Спектральная последовательность Линдона – Хохшильда – Серра

В математике , особенно в области групповых когомологий , гомологической алгебры и теории чисел , спектральная последовательность Линдона или спектральная последовательность Хохшильда–Серра представляет собой спектральную последовательность, связывающую групповые когомологии нормальной подгруппы N и факторгруппу G / N с когомологиями. всей G. группы Спектральная последовательность названа в честь Роджера Линдона , Герхарда Хохшильда и Жан-Пьера Серра .

Заявление

Позволять $G$ быть группой и $N$ быть нормальной подгруппой . Последнее гарантирует, что частное $G/N$ это тоже группа. Наконец, позвольте $A$ быть $G$ -модуль . Тогда существует спектральная последовательность когомологического типа

H^{p}(G/N,H^{q}(N,A))\Longrightarrow H^{p+q}(G,A)

и существует спектральная последовательность гомологического типа

H_{p}(G/N,H_{q}(N,A))\Longrightarrow H_{p+q}(G,A)

,

где стрелка ' $\Longrightarrow$ ' означает сходимость спектральных последовательностей .

То же утверждение справедливо, если $G$ это проконечная группа , $N$ является замкнутой нормальной подгруппой и $H^{*}$ обозначает непрерывные когомологии.

Примеры

Гомологии группы Гейзенберга

Спектральную последовательность можно использовать для вычисления гомологии группы Гейзенберга G с целыми элементами, т. е. матрицами вида

\left({\begin{array}{ccc}1&a&c\\0&1&b\\0&0&1\end{array}}\right),\ a,b,c\in \mathbb {Z} .

Эта группа является центральным расширением

0\to \mathbb {Z} \to G\to \mathbb {Z} \oplus \mathbb {Z} \to 0

с центром $\mathbb {Z}$ соответствующую подгруппе с $a=b=0$ . Спектральная последовательность гомологий групп вместе с анализом дифференциала в этой спектральной последовательности показывает, что ^{[ 1 ]}

H_{i}(G,\mathbb {Z} )=\left\{{\begin{array}{cc}\mathbb {Z} &i=0,3\\\mathbb {Z} \oplus \mathbb {Z} &i=1,2\\0&i>3.\end{array}}\right.

Когомологии сплетений

Для группы G сплетение расширением является

1\to G^{p}\to G\wr \mathbb {Z} /p\to \mathbb {Z} /p\to 1.

Полученная спектральная последовательность групповых когомологий с коэффициентами в поле k ,

H^{r}(\mathbb {Z} /p,H^{s}(G^{p},k))\Rightarrow H^{r+s}(G\wr \mathbb {Z} /p,k),

известно, что он вырождается в $E_{2}$ -страница. ^{[ 2 ]}

Характеристики

Соответствующая точная последовательность из пяти членов представляет собой обычную точную последовательность ограничения инфляции :

0\to H^{1}(G/N,A^{N})\to H^{1}(G,A)\to H^{1}(N,A)^{G/N}\to H^{2}(G/N,A^{N})\to H^{2}(G,A).

Обобщения

Спектральная последовательность является примером более общей спектральной последовательности Гротендика композиции двух производных функторов. Действительно, $H^{*}(G,-)$ является производным функтором $(-)^{G}$ (т.е. взяв G -инварианты) и композицию функторов $(-)^{N}$ и $(-)^{G/N}$ это точно $(-)^{G}$ .

Аналогичная спектральная последовательность существует и для гомологии групп, в отличие от когомологий групп. ^{[ 3 ]}

Ссылки

^ Кнудсон, Кевин (2001). Гомологии линейных групп . Прогресс в математике. Том. 193. Базель: Birkhäuser Verlag . дои : 10.1007/978-3-0348-8338-2 . ISBN 3-7643-6415-7 . МР 1807154 . Пример А.2.4
^ Накаока, Минору (1960), «Теорема о разложении групп гомологий симметричных групп», Annals of Mathematics , Second Series, 71 (1): 16–42, doi : 10.2307/1969878 , JSTOR 1969878 , краткое изложение см. в разделе 2. из Карлсон, Джон Ф.; Вернер (1995), «Глубина и когомологии сплетений», 87 ( 2 : CiteSeerX 145–151 , Хенн, Ханс - Manuscripta ) , Mathematica 27212941
^ Макклири, Джон (2001), Руководство пользователя по спектральным последовательностям , Кембриджские исследования по высшей математике, том. 58 (2-е изд.), Издательство Кембриджского университета , ISBN 978-0-521-56759-6 , MR 1793722 , Теорема 8 ^до.12

Линдон, Роджер К. (1948), «Когомологическая теория расширений групп», Duke Mathematical Journal , 15 (1): 271–292, doi : 10.1215/S0012-7094-48-01528-2 , ISSN 0012-7094 ( платный доступ)
Хохшильд, Герхард ; Серр, Жан-Пьер (1953), «Когомологии расширений групп», Труды Американского математического общества , 74 (1): 110–134, doi : 10.2307/1990851 , ISSN 0002-9947 , JSTOR 1990851 , MR 0052438
Нойкирх, Юрген ; Шмидт, Александр; Вингберг, Кей (2000), Когомологии числовых полей , Основы математических наук , том. 323, Берлин: Springer-Verlag, ISBN 978-3-540-66671-4 , МР 1737196 , Збл 0948.11001

[1] Кнудсон, Кевин (2001). Гомологии линейных групп . Прогресс в математике. Том. 193. Базель: Birkhäuser Verlag . дои : 10.1007/978-3-0348-8338-2 . ISBN 3-7643-6415-7 . МР 1807154 . Пример А.2.4

[2] Накаока, Минору (1960), «Теорема о разложении групп гомологий симметричных групп», Annals of Mathematics , Second Series, 71 (1): 16–42, doi : 10.2307/1969878 , JSTOR 1969878 , краткое изложение см. в разделе 2. из Карлсон, Джон Ф.; Вернер (1995), «Глубина и когомологии сплетений», 87 ( 2 : CiteSeerX 145–151 , Хенн, Ханс - Manuscripta ) , Mathematica 27212941

[3] Макклири, Джон (2001), Руководство пользователя по спектральным последовательностям , Кембриджские исследования по высшей математике, том. 58 (2-е изд.), Издательство Кембриджского университета , ISBN 978-0-521-56759-6 , MR 1793722 , Теорема 8 ^до.12

[ 1 ]

[ 2 ]

[ 3 ]