0 π 2 if 0 < q < p π 4 if p = q > 0 {\displaystyle \int _{0}^{\infty }{\frac {\sin px\cos qx}{x}}\ dx={\begin{cases}0&{\text{ if }}q>p>0\\\\{\dfrac {\pi }{2}}&{\text{ if }}0<q<p\\\\{\dfrac {\pi }{4}}&{\text{ if }}p=q>0\end{cases}}} ∫ 0 ∞ sin p x sin q x x 2 d x = { π p 2 if 0 < p ≤ q π q 2 if 0 < q ≤ p {\displaystyle \int _{0}^{\infty }{\frac {\sin px\sin qx}{x^{2}}}\ dx={\begin{cases}{\dfrac {\pi p}{2}}&{\text{ if }}0<p\leq q\\\\{\dfrac {\pi q}{2}}&{\text{ if }}0<q\leq p\end{cases}}} ∫ 0 ∞ sin 2 p x x 2 d x = π p 2 {\displaystyle \int _{0}^{\infty }{\frac {\sin ^{2}px}{x^{2}}}\ dx={\frac {\pi p}{2}}} ∫ 0 ∞ 1 − cos p x x 2 d x = π p 2 {\displaystyle \int _{0}^{\infty }{\frac {1-\cos px}{x^{2}}}\ dx={\frac {\pi p}{2}}} ∫ 0 ∞ cos p x − cos q x x d x = ln q p {\displaystyle \int _{0}^{\infty }{\frac {\cos px-\cos qx}{x}}\ dx=\ln {\frac {q}{p}}} ∫ 0 ∞ cos p x − cos q x x 2 d x = π ( q − p ) 2 {\displaystyle \int _{0}^{\infty }{\frac {\cos px-\cos qx}{x^{2}}}\ dx={\frac {\pi (q-p)}{2}}} ∫ 0 ∞ cos m x x 2 + a 2 d x = π 2 a e − m a {\displaystyle \int _{0}^{\infty }{\frac {\cos mx}{x^{2}+a^{2}}}\ dx={\frac {\pi }{2a}}e^{-ma}} ∫ 0 ∞ x sin m x x 2 + a 2 d x = π 2 e − m a {\displaystyle \int _{0}^{\infty }{\frac {x\sin mx}{x^{2}+a^{2}}}\ dx={\frac {\pi }{2}}e^{-ma}} ∫ 0 ∞ sin m x x ( x 2 + a 2 ) d x = π 2 a 2 ( 1 − e − m a ) {\displaystyle \int _{0}^{\infty }{\frac {\sin mx}{x(x^{2}+a^{2})}}\ dx={\frac {\pi }{2a^{2}}}\left(1-e^{-ma}\right)} ∫ 0 2 π d x a + b sin x = 2 π a 2 − b 2 {\displaystyle \int _{0}^{2\pi }{\frac {dx}{a+b\sin x}}={\frac {2\pi }{\sqrt {a^{2}-b^{2}}}}} ∫ 0 2 π d x a + b cos x = 2 π a 2 − b 2 {\displaystyle \int _{0}^{2\pi }{\frac {dx}{a+b\cos x}}={\frac {2\pi }{\sqrt {a^{2}-b^{2}}}}} ∫ 0 π 2 d x a + b cos x = cos − 1 ( b a ) a 2 − b 2 {\displaystyle \int _{0}^{\frac {\pi }{2}}{\frac {dx}{a+b\cos x}}={\frac {\cos ^{-1}\left({\dfrac {b}{a}}\right)}{\sqrt {a^{2}-b^{2}}}}} ∫ 0 2 π d x ( a + b sin x ) 2 = ∫ 0 2 π d x ( a + b cos x ) 2 = 2 π a ( a 2 − b 2 ) 3 / 2 {\displaystyle \int _{0}^{2\pi }{\frac {dx}{(a+b\sin x)^{2}}}=\int _{0}^{2\pi }{\frac {dx}{(a+b\cos x)^{2}}}={\frac {2\pi a}{(a^{2}-b^{2})^{3/2}}}} ∫ 0 2 π d x 1 − 2 a cos x + a 2 = 2 π 1 − a 2 for 0 < a < 1 {\displaystyle \int _{0}^{2\pi }{\frac {dx}{1-2a\cos x+a^{2}}}={\frac {2\pi }{1-a^{2}}}\quad {\text{for }}0<a<1} ∫ 0 π x sin x d x 1 − 2 a cos x + a 2 = { π a ln | 1 + a | if | a | < 1 π a ln | 1 + 1 a | if | a | > 1 {\displaystyle \int _{0}^{\pi }{\frac {x\sin x\ dx}{1-2a\cos x+a^{2}}}={\begin{cases}{\dfrac {\pi }{a}}\ln \left|1+a\right|&{\text{if }}|a|<1\\\\{\dfrac {\pi }{a}}\ln \left|1+{\dfrac {1}{a}}\right|&{\text{if }}|a|>1\end{cases}}} ∫ 0 π cos m x d x 1 − 2 a cos x + a 2 = π a m 1 − a 2 for a 2 < 1 , m = 0 , 1 , 2 , … {\displaystyle \int _{0}^{\pi }{\frac {\cos mx\ dx}{1-2a\cos x+a^{2}}}={\frac {\pi a^{m}}{1-a^{2}}}\quad {\text{for }}a^{2}<1\ ,\ m=0,1,2,\dots } ∫ 0 ∞ sin a x 2 d x = ∫ 0 ∞ cos a x 2 = 1 2 π 2 a {\displaystyle \int _{0}^{\infty }\sin ax^{2}\ dx=\int _{0}^{\infty }\cos ax^{2}={\frac {1}{2}}{\sqrt {\frac {\pi }{2a}}}} ∫ 0 ∞ sin a x n = 1 n a 1 / n Γ ( 1 n ) sin π 2 n for n > 1 {\displaystyle \int _{0}^{\infty }\sin ax^{n}={\frac {1}{na^{1/n}}}\Gamma \left({\frac {1}{n}}\right)\sin {\frac {\pi }{2n}}\quad {\text{for }}n>1} ∫ 0 ∞ cos a x n = 1 n a 1 / n Γ ( 1 n ) cos π 2 n for n > 1 {\displaystyle \int _{0}^{\infty }\cos ax^{n}={\frac {1}{na^{1/n}}}\Gamma \left({\frac {1}{n}}\right)\cos {\frac {\pi }{2n}}\quad {\text{for }}n>1} ∫ 0 ∞ sin x x d x = ∫ 0 ∞ cos x x d x = π 2 {\displaystyle \int _{0}^{\infty }{\frac {\sin x}{\sqrt {x}}}\ dx=\int _{0}^{\infty }{\frac {\cos x}{\sqrt {x}}}\ dx={\sqrt {\frac {\pi }{2}}}} ∫ 0 ∞ sin x x p d x = π 2 Γ ( p ) sin ( p π 2 ) for 0 < p < 1 {\displaystyle \int _{0}^{\infty }{\frac {\sin x}{x^{p}}}\ dx={\frac {\pi }{2\Gamma (p)\sin \left({\dfrac {p\pi }{2}}\right)}}\quad {\text{for }}0<p<1} ∫ 0 ∞ cos x x p d x = π 2 Γ ( p ) cos ( p π 2 ) for 0 < p < 1 {\displaystyle \int _{0}^{\infty }{\frac {\cos x}{x^{p}}}\ dx={\frac {\pi }{2\Gamma (p)\cos \left({\dfrac {p\pi }{2}}\right)}}\quad {\text{for }}0<p<1} ∫ 0 ∞ sin a x 2 cos 2 b x d x = 1 2 π 2 a ( cos b 2 a − sin b 2 a ) {\displaystyle \int _{0}^{\infty }\sin ax^{2}\cos 2bx\ dx={\frac {1}{2}}{\sqrt {\frac {\pi }{2a}}}\left(\cos {\frac {b^{2}}{a}}-\sin {\frac {b^{2}}{a}}\right)} ∫ 0 ∞ cos a x 2 cos 2 b x d x = 1 2 π 2 a ( cos b 2 a + sin b 2 a ) {\displaystyle \int _{0}^{\infty }\cos ax^{2}\cos 2bx\ dx={\frac {1}{2}}{\sqrt {\frac {\pi }{2a}}}\left(\cos {\frac {b^{2}}{a}}+\sin {\frac {b^{2}}{a}}\right)} Определенные интегралы, включающие экспоненциальные функции [ редактировать ] ∫ 0 ∞ x e − x d x = 1 2 π {\displaystyle \int _{0}^{\infty }{\sqrt {x}}\,e^{-x}\,dx={\frac {1}{2}}{\sqrt {\pi }}} Гамма-функция ) ∫ 0 ∞ e − a x cos b x d x = a a 2 + b 2 {\displaystyle \int _{0}^{\infty }e^{-ax}\cos bx\,dx={\frac {a}{a^{2}+b^{2}}}} ∫ 0 ∞ e − a x sin b x d x = b a 2 + b 2 {\displaystyle \int _{0}^{\infty }e^{-ax}\sin bx\,dx={\frac {b}{a^{2}+b^{2}}}} ∫ 0 ∞ e − a x sin b x x d x = tan − 1 b a {\displaystyle \int _{0}^{\infty }{\frac {{}e^{-ax}\sin bx}{x}}\,dx=\tan ^{-1}{\frac {b}{a}}} ∫ 0 ∞ e − a x − e − b x x d x = ln b a {\displaystyle \int _{0}^{\infty }{\frac {e^{-ax}-e^{-bx}}{x}}\,dx=\ln {\frac {b}{a}}} ∫ 0 ∞ e − a x − cos ( b x ) x d x = ln b a {\displaystyle \int _{0}^{\infty }{\frac {e^{-ax}-\cos(bx)}{x}}\,dx=\ln {\frac {b}{a}}} ∫ 0 ∞ e − a x 2 d x = 1 2 π a for a > 0 {\displaystyle \int _{0}^{\infty }e^{-ax^{2}}\,dx={\frac {1}{2}}{\sqrt {\frac {\pi }{a}}}\quad {\text{for }}a>0} интеграл Гаусса ) ∫ 0 ∞ e − a x 2 cos b x d x = 1 2 π a e ( − b 2 4 a ) {\displaystyle \int _{0}^{\infty }{e^{-ax^{2}}}\cos bx\,dx={\frac {1}{2}}{\sqrt {\frac {\pi }{a}}}e^{\left({\frac {-b^{2}}{4a}}\right)}} ∫ 0 ∞ e − ( a x 2 + b x + c ) d x = 1 2 π a e ( b 2 − 4 a c 4 a ) ⋅ erfc b 2 a , where erfc ( p ) = 2 π ∫ p ∞ e − x 2 d x {\displaystyle \int _{0}^{\infty }e^{-(ax^{2}+bx+c)}\,dx={\frac {1}{2}}{\sqrt {\frac {\pi }{a}}}e^{\left({\frac {b^{2}-4ac}{4a}}\right)}\cdot \operatorname {erfc} {\frac {b}{2{\sqrt {a}}}},{\text{ where }}\operatorname {erfc} (p)={\frac {2}{\sqrt {\pi }}}\int _{p}^{\infty }e^{-x^{2}}\,dx} ∫ − ∞ ∞ e − ( a x 2 + b x + c ) d x = π a e ( b 2 − 4 a c 4 a ) {\displaystyle \int _{-\infty }^{\infty }e^{-(ax^{2}+bx+c)}\ dx={\sqrt {\frac {\pi }{a}}}e^{\left({\frac {b^{2}-4ac}{4a}}\right)}} ∫ 0 ∞ x n e − a x d x = Γ ( n + 1 ) a n + 1 {\displaystyle \int _{0}^{\infty }x^{n}e^{-ax}\ dx={\frac {\Gamma (n+1)}{a^{n+1}}}} ∫ 0 ∞ x 2 e − a x 2 d x = 1 4 π a 3 for a > 0 {\displaystyle \int _{0}^{\infty }{x^{2}e^{-ax^{2}}\,dx}={\frac {1}{4}}{\sqrt {\frac {\pi }{a^{3}}}}\quad {\text{for }}a>0} ∫ 0 ∞ x 2 n e − a x 2 d x = 2 n − 1 2 a ∫ 0 ∞ x 2 ( n − 1 ) e − a x 2 d x = ( 2 n − 1 ) ! ! 2 n + 1 π a 2 n + 1 = ( 2 n ) ! n ! 2 2 n + 1 π a 2 n + 1 for a > 0 , n = 1 , 2 , 3 … {\displaystyle \int _{0}^{\infty }x^{2n}e^{-ax^{2}}\,dx={\frac {2n-1}{2a}}\int _{0}^{\infty }x^{2(n-1)}e^{-ax^{2}}\,dx={\frac {(2n-1)!!}{2^{n+1}}}{\sqrt {\frac {\pi }{a^{2n+1}}}}={\frac {(2n)!}{n!2^{2n+1}}}{\sqrt {\frac {\pi }{a^{2n+1}}}}\quad {\text{for }}a>0\ ,\ n=1,2,3\ldots } двойной факториал ) ∫ 0 ∞ x 3 e − a x 2 d x = 1 2 a 2 for a > 0 {\displaystyle \int _{0}^{\infty }{x^{3}e^{-ax^{2}}\,dx}={\frac {1}{2a^{2}}}\quad {\text{for }}a>0} ∫ 0 ∞ x 2 n + 1 e − a x 2 d x = n a ∫ 0 ∞ x 2 n − 1 e − a x 2 d x = n ! 2 a n + 1 for a > 0 , n = 0 , 1 , 2 … {\displaystyle \int _{0}^{\infty }x^{2n+1}e^{-ax^{2}}\,dx={\frac {n}{a}}\int _{0}^{\infty }x^{2n-1}e^{-ax^{2}}\,dx={\frac {n!}{2a^{n+1}}}\quad {\text{for }}a>0\ ,\ n=0,1,2\ldots } ∫ 0 ∞ x m e − a x 2 d x = Γ ( m + 1 2 ) 2 a ( m + 1 2 ) {\displaystyle \int _{0}^{\infty }x^{m}e^{-ax^{2}}\ dx={\frac {\Gamma \left({\dfrac {m+1}{2}}\right)}{2a^{\left({\frac {m+1}{2}}\right)}}}} ∫ 0 ∞ e ( − a x 2 − b x 2 ) d x = 1 2 π a e − 2 a b {\displaystyle \int _{0}^{\infty }e^{\left(-ax^{2}-{\frac {b}{x^{2}}}\right)}\ dx={\frac {1}{2}}{\sqrt {\frac {\pi }{a}}}e^{-2{\sqrt {ab}}}} ∫ 0 ∞ x e x − 1 d x = ζ ( 2 ) = π 2 6 {\displaystyle \int _{0}^{\infty }{\frac {x}{e^{x}-1}}\ dx=\zeta (2)={\frac {\pi ^{2}}{6}}} ∫ 0 ∞ x n − 1 e x − 1 d x = Γ ( n ) ζ ( n ) {\displaystyle \int _{0}^{\infty }{\frac {x^{n-1}}{e^{x}-1}}\ dx=\Gamma (n)\zeta (n)} ∫ 0 ∞ x e x + 1 d x = 1 1 2 − 1 2 2 + 1 3 2 − 1 4 2 + ⋯ = π 2 12 {\displaystyle \int _{0}^{\infty }{\frac {x}{e^{x}+1}}\ dx={\frac {1}{1^{2}}}-{\frac {1}{2^{2}}}+{\frac {1}{3^{2}}}-{\frac {1}{4^{2}}}+\dots ={\frac {\pi ^{2}}{12}}} ∫ 0 ∞ x n e x + 1 d x = n ! ⋅ ( 2 n − 1 2 n ) ζ ( n + 1 ) {\displaystyle \int _{0}^{\infty }{\frac {x^{n}}{e^{x}+1}}\ dx=n!\cdot \left({\frac {2^{n}-1}{2^{n}}}\right)\zeta (n+1)} ∫ 0 ∞ sin m x e 2 π x − 1 d x = 1 4 coth m 2 − 1 2 m {\displaystyle \int _{0}^{\infty }{\frac {\sin mx}{e^{2\pi x}-1}}\ dx={\frac {1}{4}}\coth {\frac {m}{2}}-{\frac {1}{2m}}} ∫ 0 ∞ ( 1 1 + x − e − x ) d x x = γ {\displaystyle \int _{0}^{\infty }\left({\frac {1}{1+x}}-e^{-x}\right)\ {\frac {dx}{x}}=\gamma } γ {\displaystyle \gamma } постоянная Эйлера–Машерони ) ∫ 0 ∞ e − x 2 − e − x x d x = γ 2 {\displaystyle \int _{0}^{\infty }{\frac {e^{-x^{2}}-e^{-x}}{x}}\ dx={\frac {\gamma }{2}}} ∫ 0 ∞ ( 1 e x − 1 − e − x x ) d x = γ {\displaystyle \int _{0}^{\infty }\left({\frac {1}{e^{x}-1}}-{\frac {e^{-x}}{x}}\right)\ dx=\gamma } ∫ 0 ∞ e − a x − e − b x x sec p x d x = 1 2 ln b 2 + p 2 a 2 + p 2 {\displaystyle \int _{0}^{\infty }{\frac {e^{-ax}-e^{-bx}}{x\sec px}}\ dx={\frac {1}{2}}\ln {\frac {b^{2}+p^{2}}{a^{2}+p^{2}}}} ∫ 0 ∞ e − a x − e − b x x csc p x d x = tan − 1 b p − tan − 1 a p {\displaystyle \int _{0}^{\infty }{\frac {e^{-ax}-e^{-bx}}{x\csc px}}\ dx=\tan ^{-1}{\frac {b}{p}}-\tan ^{-1}{\frac {a}{p}}} ∫ 0 ∞ e − a x ( 1 − cos x ) x 2 d x = cot − 1 a − a 2 ln | a 2 + 1 a 2 | {\displaystyle \int _{0}^{\infty }{\frac {e^{-ax}(1-\cos x)}{x^{2}}}\ dx=\cot ^{-1}a-{\frac {a}{2}}\ln \left|{\frac {a^{2}+1}{a^{2}}}\right|} ∫ − ∞ ∞ e − x 2 d x = π {\displaystyle \int _{-\infty }^{\infty }e^{-x^{2}}\,dx={\sqrt {\pi }}} ∫ − ∞ ∞ x 2 ( n + 1 ) e − 1 2 x 2 d x = ( 2 n + 1 ) ! 2 n n ! 2 π for n = 0 , 1 , 2 , … {\displaystyle \int _{-\infty }^{\infty }x^{2(n+1)}e^{-{\frac {1}{2}}x^{2}}\,dx={\frac {(2n+1)!}{2^{n}n!}}{\sqrt {2\pi }}\quad {\text{for }}n=0,1,2,\ldots } Определенные интегралы с логарифмическими функциями [ редактировать ] ∫ 0 1 x m ( ln x ) n d x = ( − 1 ) n n ! ( m + 1 ) n + 1 for m > − 1 , n = 0 , 1 , 2 , … {\displaystyle \int _{0}^{1}x^{m}(\ln x)^{n}\,dx={\frac {(-1)^{n}n!}{(m+1)^{n+1}}}\quad {\text{for }}m>-1,n=0,1,2,\ldots } ∫ 1 ∞ x m ( ln x ) n d x = ( − 1 ) n + 1 n ! ( m + 1 ) n + 1 for m < − 1 , n = 0 , 1 , 2 , … {\displaystyle \int _{1}^{\infty }x^{m}(\ln x)^{n}\,dx={\frac {(-1)^{n+1}n!}{(m+1)^{n+1}}}\quad {\text{for }}m<-1,n=0,1,2,\ldots } ∫ 0 1 ln x 1 + x d x = − π 2 12 {\displaystyle \int _{0}^{1}{\frac {\ln x}{1+x}}\,dx=-{\frac {\pi ^{2}}{12}}} ∫ 0 1 ln x 1 − x d x = − π 2 6 {\displaystyle \int _{0}^{1}{\frac {\ln x}{1-x}}\,dx=-{\frac {\pi ^{2}}{6}}} ∫ 0 1 ln ( 1 + x ) x d x = π 2 12 {\displaystyle \int _{0}^{1}{\frac {\ln(1+x)}{x}}\,dx={\frac {\pi ^{2}}{12}}} ∫ 0 1 ln ( 1 − x ) x d x = − π 2 6 {\displaystyle \int _{0}^{1}{\frac {\ln(1-x)}{x}}\,dx=-{\frac {\pi ^{2}}{6}}} ∫ 0 ∞ ln ( a 2 + x 2 ) b 2 + x 2 d x = π b ln ( a + b ) for a , b > 0 {\displaystyle \int _{0}^{\infty }{\frac {\ln(a^{2}+x^{2})}{b^{2}+x^{2}}}\ dx={\frac {\pi }{b}}\ln(a+b)\quad {\text{for }}a,b>0} ∫ 0 ∞ ln x x 2 + a 2 d x = π ln a 2 a for a > 0 {\displaystyle \int _{0}^{\infty }{\frac {\ln x}{x^{2}+a^{2}}}\ dx={\frac {\pi \ln a}{2a}}\quad {\text{for }}a>0} Определенные интегралы с гиперболическими функциями [ редактировать ] ∫ 0 ∞ sin a x sinh b x d x = π 2 b tanh a π 2 b {\displaystyle \int _{0}^{\infty }{\frac {\sin ax}{\sinh bx}}\ dx={\frac {\pi }{2b}}\tanh {\frac {a\pi }{2b}}}
∫ 0 ∞ cos a x cosh b x d x = π 2 b ⋅ 1 cosh a π 2 b {\displaystyle \int _{0}^{\infty }{\frac {\cos ax}{\cosh bx}}\ dx={\frac {\pi }{2b}}\cdot {\frac {1}{\cosh {\frac {a\pi }{2b}}}}}
∫ 0 ∞ x sinh a x d x = π 2 4 a 2 {\displaystyle \int _{0}^{\infty }{\frac {x}{\sinh ax}}\ dx={\frac {\pi ^{2}}{4a^{2}}}}
∫ 0 ∞ x 2 n + 1 sinh a x d x = c 2 n + 1 ( π a ) 2 ( n + 1 ) , c 2 n + 1 = ( − 1 ) n 2 ( 1 2 − ∑ k = 0 n − 1 ( − 1 ) k ( 2 n + 1 2 k + 1 ) c 2 k + 1 ) , c 1 = 1 4 {\displaystyle \int _{0}^{\infty }{\frac {x^{2n+1}}{\sinh ax}}\ dx=c_{2n+1}\left({\frac {\pi }{a}}\right)^{2(n+1)},\quad c_{2n+1}={\frac {(-1)^{n}}{2}}\left({\frac {1}{2}}-\sum _{k=0}^{n-1}(-1)^{k}{2n+1 \choose 2k+1}c_{2k+1}\right),\quad c_{1}={\frac {1}{4}}}
∫ 0 ∞ 1 cosh a x d x = π 2 a {\displaystyle \int _{0}^{\infty }{\frac {1}{\cosh ax}}\ dx={\frac {\pi }{2a}}}
∫ 0 ∞ x 2 n cosh a x d x = d 2 n ( π a ) 2 n + 1 , d 2 n = ( − 1 ) n 2 ( 1 4 n − ∑ k = 0 n − 1 ( − 1 ) k ( 2 n 2 k ) d 2 k ) , d 0 = 1 2 {\displaystyle \int _{0}^{\infty }{\frac {x^{2n}}{\cosh ax}}\ dx=d_{2n}\left({\frac {\pi }{a}}\right)^{2n+1},\quad d_{2n}={\frac {(-1)^{n}}{2}}\left({\frac {1}{4^{n}}}-\sum _{k=0}^{n-1}(-1)^{k}{2n \choose 2k}d_{2k}\right),\quad d_{0}={\frac {1}{2}}}
∫ 0 ∞ f ( a x ) − f ( b x ) x d x = ( lim x → 0 f ( x ) − lim x → ∞ f ( x ) ) ln ( b a ) {\displaystyle \int _{0}^{\infty }{\frac {f(ax)-f(bx)}{x}}\ dx=\left(\lim _{x\to 0}f(x)-\lim _{x\to \infty }f(x)\right)\ln \left({\frac {b}{a}}\right)} f ′ ( x ) {\displaystyle f'(x)}
Рейнольдс, Роберт; Стауффер, Аллан (2020). «Вывод логарифмических и логарифмических гиперболических касательных интегралов, выраженных через специальные функции» . Математика . 8 (687): 687. дои : 10.3390/math8050687 Рейнольдс, Роберт; Стауффер, Аллан (2019). «Определенный интеграл, включающий логарифмическую функцию, через функцию Лерха» . Математика . 7 (1148): 1148. doi : 10.3390/math7121148 Рейнольдс, Роберт; Стауффер, Аллан (2019). «Определенный интеграл арктангенса и полилогарифмических функций, выраженных в виде ряда» . Математика . 7 (1099): 1099. дои : 10.3390/math7111099 Винклер, Антон (1861). «Свойства некоторых определенных интегралов». Хоф, К.К., Эд . Шпигель, Мюррей Р.; Липшуц, Сеймур; Лю, Джон (2009). Математический справочник формул и таблиц (3-е изд.). МакГроу-Хилл . ISBN 978-0071548557 Цвиллингер, Дэниел (2003). Стандартные математические таблицы и формулы CRC (32-е изд.). ЦРК Пресс . ISBN 978-143983548-7 Абрамовиц, Милтон ; Стегун, Ирен Энн , ред. (1983) [июнь 1964 г.]. Справочник по математическим функциям с формулами, графиками и математическими таблицами ISBN 978-0-486-61272-0 LCCN 64-60036 . МР 0167642 . LCCN 65-12253 .
![{\displaystyle \int _{a}^{\infty }f(x)\,dx=\lim _{b\to \infty }\left[\int _{a}^{b}f(x)\ ,dx\вправо]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8a095fbd3f49faf63702fb3b314abd0e76c40f8a)
