Чу пространство
Пространства Чу обобщают понятие топологического пространства , отбрасывая требования, чтобы множество открытых множеств было замкнутым относительно объединения и конечного пересечения , чтобы открытые множества были экстенсиональными и чтобы предикат принадлежности (точек в открытых множествах) был двузначным. Определение непрерывной функции остается неизменным, за исключением того, что его необходимо тщательно сформулировать, чтобы оно продолжало иметь смысл после этих обобщений.
Название связано с По-Сян Чу, который первоначально разработал проверку автономных категорий, будучи аспирантом под руководством Майкла Барра в 1979 году. [1]
Определение [ править ]
Понимаемое статически, пространство Чу ( A , r , X ) над множеством K состоит из набора A точек, набора X состояний и функции r : A × X → K . Это делает его A × X матрицей с элементами, взятыми из K , или, что эквивалентно, K со значением бинарным отношением между A и X (обычные бинарные отношения являются 2-значными).
Понимаемые динамически, пространства Чу трансформируются подобно топологическим пространствам, где A представляет собой множество точек, X — множество открытых множеств и r — отношение принадлежности между ними, где K — множество всех возможных степеней принадлежности точка в открытом множестве. Аналогом непрерывной функции от ( A , r , X ) до ( B , s , Y ) является пара ( f , g ) функций f : A → B , g : Y → X, удовлетворяющих условию сопряженности s ( f ( a ), y ) знак равно р ( a , грамм ( y )) для всех a ∈ A и y ∈ Y . То есть f отображает точки вперед, в то время как g отображает состояния назад. Условие сопряженности делает g функцией обратного образа f −1 , а выбор X для ко-области g соответствует требованию для непрерывных функций , чтобы прообраз открытых множеств был открытым. Такая пара называется преобразованием Чу или морфизмом пространств Чу.
Топологическое пространство ( X , T ), где X — множество точек, а T — множество открытых множеств, можно понимать как пространство Чу ( X , ∈, T ) над {0, 1}. То есть точки топологического пространства становятся точками пространства Чу, а открытые множества становятся состояниями, а отношение принадлежности «ε» между точками и открытыми множествами становится явным в пространстве Чу. Соответствующим условием на столбцы матрицы становится условие замкнутости множества открытых множеств при произвольном (в том числе пустом) объединении и конечном (в том числе пустом) пересечении. Непрерывная функция f : X → X' между двумя топологическими пространствами становится присоединенной парой ( f , g ), в которой f теперь сочетается с реализацией условия непрерывности, построенной как явная функция-свидетель g, демонстрирующая необходимые открытые множества в области выключенный .
Категориальная структура [ править ]
Категория пространств Чу над K и их отображений обозначается Chu ( Set , K ). Как ясно из симметрии определений, это самодвойственная категория : она эквивалентна (фактически изоморфна) своей двойственной категории, полученной обращением всех отображений. Кроме того, это *-автономная категория с дуализирующим объектом ( K , λ, {*}), где λ : K × {*} → K определяется формулой λ( k , *) = k (Barr 1979). По существу, это модель Жана-Ива Жирара ( линейной логики Girard 1987).
Варианты [ править ]
Более общая расширенная категория Chu ( V , k ) первоначально появилась в приложении к Barr (1979). Концепция пространства Чу возникла у Майкла Барра , а детали были разработаны его студентом По-Сян Чу, чья магистерская диссертация легла в основу приложения. Обычные пространства Чу возникают в случае V = Set , то есть когда моноидальная категория V специализирована на декартовой замкнутой категории Set множеств и их функций, но не изучалась сама по себе более чем через десять лет после появления более общее, обогащенное понятие. Вариант пространств Чу, названный пространствами диалектики , предложенный де Пайвой (1989), заменяет условие отображения (1) условием отображения (2):
- s ( ж ( а ), y ) знак равно р ( а , грамм ( y )).
- s ( ж ( а ), y ) ≤ р ( а , грамм ( y )).
Универсальность [ править ]
Категория Top топологических пространств и их непрерывных функций вкладывается в Chu ( Set , 2) в том смысле, что существует полный и точный функтор F : Top → Chu ( Set , 2), обеспечивающий для каждого топологического пространства ( X , T ) свой представление F (( X , T )) = ( X , ∈, T ), как отмечалось выше. Кроме того, это представление является реализацией в смысле Пултра и Трнковой (1980), а именно, что представляющее пространство Чу имеет тот же набор точек, что и представляемое топологическое пространство, и преобразуется таким же образом с помощью тех же функций.
Пространства Чу примечательны широким разнообразием реализуемых ими знакомых структур. Лафонт и Штрейхер (1991) отмечают, что пространства Чу над 2 реализуют как топологические пространства, так и когерентные пространства (введенные Ж.-Ю. Жираром (1987) для моделирования линейной логики), тогда как пространства Чу над K реализуют любую категорию векторных пространств над поле, мощность которого не превышает мощности K . Это было распространено Воаном Праттом (1995) на реализацию k -арных реляционных структур с помощью пространств Чу над 2 к . Например, категория Grp групп и их гомоморфизмов реализуется Чу ( Set , 8 ), поскольку групповое умножение может быть организовано как троичное отношение . Чу ( Set , 2) реализует широкий спектр «логических» структур, таких как полурешетки, дистрибутивные решетки, полные и полностью дистрибутивные решетки, булевы алгебры, полные атомные булевы алгебры и т. д. Дополнительная информация об этом и других аспектах пространств Чу, включая их применение к моделированию параллельного поведения можно найти в Chu Spaces .
Приложения [ править ]
Автоматический [ править ]
Пространства Чу могут служить моделью параллельных вычислений в теории автоматов для выражения времени ветвления и истинного параллелизма . Пространства Чу демонстрируют квантовомеханические явления дополнительности и неопределенности. Дополнительность возникает как двойственность информации и времени, автоматов и расписаний, состояний и событий. Неопределенность возникает, когда измерение определяется как морфизм, при котором увеличение структуры наблюдаемого объекта снижает четкость наблюдения. Эту неопределенность можно рассчитать численно на основе ее форм-фактора, чтобы получить обычное соотношение неопределенности Гейзенберга . Пространства Чу соответствуют волновым функциям как векторам гильбертова пространства . [2]
Ссылки [ править ]
- ^ Строительство Чу: история идеи , Университет Майкла Барра Макгилла
- ^ Пратт, VR (1994). «Пространства Чу: автоматы с квантовыми аспектами». Материалы семинара по физике и информатике. ФизКом '94 . стр. 186–195. дои : 10.1109/PHYCMP.1994.363682 . ISBN 978-0-8186-6715-2 . S2CID 14895721 .
Дальнейшее чтение [ править ]
- Барр, М. (1979). *-Автономные категории . Конспект лекций по математике. Том. 752. Берлин: Springer-Verlag . ISBN 978-3-540-09563-7 .
- Барр, М. (1996). «Строительство Чу». Теория и приложения категорий . 2 (2): 17–35.
- Жирар, Ж.-Ю. (1987). «Линейная логика». Теоретическая информатика . 50 : 1–102. дои : 10.1016/0304-3975(87)90045-4 . hdl : 10338.dmlcz/120513 .
- Лафонт Ю. и Штрайхер Т. (1991). «Семантика игр для линейной логики». Учеб. 6-й ежегодный симпозиум IEEE. «О логике в информатике», Амстердам, июль 1991 г. Лос-Аламитос: Издательство компьютерного общества IEEE : 43–49.
- де Пайва, В. (1989). «Диалектика-подобная модель линейной логики». Учеб. Конф. по теории категорий и информатике, Конспекты лекций Springer-Verlag по информатике, Манчестер, сентябрь 1989 г. Том. 389. стр. 341–356.
- Пратт, В.Р. «Каменная гамма: координация математики». Учеб. 10-й ежегодный симпозиум IEEE. по логике в информатике, Монреаль, июнь 1995 г. стр. 444–454.
- Пултр А. и Трнкова В. (1980). Комбинаторные, алгебраические и топологические представления групп, полугрупп и категорий . Северная Голландия .
Внешние ссылки [ править ]
- Путеводитель по статьям о пространствах Чу , веб-страница .