На оболочке и вне оболочки

В физике , особенно в квантовой теории поля , конфигурации физической системы, удовлетворяющие классическим уравнениям движения, называются массовой оболочкой ( onshell ); а те, кто этого не делает, вызываются из массовой оболочки ( вне оболочки ).

В квантовой теории поля виртуальные частицы называются внеоболочными, потому что они не удовлетворяют соотношению энергия-импульс ; реальные обменные частицы действительно удовлетворяют этому соотношению и называются массовыми оболочками. в классической механике Например, в формулировке действия экстремальные решения вариационного принципа находятся на оболочке, а уравнения Эйлера – Лагранжа дают уравнения на оболочке. Теорема Нётер о дифференцируемых симметриях физических действий и законов сохранения - еще одна теорема о оболочке.

Массовая оболочка

Точки на поверхности гиперболоида («оболочка») являются решениями уравнения.

Массовая оболочка является синонимом массового гиперболоида , означающего гиперболоид в пространстве энергии - импульса, описывающий решения уравнения:

$E^{2}-|{\vec {p}}\,|^{2}c^{2}=m_{0}^{2}c^{4}$,

формула эквивалентности массы и энергии, которая дает энергию $E$ с точки зрения импульса ${\vec {p}}$ и остальная масса $m_{0}$ частицы. Уравнение массовой оболочки также часто записывают в терминах четырехимпульса ; в обозначениях Эйнштейна с метрической сигнатурой (+,−,−,−) и единицами измерения, где скорость света $c=1$, как $p^{\mu }p_{\mu }\equiv p^{2}=m_{0}^{2}$. В литературе также можно встретить $p^{\mu }p_{\mu }=-m_{0}^{2}$ если используемая метрическая сигнатура равна (−,+,+,+).

Четырехимпульс обмененной виртуальной частицы $X$ является $q_{\mu }$, с массой $q^{2}=m_{X}^{2}$. Четырехимпульсный импульс $q_{\mu }$ виртуальной частицы — это разница между четырьмя импульсами входящей и выходящей частиц.

Виртуальным частицам, соответствующим внутренним распространителям на диаграмме Фейнмана, обычно разрешается находиться вне оболочки, но амплитуда этого процесса будет уменьшаться в зависимости от того, насколько далеко они находятся от оболочки. Это потому, что $q^{2}$-зависимость пропагатора определяется четырехимпульсами входящих и вылетающих частиц. Пропагатор обычно имеет особенности на массовой оболочке.

Говоря о пропагаторе, отрицательные значения для $E$ которые удовлетворяют уравнению, считаются находящимися на оболочке, хотя классическая теория не допускает отрицательных значений энергии частицы. Это происходит потому, что пропагатор включает в одно выражение случаи, когда частица переносит энергию в одном направлении, и когда ее античастица переносит энергию в другом направлении; отрицательный и положительный на оболочке $E$ затем просто представьте противоположные потоки положительной энергии.

Скалярное поле

Примером может служить рассмотрение скалярного поля в D -мерном пространстве Минковского . Рассмотрим лагранжеву плотность, заданную выражением ${\mathcal {L}}(\phi ,\partial _{\mu }\phi )$. Действие ​

$S=\int d^{D}x{\mathcal {L}}(\phi ,\partial _{\mu }\phi )$

Уравнение Эйлера-Лагранжа для этого действия можно найти, варьируя поле и его производную и приравнивая вариацию к нулю , и оно имеет вид:

$\partial _{\mu }{\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial (\partial _{\mu }\phi )}}={\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial \phi }}$

Теперь рассмотрим бесконечно малый сдвиг пространства-времени $x^{\mu }\rightarrow x^{\mu }+\alpha ^{\mu }$. Лагранжева плотность ${\mathcal {L}}$ является скаляром и поэтому будет бесконечно мало трансформироваться как $\delta {\mathcal {L}}=\alpha ^{\mu }\partial _{\mu }{\mathcal {L}}$ при бесконечно малом преобразовании. С другой стороны, согласно разложению Тейлора , мы, вообще говоря, имеем

$\delta {\mathcal {L}}={\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial \phi }}\delta \phi +{\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial (\partial _{\mu }\phi )}}\delta (\partial _{\mu }\phi )$

Замена на $\delta {\mathcal {L}}$ и отмечая, что $\delta (\partial _{\mu }\phi )=\partial _{\mu }(\delta \phi )$ (поскольку вариации независимы в каждой точке пространства-времени):

$\alpha ^{\mu }\partial _{\mu }{\mathcal {L}}={\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial \phi }}\alpha ^{\mu }\partial _{\mu }\phi +{\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial (\partial _{\nu }\phi )}}\alpha ^{\mu }\partial _{\mu }\partial _{\nu }\phi$

Поскольку это справедливо для независимых переводов $\alpha ^{\mu }=(\epsilon ,0,...,0),(0,\epsilon ,...,0),...$, мы можем «делить» на $\alpha ^{\mu }$ и напишите:

$\partial _{\mu }{\mathcal {L}}={\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial \phi }}\partial _{\mu }\phi +{\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial (\partial _{\nu }\phi )}}\partial _{\mu }\partial _{\nu }\phi$

Это пример уравнения, которое выдерживает Shell , поскольку оно верно для любой конфигурации полей независимо от того, соблюдает ли оно уравнения движения (в данном случае уравнение Эйлера-Лагранжа, приведенное выше). Однако мы можем получить уравнение на оболочке , просто подставив уравнение Эйлера – Лагранжа:

$\partial _{\mu }{\mathcal {L}}=\partial _{\nu }{\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial (\partial _{\nu }\phi )}}\partial _{\mu }\phi +{\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial (\partial _{\nu }\phi )}}\partial _{\mu }\partial _{\nu }\phi$

Мы можем написать это как:

$\partial _{\nu }\left({\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial (\partial _{\nu }\phi )}}\partial _{\mu }\phi -\delta _{\mu }^{\nu }{\mathcal {L}}\right)=0$

А если мы определим количество в скобках как $T^{\nu }{}_{\mu }$, у нас есть:

$\partial _{\nu }T^{\nu }{}_{\mu }=0$

Это пример теоремы Нётер. Здесь сохраняющейся величиной является тензор энергии-импульса , который сохраняется только на оболочке, то есть если выполняются уравнения движения.