Претопологическое пространство

В общей топологии претопологическое пространство является обобщением понятия топологического пространства . Претопологическое пространство может быть определено либо с помощью фильтров, либо с помощью оператора презамыкания . Подобное, но более абстрактное понятие претопологии Гротендика используется для формирования топологии Гротендика и рассматривается в статье на эту тему.

Позволять $X$ быть набором. Система окрестности для предтопологии на $X$ представляет собой набор фильтров $N(x),$ по одному на каждый элемент $x$ из $X$ так, что каждый набор в $N(x)$ содержит $x$ как член. Каждый элемент $N(x)$ называется окрестностью ​ $x.$ Тогда претопологическое пространство представляет собой множество, оснащенное такой системой окрестностей.

сеть ​ $x_{\alpha }$ сходится к точке $x$ в $X$ если $x_{\alpha }$ в конечном итоге находится в каждом районе $x.$

Претопологическое пространство также можно определить как $(X,\operatorname {cl} ),$ набор $X$ с оператором предварительного закрытия ( оператор закрытия Чеха ) $\operatorname {cl} .$ Можно показать, что эти два определения эквивалентны следующим образом: определить замыкание множества $S$ в $X$ быть множеством всех точек $x$ такая, что некоторая сеть, сходящаяся к $x$ в конце концов в $S.$ Тогда можно показать, что этот оператор замыкания удовлетворяет аксиомам оператора презамыкания. Обратно, пусть набор $S$ быть соседом $x$ если $x$ не находится в замыкании дополнения $S.$ Можно показать, что множество всех таких окрестностей представляет собой систему окрестностей предтопологии.

Претопологическое пространство — это топологическое пространство, когда его оператор замыкания идемпотентен .

Карта $f:(X,\operatorname {cl} )\to (Y,\operatorname {cl} ')$ между двумя претопологическими пространствами является непрерывным , если оно удовлетворяет для всех подмножеств $A\subseteq X,$ $$f(\operatorname {cl} (A))\subseteq \operatorname {cl} '(f(A)).$$

См. также

• Аксиомы замыкания Куратовского - математическая концепция. Страницы, отображающие описания викиданных в качестве запасного варианта.
• Пространство Коши - Концепция общей топологии и анализа
• Пространство сходимости - обобщение понятия сходимости, которое встречается в общей топологии.
• Пространство близости - структура, описывающая понятие «близости» между подмножествами.

Ссылки

• Э. Чех, Топологические пространства , Джон Уайли и сыновья, 1966.
• Д. Дикраньян и В. Толен, Категориальная структура операторов замыкания , Kluwer Academic Publishers, 1995.
• С. Маклейн, И. Мурдейк, Пучки в геометрии и логике , Springer Verlag, 1992.

Внешние ссылки

• Рекомбинационные пространства, метрики и претопологии Б.М.Р. Стадлер, П.Ф. Стадлер, М. Шпак и Г.П. Вагнер. (См., в частности, Приложение А.)
• Замкнутые множества и замыкания в претопологии М. Далю-Венсана, М. Брисо и М. Ламюра. 2009 .