Теорема выбора Франьковой – Хелли

В математике теорема выбора Франковой -Хелли является обобщением теоремы выбора Хелли для функций ограниченной вариации на случай регулируемых функций . Это доказала в 1991 году чешский математик Дана Франькова .

Фон

Пусть X — сепарабельное гильбертово пространство , и пусть BV([0, T ]; X ) обозначает нормированное векторное пространство всех функций f : [0, T ] → X с конечной полной вариацией на интервале [0, T ], оборудованы общей вариационной нормой. Хорошо известно, что BV([0, T ]; X ) удовлетворяет теореме компактности , известной как теорема выбора Хелли : для любой последовательности функций ( n _∈ fn) _{N в BV} ([0, T ]; X ), которая равномерно ограниченная по полной вариационной норме, существует подпоследовательность

$\left(f_{n(k)}\right)\subseteq (f_{n})\subset \mathrm {BV} ([0,T];X)$

и предельная функция f ∈ BV([0, T ]; X ) такая, что f _{n ( k )} ( t ) слабо сходится в X к f ( t ) для каждого t ∈ [0, T ]. То есть для любого непрерывного линейного функционала λ ∈ X *

$\lambda \left(f_{n(k)}(t)\right)\to \lambda (f(t)){\mbox{ in }}\mathbb {R} {\mbox{ as }}k\to \infty .$

Рассмотрим теперь банахово пространство Reg([0, T ]; X ) всех регламентированных функций f : [0, T ] → X , снабженное супремум-нормой . Теорема Хелли не справедлива для пространства Reg([0, T ]; X ): контрпример даёт последовательность

$f_{n}(t)=\sin(nt).$

Однако можно задаться вопросом, верна ли более слабая теорема выбора, и теорема выбора Франьковой – Хелли является таким результатом.

Формулировка теоремы выбора Франьковой–Хелли

Как и ранее, пусть X — сепарабельное гильбертово пространство и пусть Reg([0, T ]; X ) обозначает пространство регулируемых функций f : [0, T ] → X , снабженное супремум-нормой. Пусть ( f _n ) _{n ∈ N} — последовательность в Reg([0, T ]; X ), удовлетворяющая следующему условию: для каждого ε > 0 существует некоторое L _ε > 0, так что каждое f _n может быть аппроксимировано un _∈ BV([0, T ]; X ), удовлетворяющий

$\|f_{n}-u_{n}\|_{\infty }<\varepsilon$

и

$|u_{n}(0)|+\mathrm {Var} (u_{n})\leq L_{\varepsilon },$

где |-| обозначает норму в X , а Var( u ) обозначает вариацию u , которая определяется как верхняя грань

$\sup _{\Pi }\sum _{j=1}^{m}|u(t_{j})-u(t_{j-1})|$

по всем разделам

$\Pi =\{0=t_{0}<t_{1}<\dots <t_{m}=T,m\in \mathbf {N} \}$

из [0, Т ]. Тогда существует подпоследовательность

$\left(f_{n(k)}\right)\subseteq (f_{n})\subset \mathrm {Reg} ([0,T];X)$

и предельная функция f ∈ Reg([0, T ]; X ) такая, что f _{n ( k )} ( t ) слабо сходится в X к f ( t ) для каждого t ∈ [0, T ]. То есть для любого непрерывного линейного функционала λ ∈ X *

$\lambda \left(f_{n(k)}(t)\right)\to \lambda (f(t)){\mbox{ in }}\mathbb {R} {\mbox{ as }}k\to \infty .$

Ссылки

• Франькова, Дана (1991). «Регулируемые функции». Математика. Бог . 116 (1): 20–59. ISSN   0862-7959 . МР   1100424 .