Регулируемая функция

В математике или регулируемая функция управляемая функция — это определенный вид функции с хорошим поведением одной действительной переменной. Регулируемые функции возникают как класс интегрируемых функций и имеют несколько эквивалентных характеристик. Регулируемые функции были введены Николя Бурбаки в 1949 году в его книге «Livre IV: Функции переменной переменной».

Определение

Пусть X — банахово пространство с нормой || - || _Х. ​Функция f : [0, T ] → X называется регулируемой функцией, если выполняется одно (и, следовательно, оба) из следующих двух эквивалентных условий:

• для каждого t в интервале [0, T ] как левый, так и правый пределы f ( t− ) и f ( t +) существуют в X (кроме, очевидно, f (0−) и f ( T +)) ;
• существует последовательность ступенчатых функций φ _n : [0, T ] → X, сходящаяся равномерно к f (т.е. относительно супремум-нормы || - || _∞ ).

Требуется небольшая работа, чтобы показать, что эти два условия эквивалентны. Однако сравнительно легко увидеть, что второе условие можно переформулировать следующими эквивалентными способами:

• для каждого δ > 0 существует некоторая ступенчатая функция φ _δ : [0, T ] → X такая, что

$\|f-\varphi _{\delta }\|_{\infty }=\sup _{t\in [0,T]}\|f(t)-\varphi _{\delta }(t)\|_{X}<\delta ;$

• f лежит в замыкании пространства Step([0, T ]; X ) всех ступенчатых функций из [0, T ] в X (замыкание относительно нормы супремума в пространстве B([0, T ]; X ) всех ограниченных функций из [0, T ] в X ).

Свойства регулируемых функций

Обозначим через Reg([0, T ]; X ) множество всех регулируемых функций f : [0, T ] → X .

• Суммы и скалярные кратные регулируемых функций снова являются регулируемыми функциями. Другими словами, Reg([0, T ]; X ) — векторное пространство над тем же полем K, что и пространство X ; обычно K будет действительным или комплексным числом . Если X снабжен операцией умножения, то произведения регулируемых функций снова являются регулируемыми функциями. Другими словами, если X является K - алгеброй , то таковой является и Reg([0, T ]; X ).
• Верхняя норма — это норма на Reg([0, T ]; X ), а Reg([0, T ]; X ) — топологическое векторное пространство относительно топологии, индуцированной супремумной нормой.
• Как отмечалось выше, Reg([0, T ]; X ) является замыканием в B([0, T ]; X ) Step([0, T ]; X ) относительно супремум-нормы.
• Если X — банахово пространство , то Reg([0, T ]; X ) также является банаховым пространством относительно нормы супремума.
• Reg([0, T ]; R ) образует бесконечномерную вещественную банахову алгебру : конечные линейные комбинации и произведения регулируемых функций снова являются регулируемыми функциями.
• Поскольку непрерывная функция, определенная на компакте (например, [0, T ]), автоматически является равномерно непрерывной , каждая непрерывная функция f : [0, T ] → X также регулируется. Действительно, относительно супремум-нормы пространство C ⁰ ([0, T ]; X ) непрерывных функций является замкнутым линейным подпространством в Reg([0, T ]; X ).
• Если X — банахово пространство , то пространство BV([0, T ]; X ) функций ограниченной вариации образует плотное линейное подпространство в Reg([0, T ]; X ):

$\mathrm {Reg} ([0,T];X)={\overline {\mathrm {BV} ([0,T];X)}}{\mbox{ w.r.t. }}\|\cdot \|_{\infty }.$

• Если X — банахово пространство, то функция f : [0, T ] → X регулируется тогда и только тогда, когда она имеет ограниченную φ -вариацию для некоторого φ :

$\mathrm {Reg} ([0,T];X)=\bigcup _{\varphi }\mathrm {BV} _{\varphi }([0,T];X).$

• Если X — сепарабельное гильбертово пространство , то Reg([0, T ]; X ) удовлетворяет теореме компактности, известной как теорема выбора Франьковой–Хелли .
• Множество разрывов регламентированной функции ограниченной вариации BV счетно , поскольку такие функции имеют разрывы только скачкообразного типа. Чтобы убедиться в этом, достаточно заметить, что, учитывая $\epsilon >0$, множество точек, в которых правый и левый пределы отличаются более чем $\epsilon$ конечно. В частности, множество разрывов имеет нулевую меру , откуда следует, что регулируемая функция имеет вполне определенный интеграл Римана .
• Замечание. По теореме Бэра о категории множество точек разрыва такой функции $F_{\sigma }$ либо скудно, либо имеет непустую внутренность. Это не всегда эквивалентно счетности.

• Интеграл, определенный для ступенчатых функций очевидным образом, естественным образом расширяется до Reg([0, T ]; X ), определяя интеграл регулируемой функции как предел интегралов любой последовательности ступенчатых функций, равномерно сходящейся к это. Это расширение корректно определено и удовлетворяет всем обычным свойствам интеграла. В частности, регламентированный интеграл
  • — ограниченная линейная функция из Reg([0, T ]; X ) в X ; следовательно, в случае X = R интеграл является элементом пространства , двойственным Reg([0, T ]; R );
  • согласуется с интегралом Римана .

Ссылки

• Ауманн, Георг (1954), Действительные функции , Основные положения математических наук в отдельных представлениях с особым вниманием к областям применения, Том LXVIII (на немецком языке), Берлин: Springer-Verlag, стр. viii+416 MR 0061652
• Дьедонне, Жан (1969), Основы современного анализа , Academic Press, стр. xviii+387 MR 0349288
• Франькова, Дана (1991), "Регулируемые функции", Матем. Бог. , 116 (1): 20–59, ISSN   0862-7959 МР. 1100424
• Гордон, Рассел А. (1994), Интегралы Лебега, Данжуа, Перрона и Хенстока , Аспирантура по математике , 4, Провиденс, Род-Айленд: Американское математическое общество, стр. xii+395 , ISBN  0-8218-3805-9 МИСТЕР 1288751
• Ланг, Серж (1985), Дифференциальные многообразия (второе изд.), Нью-Йорк: Springer-Verlag, стр. ix+230, ISBN  0-387-96113-5 МИСТЕР 772023

Внешние ссылки

• «Как показать, что множество точек разрыва возрастающей функции не более чем счетно» . Обмен стеками . 23 ноября 2011 г.
• «Функции ограниченной вариации имеют разрывы скачкообразного типа» . Обмен стеками . 28 ноября 2013 г.
• «Насколько прерывистым может быть производный?» . Обмен стеками . 22 февраля 2012 г.